李星星， 朱星華

(1.鄭州城市職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部,河南 鄭州 452370;2.南方科技大學(xué) 基礎(chǔ)部,廣東 深圳 518055)

一種改進(jìn)預(yù)條件的AOR迭代法收斂性的討論

李星星1， 朱星華2

(1.鄭州城市職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部,河南 鄭州 452370;2.南方科技大學(xué) 基礎(chǔ)部,廣東 深圳 518055)

提出了一種改進(jìn)預(yù)條件的AOR迭代法，并證明了在非奇異M-矩陣下,該改進(jìn)預(yù)條件加速了AOR迭代法的收斂性．通過理論分析和數(shù)值實驗驗證，該方法均優(yōu)于文獻(xiàn)中所提出的預(yù)條件方法(I+S)．

L-矩陣；非奇異M-矩陣；預(yù)條件；收斂性；AOR迭代法

0 引言

求解線性方程組是數(shù)值線性代數(shù)的一個基本問題，即給定A∈Cn×n,b∈Cm，尋找解向量x∈Cn使得

Ax=b.

(1)

求此線性方程組所使用的傳統(tǒng)方法是Gaussian消元法，即假設(shè)系數(shù)矩陣A是一個n×n的非退化陣，它的運算量是O(n3)．現(xiàn)在一般研究的是用迭代法求方程組(1)的近似解，即用某種極限過程去逐漸逼近精確解，并發(fā)展了許多非常有效的迭代方法，常見的迭代法包含了Jacobi、Gauss-Seidel、SOR(succesive over relaxation)和SSOR(symmetric successive over relaxation)等方法，其中Jacobi和Gauss-Seidel迭代法是比較簡單的迭代法．近年來，為加速迭代法的收斂性，許多學(xué)者已采用預(yù)條件加速迭代法，甚至對一些不收斂的迭代法通過預(yù)條件處理后也可使得迭代法收斂．

其中I是單位矩陣，an1分別是系數(shù)矩陣A=(aij)n×n對應(yīng)位置上的元素，α、β都是正實數(shù)．

對線性方程組(1)，設(shè)A=D-E-F為非奇異矩陣(當(dāng)A為奇異矩陣時，可通過矩陣變換為低階的非奇異矩陣)，D為對角矩陣，E為嚴(yán)格下三角矩陣，F(xiàn)為嚴(yán)格上三角矩陣．結(jié)合矩陣的變換，A=D-E-F總可以變?yōu)锳=I-L-U，其中I為對角矩陣，L為嚴(yán)格下三角矩陣，U為嚴(yán)格上三角矩陣．故只就A=I-L-U進(jìn)行討論．

求解方程組的AOR迭代法為x(m+1)=Tγ,ωx(m)+ω(I-γL)-1D-1b,m=1,2,….相應(yīng)的迭代矩陣為Tγ,ω=(I-γL)-1[(1-ω)I+(ω-γ)L+ωU]，在預(yù)條件P=(I+S)后，方程組(1)變?yōu)?/p>

(2)

而相應(yīng)的系數(shù)矩陣變?yōu)?/p>

(3)

類似地，有

(4)

1 預(yù)備知識

定義1[2]若M是非奇異n階方陣，則稱A=M-N是A的分裂；若ρ(M-1N)<1，則稱分裂A=M-N是收斂的；若M-1≥0，N≥0則稱分裂是正規(guī)的；若M-1≥0，M-1N≥0，則稱分裂A=M-N是弱正規(guī)的；若M是非奇異的M-矩陣，且N≥0，則稱分裂A=M-N是M-分裂；若M-1N≥0，則稱分裂A=M-N是弱非負(fù)的．

引理1[3]設(shè)A=(aij)∈Zn×n為非奇異M-矩陣，且D∈Zn×n滿足D≥A，那么就有A-1與D-1都存在，并且還有A-1≥D-1≥0．

引理4[6]設(shè)A=M1-N1=M2-N2是A的兩個弱正規(guī)分裂，且若滿足下列條件之一：①N1≤N2；②N1≥0；③N2≥0，則ρ(M1-1N1)≤ρ(M2-1N2)<1.

2 主要結(jié)果及證明

在文獻(xiàn)[1]中，經(jīng)過預(yù)條件P=(I+S)后的迭代矩陣為

那么有以下結(jié)論：

證明 由于

則L1≥0,I1≥0，U1=0．

而

因為βan1+α≤0，故I2≥0，L2≥0，U2=0．由于(β-1)an1+α≥0，易知

從而

又,

綜上所述，有

3 數(shù)值實驗

例1 設(shè)線性方程組(1)的系數(shù)矩陣為

表1 α 和β 取不同的值時和的大小比較

表2 ω 和γ 不變的情況下和的大小比較

實驗表明，在滿足定理的條件下，對α和β取不同的值時，本文的預(yù)條件后收斂速度較快,且α和β越小，對比越明顯，即預(yù)條件后的收斂速度更快.

3.2 比較α和β取不同的值時預(yù)條件AOR迭代法迭代矩陣譜半徑的變化規(guī)律

表3 α 和β 取不同的值時和的大小比較

4 小結(jié)

筆者提出的預(yù)條件迭代矩陣的譜半徑要比文獻(xiàn)[1]中提出的預(yù)條件迭代矩陣譜半徑小，在一定程度上改進(jìn)了迭代法的收斂速度．特別地，存在一些不滿足定理條件的參數(shù)，當(dāng)取這些參數(shù)時，預(yù)條件迭代矩陣的譜半徑仍比文獻(xiàn)中的預(yù)條件迭代矩陣譜半徑小.

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[6] ELSNER L. Comparisons of weak regular splittings and multisplitting methods[J].Number Math,1989,56:283-289.

Discussion on Convergence of an Improved Preconditioned AOR Iterative Method

LI Xingxing1, ZHU Xinghua2

(1.DepartmentofBasic,CityCareerAcademyofZhengzhou,Zhengzhou452370,China;2.DepartmentofBasic,SouthUniversityofScienceandTechnologyofChina,Shenzhen518055,China)

An improved preconditioned AOR iterative method is presented. It proves that the improved precondition, in the condition of a nonsingularM-matrix, accelerates the convergence of AOR iterative method. According to the theoretical analysis and numerical experiments, the proposed method is prior to the method in document (I+S).

L-matrix; nonsingularM-matrix; preconditions; convergence; AOR method

2015-05-20

李星星(1987—)，女，山西文水人，鄭州城市職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部教師.

10.3969/j.issn.1007-0834.2015.04.007

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A

1007-0834(2015)04-0024-05