張 莉，安新磊

（1.蘭州工業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)學(xué)科部，甘肅蘭州730050；2.蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院，甘肅蘭州730070）

一種新的多重權(quán)值復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的建立與同步控制

張 莉1，安新磊2

（1.蘭州工業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)學(xué)科部，甘肅蘭州730050；2.蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院，甘肅蘭州730070）

考慮復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)邊上多個權(quán)值的情況，建立了一種新的具有多重權(quán)值的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型.同時根據(jù)網(wǎng)絡(luò)拆分的思想，將含有多重權(quán)值的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)拆分為若干個單權(quán)值的子網(wǎng)絡(luò).根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，研究了多重權(quán)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的全局同步.通過Matlab數(shù)值仿真，驗證了該結(jié)論的有效性.

多重權(quán)值；復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)拆分；子網(wǎng)絡(luò)；網(wǎng)絡(luò)同步

0 引言

由于我們生活中存在著大量的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，促使我們?nèi)パ芯窟@些復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的行為［1－5］.在現(xiàn)實生活中有各種各樣的網(wǎng)絡(luò)，如交通網(wǎng)、信息網(wǎng)、金融網(wǎng)等，這就需要我們深入研究和更深刻地理解這些復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)、運行機制、動力行為、同步能力、抗干擾能力等.在有關(guān)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究中，網(wǎng)絡(luò)同步由于其應(yīng)用廣泛而備受關(guān)注［6－8］.

在已有的大部分文獻中，很大一部分研究成果還是集中在對無權(quán)網(wǎng)絡(luò)或單個權(quán)值的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進行研究［9－10］，對于具有多重權(quán)值的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究工作還很少［11－12］，而關(guān)于多重權(quán)值復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的研究工作幾乎還沒有.在現(xiàn)實生活中，很多網(wǎng)絡(luò)如通信網(wǎng)、人際關(guān)系網(wǎng)、生物網(wǎng)、交通網(wǎng)等都可以看做由多種不同性質(zhì)的權(quán)值構(gòu)成的多重權(quán)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò).例如，以一地區(qū)各城市作為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點，兩城市間有車通行則有連邊，在這樣的交通網(wǎng)中，兩城市之間存在多種交通方式，如公路、鐵路、公交車等，假如把不同車輛的運營時間作為權(quán)值，則在上述交通網(wǎng)中的邊上則有若干種不同的權(quán)值，這樣具有多個屬性的權(quán)值的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與單個權(quán)值的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)相比，它的拓撲結(jié)構(gòu)特征以及動力學(xué)特性會更加豐富，同時它也能更好地刻畫出交通網(wǎng)的性能.

本文首先建立一個多重權(quán)值復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型（即每條邊上的權(quán)值個數(shù)可以大于1），然后按照網(wǎng)絡(luò)拆分原則，令原網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點加上同一類型的權(quán)值組成多個單權(quán)值的子網(wǎng)絡(luò)，建立一種新的多重權(quán)值的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型，并以此為研究對象，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論分析了網(wǎng)絡(luò)的全局同步問題，給出了網(wǎng)絡(luò)達到同步的條件.最后，利用Matlab軟件進行數(shù)值仿真，驗證了理論描述的正確性.

1 新的多重權(quán)值復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)描述

考慮由N個相同節(jié)點組成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型，有

其中：f：Rn→Rn是連續(xù)動力學(xué)函數(shù)為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點動力學(xué)系統(tǒng)；ε＞0為網(wǎng)絡(luò)強度系數(shù)；H為網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點之間的內(nèi)部耦合函數(shù).矩陣表示網(wǎng)絡(luò)的拓撲節(jié)構(gòu)，又稱外部耦合矩陣，并且滿足一般耗散條件，其中aij的含義：在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)邊上賦予一個常數(shù)aij＝aji，定義為權(quán)重，它描述了此邊上兩節(jié)點間的關(guān)系，若兩節(jié)點間沒有邊相連，則aij＝aji＝0.這里矩陣的對角元定義為

本文在上述單權(quán)值復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上，在網(wǎng)絡(luò)的邊上定義多個不同屬性的權(quán)值，同時按照權(quán)值的不同，將其拆分為若干個單權(quán)值的網(wǎng)絡(luò)的結(jié)合.例如，在一個具有N個相同節(jié)點的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，在每條邊上賦予M個性質(zhì)不同的權(quán)值，并將每條邊上同一類型的權(quán)值作為拆分依據(jù)進行拆分.按照上述思想，可以將一個含有N個節(jié)點和三重權(quán)值的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進行拆分（見圖1）.

對于N個節(jié)點l重權(quán)值的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，假設(shè)每條邊上的權(quán)值為（a1ij，a2ij，…，alij），其中alij表示節(jié)點i和j之間的第l個權(quán)值.將l重權(quán)值復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)按照網(wǎng)絡(luò)拆分的原則拆分為l個子網(wǎng)絡(luò)，整個動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程為

式中s（t）為節(jié)點方程˙x＝f（xi（t））的一個達到同步的解.系統(tǒng)（1）的同步定義如下：

定義1 令式的解，是連續(xù)可微的，其中Ω?Rn.如果存在一個非空子集Λ?Ω，并且那么對所有的t≥t0和1≤i≤N，xi（t；t0，X0）∈Ω都成立，且有

式中x0?Ω.由此可知，（1）式所描述的系統(tǒng)就達到同步，并且Λ×…×Λ被稱為動態(tài)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的同步域.

定義誤差變量為ei（t）＝xi（t）－s（t），那么控制器vi的目標(biāo)就是引導(dǎo)控制（1）式趨于同步，即，令（3）式減去˙s＝f（s，t）得到誤差系統(tǒng)

式中：

下面給出定理中所需的假設(shè)與引理.

假設(shè)1 假設(shè)存在非負常數(shù)α，滿足?t∈R＋，有

假設(shè)2 假設(shè)存在非負常數(shù)βl，滿足?t∈R＋，有

假設(shè)3 假設(shè)多重權(quán)值復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中每條邊的所有權(quán)值均非負.

引理1

2 同步準(zhǔn)則

定理1 若假設(shè)1和假設(shè)2成立，選取控制器為

其中d是正常數(shù).

證明考慮如下的Lyapunov函數(shù)

對V進行求導(dǎo)，并將（3）式和（4）式代入得

由假設(shè)1可得

于是

由于gmij＝gmji（i≠j），可得

從而

由于d＞0，σm＞0，gmij≥0（i≠j），于是˙V（t）＜0，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理可得

于是系統(tǒng)（1）式在（4）式的作用下趨于同步.

3 數(shù)值仿真

考慮N＝3，l＝3的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，其拓撲結(jié)構(gòu)見圖1.對于圖2所描述的公交線路網(wǎng)，設(shè)

同時

選取Lorenz混沌系統(tǒng)為節(jié)點的動力學(xué)方程，假設(shè)H1＝H2＝diag（1，1，1），由（1）式得：

當(dāng)i＝1時，

當(dāng)i＝2時，

當(dāng)i＝3時，

在控制器v1，v2，v3的作用下，初值取，系統(tǒng)（1）在控制器v1，v2和v3的作用下趨于同步.誤差的仿真圖如圖（2）所示.

4 結(jié)論與展望

本文在單權(quán)值復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上，建立了一個多重權(quán)值復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型，在網(wǎng)絡(luò)的邊上，可以有多個不同性質(zhì)的權(quán)值.接著利用網(wǎng)絡(luò)拆分的思想，根據(jù)權(quán)值性質(zhì)的不同，將多重權(quán)值復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)拆分為若干個單權(quán)值的子網(wǎng)絡(luò).最后以Lorenz系統(tǒng)為例，研究了多重權(quán)值復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的全局同步問題.這種網(wǎng)絡(luò)在現(xiàn)實生活中有很大的應(yīng)用前景，其應(yīng)用將在以后的文章里繼續(xù)研究.

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Modeling and synchronization control of a new multi－weights complex network model

ZHANG Li1，AN Xin－lei2
（1.Department of the Basic Courses，Lanzhou Institute of Technology，Lanzhou 730050，China；2.School of Mathematics and Physics，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070，China）

Considering the case of the multiple edge weights in complex networks，this paper establishes a new complex network model with multiple weights，and according to the method of network split，splits the multi－weights complex network into several different single weighted complex networks.Then by using Lyapunov stability theory，investigates the globally adaptive synchronization of the multi－weights complex networks.Finally，the Matlab simulation shows the effective of the conclusion.

multi－weights；complex network split；sub－networks；network synchronization

O 231.5 ［學(xué)科代碼］ 120·1020 ［

］ A

（責(zé)任編輯：石紹慶）

1000－1832（2015）01－0053－06

10.16163／j.cnki.22－1123／n.2015.01.011

2013－09－29

國家自然科學(xué)基金自助項目（61364001）；教育部科技研究重點項目（212180）.

張莉（1982—），女，講師，主要從事非線性系統(tǒng)建模和非線性動力學(xué)研究；通訊作者：安新磊（1983—），男，講師，主要從事非線性與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究.