徐傳友, 曹錫芳

(1.阜陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 安徽 阜陽 236041;2.揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 揚(yáng)州 225009)

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三維Minkowski空間中常撓率運(yùn)動生成曲面的貝克隆變換

徐傳友1*, 曹錫芳2

(1.阜陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 安徽 阜陽 236041;2.揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 揚(yáng)州 225009)

在三維Minkowski空間中,得到了由常撓率曲線運(yùn)動生成的曲面及其貝克隆變換.該文主要考慮了如下三類運(yùn)動曲線: 類時運(yùn)動曲線;主法向量是類時的類空曲線; 主法向量是類時的類空曲線, 并且,運(yùn)動曲線的曲率由散焦mKdV方程或者mKdV方程得到. 其結(jié)果可以看成是負(fù)mKdV方程或者mKdV方程的貝克隆變換在幾何方面的應(yīng)用.

貝克隆變換; 曲線運(yùn)動; 類時曲線; Minkowski空間

總所周知,在物理、化學(xué)和生物等學(xué)科出現(xiàn)的非線性現(xiàn)象都可以由曲線和曲面以及曲線和曲面的演化等圖形的動力系統(tǒng)所刻畫,這些非線性現(xiàn)象在計算方面和鏡像進(jìn)展方面有著特別重要的應(yīng)用[1].大量的非線性演化方程與不同幾何中的曲線運(yùn)動有著密切關(guān)系,這些情況已為許多數(shù)學(xué)家所熟知.例如,Hasimoto[2]證明了薛定諤方程來自于三維歐式空間E3中的曲線運(yùn)動;而Langer和Perline[3-4]則得到了薛定諤方程序列.利用Hasimoto變換,Lamb則從E3中的曲線運(yùn)動中得到了mKdV方程和sine-Gordon方程.Nakamaya[5-6]表明了與四維閔科夫斯基空間E3,1中雙曲面的曲線運(yùn)動有關(guān)的可積方程有自然的偶對.Beffa[7-8]則考慮了黎曼幾何中的曲線運(yùn)動;Ding[9]研究了三維閔科夫斯基空間E2,1中曲線運(yùn)動與第二AKNS序列之間的關(guān)系.Chou和Qu[10-12]等人則詳細(xì)研究了克萊因幾何中的曲線運(yùn)動,并且從相應(yīng)地幾何中的平面曲線運(yùn)動得到了大量的可積方程.Goldstein等人[13]考慮了E3中平面曲線的運(yùn)動,并由mKdV方程的解構(gòu)造了相應(yīng)的曲線.Rogers和Schief[14-15]研究了E3中曲線僅沿副法向量運(yùn)動,得到了Razzaboni曲面的貝克隆變換,而Razzaboni曲面與可積方程的互逆變換有關(guān).Xu和Cao[16]研究了E2,1中三類曲線沿著副法向量運(yùn)動,并得到了相應(yīng)可積方程生成曲面的貝克隆變換.

本文將要討論E2,1中三類曲線的運(yùn)動,并根據(jù)mKdV方程和負(fù)mKdV方程的貝克隆變換,得到由方程的解生成的類時和類空曲面的貝克隆變換.

1 準(zhǔn)備知識

本文將要考慮帶有不定度量ds2=dx2+dy2-dz2的三維閔科夫斯基空間E2,1中的曲線和曲面.設(shè)u=(u1,u2,u3),v=(v1,v2,v3)∈E2,1,則兩向量的內(nèi)積定義為〈u,v〉=u1v1+u2v2-u3v3.設(shè)u=(u1,u2,u3)∈E2,1,如果〈u,u〉>0或者u=0,則稱向量u為類空的;如果〈u,u〉<0,則稱向量u為類時的;如果〈u,u〉=0,則稱向量u為類光(冪零)的.兩向量的向量積定義為u×v={u2v3-u3v2,u3v1-u1v3,u2v1-u1v2}.

(1)

(2)

αs=κt+ε1ε2βτ;βs=κγ-τα;γs=τt-ε1ε2κβ.

(3)

(4)

λs-ε1ε2κμ=0;μs+λκ-ε2ε3ντ=α;νs+μτ=β.

(5)

對于常撓率空間曲線來說,如果去τ=1,μ=-κs,ν=2κ,則由(5)式和(3)式的第二個方程得到

并且(3)式的第三個方程約化為了恒等式,而(3)式的第一個方程則化為:

(6)

很明顯,如果運(yùn)動曲線是主法向量是類空的類空曲線時,方程(6)化為修正的KdV(mKdV)方程

(7)

勢mKdV方程

的貝克隆變換最早是由Lamb[17]得到的,該變換等價于mKdV方程(7)的貝克隆變換[15].

引理1設(shè)κ是mKdV方程(7)的解,則

(8)

也是mKdV方程(7)的解,其中ρ是任意非零實數(shù),ξ是如下可積系統(tǒng)的解

(9)

如果運(yùn)動曲線是類時曲線或者主法向量是類時的類空曲線時,則方程(6)化為散焦mKdV方程

(10)

對于散焦mKdV方程(10),同樣有相應(yīng)的貝克隆變換.

定理1設(shè)κ是散焦mKdV方程(10)的解,則

(11)

也是散焦mKdV方程(10)的解,其中ρ是任意非零實數(shù),ξ是如下可積系統(tǒng)的解

(12)

2 由運(yùn)動曲線生成的曲面的貝克隆變換

本小節(jié)討論閔科夫斯基空間中的常撓率曲線運(yùn)動和貝克隆變換.所有要討論的曲線運(yùn)動都由mKdV方程(6)和散焦mKdV方程(10)控制.考慮如下3種類型:1) 類時的運(yùn)動曲線;2) 主法向量是類時的類空運(yùn)動曲線;3) 主法向量是類空的類空運(yùn)動曲線.由于這3種類型的證明是相似的, 故只需要詳細(xì)證明第一種類型, 而對于另外兩種類型, 只給出主要定理, 而略去證明過程.

2.1 類時曲線

對于類時曲線, 有

散焦mKdV方程(10)的Lax對是

取矩陣

(13)

由文獻(xiàn)[14]中定理28,取矩陣P∈SU(1,1),即P*g0P=g0及detP=1,其中P*為P的共軛轉(zhuǎn)置,g0=diag(1,-1).李群SU(1,1)的李代數(shù)su(1,1)是由形如

的2×2矩陣構(gòu)成的.

李群SO(1,2)是由行列式為1的三階矩陣M構(gòu)成,其中M滿足MTg1M=g1,MT為M的轉(zhuǎn)置,g1=diag(-1,1,1).李群SO(1,2)的李代數(shù)so(1,2)是由形如

的3×3矩陣構(gòu)成的.李代數(shù)su(1,1)和李代數(shù)so(1,2)之間的同構(gòu)對應(yīng)是

由李代數(shù)su(1,1)和李代數(shù)so(1,2)之間的同構(gòu)對應(yīng),得到李群SU(1,1)和李群SO(1,2)之間的映照.

引理2取矩陣P∈SU(1,1)由(13)定義,則

是李群SU(1,1)和李群SO(1,2)之間的覆蓋同態(tài).

由文獻(xiàn)[14]中定理28和引理2,取引理2中的矩陣P為：

P=

則可以得到類時運(yùn)動曲線的Frenet標(biāo)架之間的變換.下面這個定理可以看成是散焦mKdV方程(10)的貝克隆變換的幾何實現(xiàn).

(14)

其中，

即 (1) 和(2)在變換 (11) 和(14)下保持不變,并且

-A11s=A22s=(κ′+κ)A12,

A12s=(A22+1)(κ′+κ)= -(A11+1)(κ′+κ),

A13s=A23(κ′+κ)/2,A23s=A13(κ′+κ)/2,

所以有

所以有

定理2得證.

2.2 主法向量是類時的類空曲線

對于主法向量是類時的類空曲線, 有

散焦mKdV方程(10)的Lax對如上節(jié)給出.考慮矩陣達(dá)布變換中的形如(13)的矩陣.取矩陣P∈SU(1,1),李群SU(1,1)的李代數(shù)su(1,1)由上節(jié)給出.

李群SO(1,-1,1)是由行列式為1的三階矩陣M構(gòu)成,其中M滿足MTg2M=g2,MT為M的轉(zhuǎn)置,g2=diag(1,-1,1).李群SO(1,-1,1)的李代數(shù)so(1,-1,1)是由形如

的3×3矩陣構(gòu)成的.李代數(shù)su(1,1)和李代數(shù)so(1,-1,1)之間的同構(gòu)對應(yīng)是

由李代數(shù)su(1,1)和李代數(shù)so(1,-1,1)之間的同構(gòu)對應(yīng),得到李群SU(1,1)和李群SO(1,-1,1)之間的映照.

引理3取矩陣P∈SU(1,1)由(13)定義,則

是李群SU(1,1)和李群SO(1,-1,1)之間的覆蓋同態(tài).

由文獻(xiàn)[14]中定理28和引理3,取引理3中的矩陣P為：

(0<ρ2<1)

則可以得到主法向量是類時的類空運(yùn)動曲線的Frenet標(biāo)架之間的變換.下面這個定理也可以看成是散焦mKdV方程(10)的貝克隆變換的幾何實現(xiàn).

(15)

其中,0<ρ2<1且

即 (1) 和(2)在變換 (11) 和(15)下保持不變,并且

2.3 主法向量是類空的類空曲線

對于主法向量是類時的類空曲線, 有

mKdV方程(7)的Lax對由文獻(xiàn)[14,18]給出.考慮矩陣達(dá)布變換中的形如(13)的矩陣.取矩陣P∈SU(1,1),李群SU(1,1)的李代數(shù)su(1,1)由上節(jié)給出.

李群SO(2,1)是由行列式為1的三階矩陣M構(gòu)成,其中M滿足MTg3M=g3,MT為M的轉(zhuǎn)置,g2=diag(1,1,-1).李群SO(2,1)的李代數(shù)so(2,1)是由形如

的3×3矩陣構(gòu)成的.李代數(shù)su(1,1)和李代數(shù)so(2,1)之間的同構(gòu)對應(yīng)是

由李代數(shù)su(1,1)和李代數(shù)so(2,1)之間的同構(gòu)對應(yīng),得到李群SU(1,1)和李群SO(2,1)之間的映照.

引理4取矩陣P∈SU(1,1)由(13)定義,則

是李群SU(1,1)和李群SO(2,1)之間的覆蓋同態(tài).

由文獻(xiàn)[14]中定理28和引理3,取引理4中的矩陣P為：

(0<ρ2<1)

則可以得到主法向量是類空的類空運(yùn)動曲線的Frenet標(biāo)架之間的變換.下面這個定理可以看成是mKdV方程(7)的貝克隆變換的幾何實現(xiàn).

(16)

其中,0<ρ2<1且

即 (1) 和(2)在變換 (8) 和(16)下保持不變,并且

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B?cklund transformations on surfaces swept out by moving curves with constant torsion in Minkowski 3-space

XU Chuanyou1, CAO Xifang2

(1.School of Mathematics and Statistics, Fuyang Teachers College, Fuyang, Anhui 236041;2.School of Mathematical Science, Yangzhou University, Yangzhou, Jiangsu 225009)

We obtain B?cklund transformation on surfaces which are swept out by moving curves with constant torsion in Minkowski 3-space. Our discussion is divided into three different cases, i.e., the parent curve being timelike, spacelike with timelike principal normal, and spacelike with spacelike principal normal. The curvature of the moving curve discussed in this paper is governed by the negative modified KdV equation or modified KdV equation. Our result can be regarded as geometric realization of the B?cklund transformation for the negative modified KdV equation or modified KdV equation.

B?cklund transformation; motion of curve; timelike curve; Minkowski space

2014-06-18.

國家自然科學(xué)基金項目(11401104,11101352);安徽省高等學(xué)校省級自然科學(xué)研究項目(KJ2014A196,KJ2013Z263);阜陽師范學(xué)院研究項目(FSB201301010).

1000-1190(2015)01-0014-07

O186

A

*E-mail:xuchuanyou2008@163.com.