李 靜

(周口師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 周口 466001)

二維Radon變換在圖像重建中的重要性質(zhì)及定理

李 靜

(周口師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 周口 466001)

Radon變換及其逆變換作為圖像重建的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，在圖像重建中有著特殊的意義.首先介紹了二維Radon變換定義的幾種形式，然后總結(jié)了二維Radon變換的基本性質(zhì)：線性、帶線性、對稱性、周期性、位移性等，最后給出了中心切片定理和二維Radon逆變換公式并給予證明.

Radon變換；逆變換；傅里葉變換；圖像重構(gòu)；卷積

0 引言

Radon變換(或稱經(jīng)典Radon變換)是由奧地利數(shù)學(xué)家Radon于1917年提出來的.它作為積分幾何學(xué)的基石，為一大類圖像重構(gòu)(層析成像)問題提供了一個統(tǒng)一的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，已被廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、分子生物、無損探測、地球物理、材料科學(xué)、天文等方面.迄今為止，人們已經(jīng)開發(fā)出基于Radon變換的多種比較成熟的重建算法.

1 Radon變換的定義

一個n維函數(shù)f(x1,x2,…,xn)的Radon變換定義為n-1維超平面上的積分值.當n=2時，Radon變換可表示為[1]

其中直線L是oxy平面的任意一條直線，t是原點到直線L的距離，θ是直線L與x軸的夾角.Rf(t,θ)也可記作Rθf(t).

當直線L的方程為xcosθ+ysinθ=t時，Radon變換可表示為

如果借助Delta函數(shù)，Radon變換還可表示為

2 Radon變換的基本性質(zhì)

1)線性.R[af(x,y)+bg(x,y)]=aRf(t,θ)+bRg(t,θ).

3)對稱性.Rf(t,θ)=Rf(-t,θ±π).

4)周期性.Rf(t,θ)=Rf(t,θ±2kπ)，k為整數(shù).

5)位移性.若R[f(x,y)]=Rf(t,cosθ,sinθ)，則

R[f(x-a,y-b)]=Rf(t-acosθ-bsinθ,θ).

Rf(-t,-θ)=Rf(t,θ).

3 卷積

已知X=(x,y)，定義卷積如下

定理1 已知X=(x,y)，φ=(cosθ,sinθ)，則對于任意函數(shù)f,g∈φ(R2)(無限可微且速降)，有

Rφ(f*g)=Rφf*Rφg.

令X-Y=Z,則

再令Y·φ=m，則

又因為

所以

4 中心切片定理

圖像重構(gòu)問題實質(zhì)是由投影數(shù)據(jù)如何解出成像平面上各像素點的衰減系數(shù)的問題.由投影重建圖像的重要依據(jù)是傅里葉切片定理，或稱投影定理、中心切片定理.該定理指出[3]：某圖像函數(shù)f(x,y)在某一方向上的投影函數(shù)Rf(t,β)=Rfβ(t)的關(guān)于t的一維傅里葉變換，給出f(x,y)的二維傅里葉變換F(u,v)的一個切片，該切片與u軸相交成β角，且通過坐標原點.具體內(nèi)容如下：

(1)

證明 由題意知

由ω1=ωcosθ，ω2=ωsinθ，即得

5 Radon逆變換

為推導(dǎo)出Radon逆變換公式，我們首先對(1)式進行傅里葉逆變換得

由中心切片定理得

進一步化為

當x,y用極坐標表示時,

Radon逆變換也可表示為[4]

(2)

其中B,Hx,Dx分別表示反投影算子、Hilbert算子和導(dǎo)數(shù)算子.

由(2)式可知，已知投影數(shù)據(jù)Rf(t,θ)，求其逆變換，可經(jīng)過以下3個步驟：

1)Rf(t,θ)關(guān)于第一個變量t求偏導(dǎo)數(shù)；

2)對其偏導(dǎo)數(shù)做關(guān)于t的Hilbert變換；

3)對經(jīng)過Hilbert變換后的函數(shù)做反投影變換和歸一化運算.

6 結(jié)論

總結(jié)了Radon變換的定義的幾種形式以及基本性質(zhì)、卷積定理、中心切片定理及Radon逆變換公式，這些都可以推廣到n維空間，為以后研究Radon變換和圖像重建工作提供一定的幫助.

[1] NATTERER F. The Mathematics of Computerized Tomography[M]. New York: Wiley，1986:9-12.

[2] 張遠鵬. 計算機圖像處理技術(shù)基礎(chǔ)[M].北京：北京大學(xué)出版社，1996:12-18.

[3] 莊天戈. CT原理與算法[M].上海：上海交通大學(xué)出版社，1992:30-36.

[4] 邸燕，常宏宇.Radon變換在斷層成像中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識,2004，34(12):87-90.

Important Properties and Theorems of Two-dimensional Radon Transform in Image Reconstruction

LI Jing

(SchoolofMathematicsandStatistics,ZhoukouNormalUniversity,Zhoukou466001,China)

The Radon transform and its inverse transform have special significance as the mathematical foundation of the image reconstruction. First, several forms of the definition of two-dimension Radon transform are introduced, and then the basic properties of two-dimensional Radon transform are summarized: linear, linear, symmetry, periodic, displacement and so on. Finally, the center section theorem and a two-dimensional Radon inverse transform formula are given and proved.

Radon transform; inverse transform; Fourier transform; image reconstruction; convolution

2015-09-25

周口師范學(xué)院青年科研基金項目(ZKNUB315209)

李 靜(1986—)，女，河南周口人，周口師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院教師.

10.3969/j.issn.1007-0834.2015.04.006

TP391

A

1007-0834(2015)04-0021-03