☉江蘇省射陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 徐建華

多元表征，追求高水平的數(shù)學(xué)教學(xué)

☉江蘇省射陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 徐建華

得益于南京大學(xué)哲學(xué)系鄭毓信教授對(duì)“多元表征理論”的推介和闡釋（詳見(jiàn)文1），我們知道：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)在20世紀(jì)80年代以來(lái)，人們對(duì)數(shù)學(xué)概念心理表征的多元性更加重視，“多元表征理論”強(qiáng)調(diào)概念表征在不同方面的相互滲透與必要互補(bǔ)．本文基于“多元表征理論”，結(jié)合初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐與反思，從多元表征的視角追求高水平的數(shù)學(xué)教學(xué)．

一、概念教學(xué)的多元表征

1.概念引入的豐富多樣

我們知道，不少教材在引入一個(gè)新的概念時(shí)總是喜歡從生活現(xiàn)實(shí)出發(fā)，抽象并定義新的數(shù)學(xué)概念，然而《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》上指出數(shù)學(xué)情境要用好“生活現(xiàn)實(shí)”、“數(shù)學(xué)現(xiàn)象”、“其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)”．據(jù)此，本著“邏輯連貫、前后一致”（章建躍語(yǔ)）的追求，不少數(shù)學(xué)概念的引入，則可以基于“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”的情境引入，比如，對(duì)于平方根第1課的教學(xué)，筆者就沒(méi)有使用教材上的情境設(shè)計(jì)，而設(shè)計(jì)如下的系列問(wèn)題引入新課：

案例1平方根第1課時(shí)情境引入.

記M＝an．

（1）當(dāng)a＝2，n＝3時(shí)，則M＝_______；當(dāng)a＝-2，M＝4時(shí)，則n＝_______；

（2）當(dāng)n＝2，M＝16時(shí)，則a＝_______；當(dāng)n＝3，M＝-27時(shí)，則a＝_______；

（3）解方程：①x2＝9；②（x-1）2＝16；③x3-27＝0；

（4）解方程：①2x＝8；②（-2）x-4＝0；③2·（-3）x＋54＝0．

說(shuō)明：有研究者曾在文2中指出：“從‘教什么’的視角來(lái)看，數(shù)學(xué)教師的教學(xué)水平的高低，首當(dāng)其沖地體現(xiàn)在對(duì)教學(xué)內(nèi)容的把握上．并認(rèn)為高水平的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該重視‘結(jié)構(gòu)’的教學(xué)，要善于抓住課程的主線和基本脈絡(luò)，抓住課程的內(nèi)在聯(lián)系，形成整體認(rèn)識(shí)．把個(gè)別的、離散的現(xiàn)象構(gòu)造成渾然一體的系統(tǒng)．”基于上述認(rèn)識(shí)，在七年級(jí)上學(xué)期學(xué)生已學(xué)過(guò)乘方，在開(kāi)課階段基于學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)冪的表達(dá)式“an”，從不同角度設(shè)計(jì)了求值、求未知數(shù)的值，大多數(shù)學(xué)生根據(jù)逆運(yùn)算很快就能求出解答；然而，我們的目的并不僅僅在于檢測(cè)運(yùn)算能力，而是引導(dǎo)學(xué)生從不同的視角思考冪的表達(dá)式，體會(huì)互逆運(yùn)算的意義，并跟學(xué)生指出：在七年級(jí)上學(xué)期我們學(xué)過(guò)了已知底數(shù)、指數(shù)求冪；接下來(lái)我們將學(xué)習(xí)已知冪、指數(shù)，嘗試求底數(shù)的運(yùn)算，這種運(yùn)算與乘方是互逆的，定義為開(kāi)方運(yùn)算．而像第（4）問(wèn)這樣的求指數(shù)運(yùn)算以后再學(xué)習(xí)．那么開(kāi)方運(yùn)算就先從最簡(jiǎn)單的情況開(kāi)始，即開(kāi)平方．我們也知道，加、減、乘、除的結(jié)果分別稱之為和、差、積、商；乘方的結(jié)果是冪，那么開(kāi)方的結(jié)果稱為方根；開(kāi)平方的結(jié)果就稱為平方根（或二次方根）．

2.概念呈現(xiàn)的多元表征

鄭毓信教授在文3中曾利用圖1講解“標(biāo)準(zhǔn)圖形”和“非標(biāo)準(zhǔn)圖形”．并倡導(dǎo)幾何概念教學(xué)需要對(duì)“標(biāo)準(zhǔn)圖形”、“非標(biāo)準(zhǔn)圖形”都要開(kāi)展相關(guān)的訓(xùn)練．

圖1

受到啟發(fā)，筆者在七年級(jí)相反數(shù)教學(xué)時(shí)，并沒(méi)有止步于教材上關(guān)于相反數(shù)給出描述性的定義：“像2和-2，5和-5這樣，只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)”，“一般地，a和-a互為相反數(shù)”．如果僅僅讓學(xué)生記住這些概念是容易的，然而并不能達(dá)到對(duì)相反數(shù)這個(gè)核心概念的深刻理解．所以我們需要從如下幾個(gè)角度多元表征相反數(shù)的概念：

事實(shí)上，幫助七年級(jí)學(xué)生對(duì)相反數(shù)概念的標(biāo)準(zhǔn)形式和非標(biāo)準(zhǔn)形式的完善認(rèn)知之后，學(xué)生不僅對(duì)相反數(shù)概念有了深刻的理解，而且在后續(xù)練習(xí)相關(guān)習(xí)題時(shí)就不至于無(wú)從下手，以下就是一類典型的跟進(jìn)練習(xí)：

案例2相反數(shù)概念的跟進(jìn)練習(xí).

（1）如果a＝-13，那么-a＝______；

（2）如果-a＝-5.4，那么a＝______；

（3）如果-［＋（-2a）］＝20，那么a＋45＝______.

思考：點(diǎn)M，N是數(shù)軸上兩點(diǎn)，分別表示數(shù)m，n.

（5）若點(diǎn)A表示的數(shù)是2，當(dāng)MA＝NA時(shí)，求4m＋4n＋20的值.

說(shuō)明：第（1）～（3）問(wèn)訓(xùn)練學(xué)生對(duì)相反數(shù)概念的理解，會(huì)從“數(shù)”的角度通過(guò)變換符號(hào)解答問(wèn)題；而第（4）問(wèn)則需要從“形”的角度識(shí)別相反數(shù)，進(jìn)而運(yùn)用相反數(shù)的性質(zhì)解答；最后一問(wèn)將問(wèn)題拓展開(kāi)去，需要學(xué)生有較好的遷移能力、數(shù)形結(jié)合的分析能力．因?yàn)?，從本質(zhì)上說(shuō)，在數(shù)軸上，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)只是對(duì)原點(diǎn)的距離相等，而數(shù)學(xué)有很多成對(duì)出現(xiàn)的點(diǎn)，它們的中點(diǎn)并不一定在原點(diǎn)，第（5）問(wèn)就是將問(wèn)題一般化的思考．

二、習(xí)題教學(xué)的多元表征

1.習(xí)題教學(xué)需要鼓勵(lì)不同解法

這是我們?cè)谄吣昙?jí)上冊(cè)“列代數(shù)式”時(shí)的一個(gè)教學(xué)片斷：

圖2

案例3住宅平面圖的列式.

如圖2，是一所住宅的建筑平面圖，用式子表示這所住宅的建筑面積．

經(jīng)過(guò)3分鐘的思考，學(xué)生匯報(bào)了如下的一些列式：

學(xué)生1：x2＋2x＋12＋6．

學(xué)生2：x2＋2x＋18．

學(xué)生3：（x＋4）（x＋2）-4（x-3）-2．

教師：同學(xué)們?cè)趺纯催@三種答案呢？

學(xué)生1：我列的式子沒(méi)有化簡(jiǎn)，跟第二種是一樣的．

教師：很好，一般來(lái)說(shuō)，我們都要寫出最簡(jiǎn)答案，你的優(yōu)化思想值得肯定，“學(xué)生3”的列式正確嗎？

（大家又陷入沉思，2分鐘后還沒(méi)有人能找出錯(cuò)誤）

教師：那我們來(lái)試一下吧，當(dāng)x＝4時(shí)，不妨代入“學(xué)生2”、“學(xué)生3”所列的式子，看看結(jié)果如何？

經(jīng)過(guò)計(jì)算，大家發(fā)現(xiàn)求出的結(jié)果是一致的.

教師：好，大家經(jīng)過(guò)數(shù)值驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)兩個(gè)式子所得到的數(shù)值是一致的，然而這還不是很有力量的解釋，讓我們留下一個(gè)疑問(wèn)，兩個(gè)式子為什么會(huì)相等？這要待整式的乘法之后才能獲得更有力量的解釋.

說(shuō)明：數(shù)學(xué)解題中的“一題多解”、“多解歸一”非常多見(jiàn)，解題教學(xué)時(shí)要盡可能引導(dǎo)學(xué)生表達(dá)自己的見(jiàn)解，一方面可以讓其他學(xué)生“學(xué)會(huì)傾聽(tīng)”，理解并讀懂他人解法，另外也是讓不同解法的學(xué)生學(xué)會(huì)為自己的解法解釋理由，即學(xué)會(huì)辯護(hù).至于現(xiàn)階段還不能找出更有力量的解釋時(shí)，留待以后再解決也不失為一種存疑的做法.

2.習(xí)題教學(xué)需要反思“結(jié)構(gòu)相同問(wèn)題”

很多解題研究學(xué)者都提倡解題回顧、解后反思，而且指出很多反思的視角.其中引導(dǎo)學(xué)生反思問(wèn)題的“深層結(jié)構(gòu)”是十分重要的，特別是基于多元表征的角度將問(wèn)題變式后，揭示本質(zhì)和深層結(jié)構(gòu)，則能促進(jìn)學(xué)生“解一題，會(huì)一類，通一片”.下面引一個(gè)題例說(shuō)明：

案例4填空題.

（1）一個(gè)數(shù)的平方等于它本身，這個(gè)數(shù)是________；一個(gè)數(shù)的平方根等于它本身，這個(gè)數(shù)是________；一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根等于它本身，這個(gè)數(shù)是________.

（2）一個(gè)數(shù)的立方等于它本身，這個(gè)數(shù)是________；一個(gè)數(shù)的立方根等于它本身，這個(gè)數(shù)是________.

教學(xué)故事：不少學(xué)生都能根據(jù)數(shù)的開(kāi)方的經(jīng)驗(yàn)說(shuō)出答案，除少數(shù)學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生會(huì)出現(xiàn)漏解的問(wèn)題之外，似乎沒(méi)有太多需要講評(píng).事實(shí)上，這類問(wèn)題是一種典型的“文字表征”，如果對(duì)應(yīng)著“符號(hào)表征”就容易想到如下的等價(jià)命題：

（1）由x2=x，得x=0或1；由，得x=0；由x，得x=0或1.

（2）由x3=x，得x=0，1或-1；由得x=0，1或-1.

這樣讓學(xué)生從符號(hào)表達(dá)的角度再反觀原命題，自然就深化了理解，理解了這類問(wèn)題的本質(zhì)或深層結(jié)構(gòu).

三、進(jìn)一步的思考

應(yīng)該承認(rèn)，追求高水平的數(shù)學(xué)教學(xué)是作為專業(yè)技術(shù)人員的教師孜孜以求的目標(biāo)，也是我們專業(yè)成長(zhǎng)、專業(yè)精進(jìn)的目的.然而，就“多元表征”視角來(lái)看，概念教學(xué)需要教師本身對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯關(guān)聯(lián)、前后一致有深刻的理解和認(rèn)識(shí)；解題教學(xué)需要教師本身具有優(yōu)秀的解題能力和命題功夫.以下再圍繞這兩個(gè)話題，給出進(jìn)一步的闡釋.

1.概念教學(xué)的多元表征，需要教師的“深刻理解”

這里所謂的“深刻理解”是指旅美獨(dú)立學(xué)者馬立平博士在名著《小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握與教學(xué)》中提出的“數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解（PUFM）”，［4］馬立平認(rèn)為“能夠從深度、廣度和完整度方面深刻理解”，并進(jìn)一步指出深刻理解的教與學(xué)常常有四種特性，即“關(guān)聯(lián)度、多角度、基本思想、縱向融會(huì)貫通”.在上文“案例1”中，我們基于相反數(shù)在前后知識(shí)鏈中的作用，認(rèn)識(shí)到相反數(shù)可借助于“在先”的數(shù)軸形象的定義，并利用數(shù)軸發(fā)現(xiàn)“性質(zhì)”（互為相反數(shù)的兩數(shù)和為零），并從特殊走向一般（給出a，b互為相反數(shù)?a+b=0）.在這個(gè)意義上，章建躍教授近年來(lái)倡導(dǎo)的“理解數(shù)學(xué)”也是值得關(guān)注的，因?yàn)闆](méi)有教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容的深刻理解、多角度貫通，那就很難在概念教學(xué)中多元表征，為學(xué)生多打開(kāi)幾扇窗，讓“課堂向四面八方打開(kāi)”.

2.解題教學(xué)的多元表征，需要教師的命題功夫

應(yīng)該承認(rèn)，受到應(yīng)試教育的影響，解題教學(xué)、習(xí)題講評(píng)在課堂教學(xué)中占有很大的份量，追求高水平的解題教學(xué)，也成為我們的努力方向.筆者以為，教師必要的解題能力之后則需要修煉命題能力，因?yàn)槊}能力的提升必然伴隨著對(duì)習(xí)題的深刻理解、深層結(jié)構(gòu)的揭示.如上文提及的“案例4”，如果教師缺少將“文字命題”轉(zhuǎn)譯成“符號(hào)命題”的敏感，就難啟發(fā)學(xué)生思考命題的符號(hào)化表達(dá).

四、結(jié)束語(yǔ)

“多元表征理論”內(nèi)涵豐富，本文只是結(jié)合概念教學(xué)、解題教學(xué)過(guò)程中的心得體會(huì)做了案例闡釋，并不一定貼切，更不一定正確.期待更多的案例跟進(jìn)和批判意見(jiàn).

1.鄭毓信．多元表征理論與概念教學(xué)［J］．小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2011（10）.

2.李祎．高水平數(shù)學(xué)教學(xué)到底該教什么［J］．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014（6）.

3.鄭毓信．多元表征理論與概念教學(xué)（續(xù)）［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2011（6）.

4.馬立平，著.小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握和教學(xué)［M］．李士锜，吳穎康，等，譯．上海：華東師范大學(xué)出版社，2011.

5.劉東升．追求適合初中學(xué)生的教學(xué)深度［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2014（9）.H