劉洪霞， 周紹偉

(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590)

常微分方程數(shù)學(xué)建模案例分析

劉洪霞， 周紹偉

(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590)

在常微分方程教學(xué)中，選取與實(shí)際生活密切相關(guān)的問(wèn)題，采用數(shù)學(xué)建模的思想解決，對(duì)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力和學(xué)習(xí)興趣的提高具有積極的作用.案例教學(xué)能使學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際，更好地掌握常微分方程理論.

常微分方程；數(shù)學(xué)建模；實(shí)際案例

0 引言

傳統(tǒng)的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)調(diào)理論知識(shí)的推導(dǎo)和計(jì)算技巧的掌握，忽視數(shù)學(xué)思想的來(lái)源及在實(shí)際生活中的應(yīng)用，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中通常感到抽象難懂，而當(dāng)面對(duì)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，更不知如何用數(shù)學(xué)知識(shí)解決.因此，在高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中開展實(shí)際案例教學(xué)是大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的重要方向.案例教學(xué)是由貼近生活的實(shí)際情境引出數(shù)學(xué)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)知識(shí)，然后用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)處理各種實(shí)際問(wèn)題，縮短教學(xué)情境與實(shí)際生活情境的差距，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力與創(chuàng)新能力.

常微分方程是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)往往只知道如何解方程，并不懂這些方程的實(shí)際背景，因此造成學(xué)生缺乏學(xué)習(xí)興趣與動(dòng)力.案例教學(xué)在授課過(guò)程中從實(shí)際案例出發(fā)，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)微分方程實(shí)際應(yīng)用的了解，同時(shí)加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模思想的理解，從而提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力，以及分析問(wèn)題和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.將數(shù)學(xué)建模思想滲透在常微分方程教學(xué)中,確保學(xué)生對(duì)常微分方程教學(xué)的方法、背景以及意義有一定了解，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

筆者選取常微分方程中的若干習(xí)題，將其用數(shù)學(xué)語(yǔ)言闡述，并按數(shù)學(xué)建模解決問(wèn)題的思想對(duì)其作合理假設(shè)，構(gòu)造微分方程模型，并用學(xué)生所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行模型求解，將課程內(nèi)容和數(shù)學(xué)建模內(nèi)容進(jìn)行有機(jī)融合，最終將數(shù)學(xué)建模方法與思想表達(dá)出來(lái)，使學(xué)生在學(xué)習(xí)課堂知識(shí)的同時(shí)掌握數(shù)學(xué)建模的思想.

1 數(shù)學(xué)建模案例分析

1.1 湖水污染問(wèn)題

模型假設(shè) 1)假設(shè)河水是湖水的唯一水源且湖水容量不變；

2)假設(shè)湖泊中A的濃度是均勻的；

3)假設(shè)河水流進(jìn)湖后立即與湖水充分混合從而使有毒污染物全部溶解在湖水中.

得

t=6ln 3．

故最多需經(jīng)過(guò)6ln 3年，湖泊中污染物A的含量可降至m0以內(nèi)．

1.2 信號(hào)燈問(wèn)題

問(wèn)題2 在北京、上海、深圳等大城市乘坐公共汽車，等交通信號(hào)燈一直是一個(gè)比較煩惱的問(wèn)題.交通路口的指揮信號(hào)燈有紅、黃、綠3種顏色，在綠燈轉(zhuǎn)換為紅燈之前有一個(gè)過(guò)渡狀態(tài)，這個(gè)過(guò)渡狀態(tài)是由黃燈來(lái)完成的，通常是亮一段時(shí)間黃燈以后才變成紅燈信號(hào).交通指揮燈信號(hào)設(shè)置合理，既可保證交通安全又可避免某一方向的車流等待時(shí)間太長(zhǎng)，減少司機(jī)、乘客的煩惱.如果交通指揮燈閃爍時(shí)間設(shè)置不合理，雖然可保證交通安全，但往往會(huì)造成人們等待時(shí)間太長(zhǎng)，增加司機(jī)、乘客的煩惱[3].那么怎樣設(shè)置交通指揮燈中各種顏色信號(hào)閃爍時(shí)間的長(zhǎng)短，特別是黃燈閃爍多長(zhǎng)時(shí)間才合理？

模型分析 黃燈信號(hào)的作用之一是提醒駕駛員注意紅綠信號(hào)燈，當(dāng)遇到紅燈時(shí)應(yīng)立即停車讓橫向車流和人流通過(guò)，但已越過(guò)停止線的車輛可以繼續(xù)通過(guò)；黃燈信號(hào)的作用之二是：當(dāng)黃燈亮?xí)r，機(jī)動(dòng)車、行人在保證安全的原則下通行.

停車是需要時(shí)間的，在這段時(shí)間內(nèi)，車輛仍將向前行駛一段距離L,假設(shè)道路的寬度是D.現(xiàn)在的問(wèn)題是如何確定L的大小.

模型求解 兩邊同時(shí)積分得v(t)=-at+c.由初始條件v(0)=v0，得c=v0，這樣

v(t)=v0-at.

所以，

那么黃燈究竟能亮多久呢？通過(guò)上面的推導(dǎo)可知，黃燈閃爍時(shí)間包括從駕駛員看到黃燈開始到汽車停下來(lái)所用時(shí)間和讓已經(jīng)過(guò)線的車順利穿過(guò)路口所用時(shí)間，因此黃燈閃爍時(shí)間至少應(yīng)該為

1.3 傳染病預(yù)報(bào)模型

問(wèn)題3 一只游船上有800名乘客，其中有一名乘客患了某種傳染病，12 h后3人發(fā)病.由于這種傳染病沒有早期癥狀，因此傳染者無(wú)法被及時(shí)隔離，救援人員將在60～72 h將疫苗送到，請(qǐng)估計(jì)疫苗送到時(shí)患這種傳染病的人數(shù).

模型分析 設(shè)y(t)表示發(fā)現(xiàn)首例病人后th感染的人數(shù)，則800-y(t)表示此時(shí)刻未受感染的人數(shù).由題意知，y(0)=1,y(12)=3.當(dāng)感染人數(shù)y(t)很小時(shí)，傳染病的傳播速度較慢，但當(dāng)感染人數(shù)y(t)較大時(shí)，傳播速度加快，因此感染人數(shù)與當(dāng)時(shí)病人數(shù)成正比，比例系數(shù)即為單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)病人能傳染健康人數(shù)的數(shù)目.

模型建立 單位時(shí)間內(nèi)的發(fā)病人數(shù)和當(dāng)時(shí)受感染者的人數(shù)以及未受感染的人數(shù)之積成正比，設(shè)比例系數(shù)為k.考慮t到t+Δt時(shí)刻，感染人數(shù)的增加量Δy=y(t+Δt)-y(t)，根據(jù)上面的分析，應(yīng)該有

Δy=y(t+Δt)-y(t)=ky(800-y(t))Δt，

則有

2 結(jié)束語(yǔ)

微分方程是研究自然科學(xué)、工程技術(shù)及社會(huì)生活現(xiàn)象的重要工具.通過(guò)研究微分方程解的各種屬性，能夠解釋一些現(xiàn)象，對(duì)未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)做出預(yù)測(cè)，為人們?cè)O(shè)計(jì)的新裝置提供參考.微分方程為自動(dòng)控制設(shè)計(jì)、氣象數(shù)值預(yù)報(bào)、人口增長(zhǎng)宏觀預(yù)測(cè)等提供了重要的理論依據(jù)[4].本文僅選取微分方程中的部分內(nèi)容，將數(shù)學(xué)建模思想融入常微分方程教學(xué)中，把數(shù)學(xué)與實(shí)際生活緊密聯(lián)系在一起.在教學(xué)過(guò)程中采取“案例式教學(xué)”，案例的分析采用“提出問(wèn)題——問(wèn)題分析——模型建立——模型求解”的教學(xué)模式，向?qū)W生講清微分方程的實(shí)際背景，列出微分方程并進(jìn)行求解，再返回到實(shí)際問(wèn)題中去解釋生活中的實(shí)際現(xiàn)象.這樣，既提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，通過(guò)案例教學(xué)的開展，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性有了較大幅度的提高，也對(duì)數(shù)學(xué)建模有了更深的認(rèn)識(shí)，這種新型教學(xué)模式值得我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中長(zhǎng)期堅(jiān)持.

[1] 李薇,李衛(wèi)軍,戴明強(qiáng).將建模思想融入數(shù)學(xué)教學(xué),培養(yǎng)大學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)[J].湖北師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2009,29(3):108-111.

[2] 熊佐亮, 蔣鵬, 朱向洪,等.微分方程應(yīng)用若干舉例[J].江西教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2006,(12):1-3.

[3] 王憲杰，候仁民，趙旭強(qiáng).高等數(shù)學(xué)典型應(yīng)用實(shí)例與模型[M].北京：科學(xué)出版社，2006:57-58.

[4] 陳代進(jìn).案例教學(xué)在高職計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)理論教學(xué)中的實(shí)踐探索[J].計(jì)算機(jī)教學(xué)與教育信息化，2009,23(4)：1 083-1 084.

Analysis on Cases of Mathematical Modeling in Ordinary Differential Equations

LIU Hongxia， ZHOU Shaowei

(CollegeofMathematicsandSystemScience，ShandongUniversityofScienceandTechnology，Qingdao266590，China)

In the teaching of differential equation, the issues related to practical life are selected and solved by adopting the idea of mathematical modeling. The case teaching helps the student to integrate theory with practice, and grasp the theory of ordinary differential equations better.

ordinary differential equations; mathematical modeling; actual case

2015-06-18

山東科技大學(xué)教育教學(xué)研究“群星計(jì)劃”項(xiàng)目(QX2013265)；山東科技大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目(JG201504)

劉洪霞(1979—)，女，山東泰安人，山東科技大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院講師.

10.3969/j.issn.1007-0834.2015.04.018

O13;G642.0

A

1007-0834(2015)04-0065-03