☉江蘇省海門市三星初級中學(xué) 顧 艷

一道數(shù)學(xué)中考題引發(fā)的思考

☉江蘇省海門市三星初級中學(xué) 顧 艷

筆者很榮幸地參加了2013年南通市中考數(shù)學(xué)第24題的閱卷工作.在認(rèn)真嚴(yán)肅、緊張有序的工作中，學(xué)生的多種解法和諸多錯誤呈現(xiàn)讓我感觸良多.

我們先來看看該題的廬山真面目.

已知：如圖1，AB=AC，AD=AE，DE=BC且∠BAE=∠DAC.求證：四邊形BCED是矩形.

圖1

一、多種正確解法，百花齊放

此題形式簡單、圖形簡潔，證明方法又呈多樣性，很好地檢查了學(xué)生的思維方式和對三角形、平行四邊形及特殊平行四邊形相關(guān)知識的掌握情況，堪稱好題.

證法1：證平行四邊形+（一組）對角線相等.

連接BE、CD.

由∠BAE=∠DAC，得∠1=∠2.

通過已知條件易證△ADB≌△AEC，所以DB=CE.又DE=BC，故四邊形BCED是平行四邊形（※證平行四邊形的代表方法）.

易證△ADC≌△AEB，則DC=BE.

所以平行四邊形BCED是矩形.

證法2：證平行四邊形+一個直角.

※同證法1得平行四邊形BCED，則BD∥CE，所以∠BDE+∠DEC= 180°.

由AD=AE，得∠3=∠4.

由△ADB≌△AEC，得∠ADB=∠AEC，所以∠BDE=∠DEC=90°，所以平行四邊形BCED是矩形.

證法3：證四個角相等.

同證法2得∠BDE=∠DEC.

由△ADB≌△AEC，得∠7=∠8.

由AB=AC，得∠5=∠6.

圖2

圖3

所以∠DBC=∠ECB.又∠BDE+∠DEC+∠DBC+∠ECB=360°，所以∠BDE+∠DBC=180°，則BC∥DE.又BC=DE，故四邊形BCED是平行四邊形，則∠DEC=∠DBC，∠BDC=∠BCE，所以∠BDE=∠DEC=∠DBC=∠ECB，所以平行四邊形BCED是矩形.

證法4：另類證法.

其他部分同前，為證BC∥DE.

方法①：易證∠1=∠2，∠3=∠4，則∠9=∠10.

由AB=AC，得∠5=∠6，則∠9=∠5，所以BC∥DE.

凡此種種，學(xué)生面對此題做出的反應(yīng)恐怕也是命題人未曾預(yù)料到的，在批改過程中不僅正確的方法多，而且該題的錯誤也“不甘示弱”地呈現(xiàn)著.

二、錯誤解法，層出不窮

1.弄錯三線八角關(guān)系

由∠ADB=∠AEC，∠3=∠4，得∠BDE=∠DEC，則DB∥CE.

2.用錯定理

由DE∥BC和BC=DE、∠BDE=∠DEC，直接推出四邊形BCED是矩形；由DB∥CE和BC=DE推出四邊形BCED是平行四邊形；由∠BDE=∠DEC和∠DBC=∠ECB推出四邊形BCED是平行四邊形或矩形.

3.證明過程有邏輯漏洞

圖中有等腰三角形出現(xiàn)，想到三線合一：過A作AP⊥DE于P、AH⊥BC于H，忘證A、P、H三點(diǎn)共線，導(dǎo)致功虧一簣.

三、紛擾背后的原因分析

（1）從知識點(diǎn)來說，三角形、四邊形是學(xué)生比較熟悉的.題設(shè)中出現(xiàn)多個等腰三角形，另外圖形條件、所求結(jié)論與平行四邊形、矩形有關(guān)的判斷定理、性質(zhì)定理也有多個，由此學(xué)生思路比較發(fā)散.可以由題設(shè)得出很多結(jié)論，或者有諸多的解題技巧跑出腦海“獻(xiàn)媚”.故在批閱過程中用到多余證明的大有人在，還有甚者聯(lián)系到相似、圓的知識來解決！

由此可見學(xué)生思維的發(fā)散中還反映出有一定的思維定勢存在.看到熟悉的已知條件就不管三七二十一地往下推理了，這也是思維定勢的體現(xiàn).

在閱卷過程中，筆者做了個粗略的統(tǒng)計(jì)：考生中有近20%的學(xué)生想到通過作等腰三角形底邊上的高來解決問題.當(dāng)然這部分學(xué)生中少有人能做對，對于他們而言，不僅浪費(fèi)時間，而且推理過程有錯誤，還得不到分.究其原因就是思維定勢惹出的禍.

（2）從學(xué)生的學(xué)習(xí)方法上來看，沒有快而準(zhǔn)地解決本題的學(xué)生，思考幾何或者遇到問題時的思維方法、方式存在弊端.我們來看看評卷中多余證明的出現(xiàn)，例如有學(xué)生為證DB=CE，先證△ADF≌△AEG（ASA），則DF= GE，再證△FDB≌△EGC（SAS），真是大費(fèi)周章！這與學(xué)生思維培養(yǎng)時，對分析法掌握不佳有關(guān).由熟悉的已知條件出發(fā)可得的結(jié)論太多，而忽視了最終需要的結(jié)論，如果能進(jìn)一步篩選條件就會事半功倍.

筆者在八年級的學(xué)生中做了個試驗(yàn)，拿這道題去考查，做的快的學(xué)生在3-5分鐘內(nèi)就將正確的答案書寫好了，而做的慢的學(xué)生，在10分鐘、15分鐘后進(jìn)行正確解答，還有學(xué)生在25分鐘后才想出解法，當(dāng)然還有的是不會的.可見，常?；〞r越長，解法越復(fù)雜，正確率卻越低.

反思我們平時的教學(xué)過程，很多教師由功利內(nèi)心驅(qū)使，往往替代學(xué)生分析，或者由幾個少數(shù)優(yōu)生進(jìn)行解答，這樣課堂容量大了、節(jié)奏快了，但是教師對于學(xué)生思維的培養(yǎng)不舍得花時間、花力氣，長此以往，學(xué)生的思維會陷入“學(xué)而不思”的迷惘狀態(tài).所以作為教師，我們遇到特殊、有代表性的題目時，須精講、講透，因?yàn)橐寣W(xué)生形成簡潔、有效的思維判斷方法，首先要讓他們知其所以然，并能正確地分析.

（3）從學(xué)生的考試心理來講，緊張的中考?xì)夥?，和之前的填空、選擇難題，已經(jīng)消耗了學(xué)生的部分耐心、體力.急于從以往的解題經(jīng)驗(yàn)中獲取方法成了他們的第一反應(yīng)，而且隨后的號稱南通中考試卷的“三虎把關(guān)”的三大題，一向是學(xué)生花時間最多的地方，當(dāng)此題分析不順暢時，學(xué)生的浮躁、憂慮都跑出來，就更不易順利解題了.這樣一來，在這道題上很多學(xué)生是“賠了夫人又折兵”，使得本題得不到理想的分不說，還浪費(fèi)了答題時間，影響了自己的情緒.

想想我們平時的考試、測驗(yàn)多如牛毛，教師更多的是在知識點(diǎn)、學(xué)習(xí)方法上總結(jié)提煉，有時間花在心理輔導(dǎo)上嗎？少有！但不管是哪一場考試，都與心理無關(guān)嗎？學(xué)生的考試心理輔導(dǎo)，應(yīng)提到重要的高度來研究和落實(shí).

其實(shí)，我們完全可以在平時把目光投向?qū)W生心理的輔導(dǎo)，明確考試是在規(guī)定時間內(nèi)盡可能地完成卷面上的試題，做到先易后難，合理調(diào)控時間成為答題的關(guān)鍵策略.結(jié)合考試的選拔功能和難度系數(shù)的配比，輔導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行取舍，明白有舍才有得、不舍不得的道理.當(dāng)然這種輔導(dǎo)和鍛煉不是一朝一夕就能奏效的，很多學(xué)校在中考前的考前輔導(dǎo)中才提及，筆者認(rèn)為效果甚微，心理輔導(dǎo)就應(yīng)當(dāng)成“平日功”常練，還要提醒學(xué)生注意累積方法，不斷改善考試心理.

四、解決問題的具體對策

1.教師解放思想，做好“導(dǎo)演”

數(shù)學(xué)課標(biāo)指出：教學(xué)活動是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程.有效的教學(xué)活動是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者.

（1）引領(lǐng)學(xué)習(xí)，指導(dǎo)學(xué)習(xí)方法.

以往，教師鉆研教材多、研究教法和學(xué)生的學(xué)法少，故在舊的教學(xué)模式下，教師注重培養(yǎng)的是學(xué)生學(xué)習(xí)知識技能的方法，這樣，學(xué)生思維定勢的出現(xiàn)就是必然的了.不可否認(rèn)，解題中出現(xiàn)的思維定勢是解決數(shù)學(xué)問題的思維格式和思維慣性，是數(shù)學(xué)知識的積累和解題經(jīng)驗(yàn)、技能的匯集，一方面，有利于學(xué)生按照一定的程序思考問題，比較方便、順利地求得一般同類題的答案，另一方面，思維定勢的單一深化和習(xí)慣性增長又引發(fā)了許多負(fù)面影響.

教師可以通過典型題的一題多解、變式演練（變條件、變結(jié)論、變背景等）培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和舉一反三的能力，要求學(xué)生勤于思考，善于總結(jié)、反思學(xué)習(xí)方法，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

（2）做好預(yù)習(xí)，插上學(xué)習(xí)的翅膀.

預(yù)習(xí)不是僅看看書而已，也不僅僅是提前做幾道題目.教師指導(dǎo)學(xué)生預(yù)習(xí)時要求學(xué)生做到：一略讀教材有關(guān)內(nèi)容（主張學(xué)生不拘泥于一課時閱讀，可以一章一節(jié)系統(tǒng)閱讀），掌握本課、本節(jié)、本單元的知識結(jié)構(gòu)；二細(xì)讀重要概念、公式、法則、定理，在難以理解的地方作出標(biāo)記，最好能提出問題，這樣帶著疑問去聽課，能使被動學(xué)習(xí)變?yōu)橹鲃訉W(xué)習(xí).能這樣堅(jiān)持長期預(yù)習(xí)的學(xué)生定會在閱讀能力、鉆研問題等方面有長足的進(jìn)步.

（3）多元評價，教師身體力行.

避免用單一的考試成績來衡量學(xué)生的一切.應(yīng)當(dāng)建立目標(biāo)多元、方法多樣的評價體系，欣賞學(xué)生的進(jìn)步，重視學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度，幫助學(xué)生更好地認(rèn)識自我、建立信心；還可以給學(xué)生建立評價檔案，鼓勵他們的點(diǎn)滴成長，督促他們自覺對照.

學(xué)生的學(xué)習(xí)評價主要是為了全面了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程和結(jié)果，激勵學(xué)生學(xué)習(xí)和改進(jìn)教師的教學(xué).

2.學(xué)生明晰目標(biāo)，爭當(dāng)“主角”

學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個生動活潑的、主動建構(gòu)的和富有個性的過程.

（1）正確看待學(xué)習(xí).

日常生活、學(xué)習(xí)都會使學(xué)生感受到挑戰(zhàn)、挫折，通過溝通交流，學(xué)生能認(rèn)識到困難、壓力是普遍存在的，是不可怕的，應(yīng)用積極的心態(tài)去面對.正所謂“你退則困難進(jìn)，你進(jìn)則困難退”.指導(dǎo)學(xué)生意識到正是有了困難，才有了鍛煉自己、提升自我能力的機(jī)會.相反地，驚慌失措、急躁抱怨、裹足不前、退避三舍都是不利于自己成長的.

當(dāng)然，在我們遇到困難不能自助時，可以借助家長、老師、同學(xué)等多方力量去解決問題.史料、勵志故事都是很好的教材，有時間教師可以組織學(xué)生進(jìn)行研討.

（2）確立學(xué)習(xí)目標(biāo).

學(xué)習(xí)目標(biāo)可以分為短期的和長期的.初中是學(xué)生生理、心理發(fā)展最快的階段.很多時候他們的思想處于矛盾的狀態(tài)：一方面懵懂幼稚，另一方面自信滿滿.所以單一的方式、呆板的目標(biāo)是不能滿足他們多變的需求的.短期的目標(biāo)可以跟他們的同學(xué)比、跟前一段時間的自己比等；長期的目標(biāo)可以是榜樣式的人物，理想中的高中、大學(xué)，或者理想中的職業(yè)等.

總之，從表面看很普通的一題中考幾何證明題暴露出來的種種問題看，作為教育工作者，理應(yīng)多尋找自身原因，同時多加強(qiáng)理論學(xué)習(xí)、多引導(dǎo)學(xué)生的心理，努力促使他們思維的靈活性、簡潔性、有效性.Z