☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 張依淼 童揚平 徐章韜

韋達定理課程改革的理據(jù)*

☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 張依淼 童揚平 徐章韜

一、引言

韋達定理是一元二次方程中根與系數(shù)關(guān)系的精髓，有著豐富的歷史內(nèi)涵和美學(xué)價值，其完美的對稱性也是群論中輪換對稱的基礎(chǔ).從韋達定理的應(yīng)用來看，韋達定理在直線與圓錐曲線位置關(guān)系的討論中應(yīng)用廣泛；從課程拓展來看，以韋達定理為基礎(chǔ)的多項式在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和計算機算法，計量經(jīng)濟學(xué)、運籌學(xué)等方面都有間接涉及；從理論價值來看，韋達定理可推廣至一元n次方程中根與系數(shù)的關(guān)系，技巧精湛，理論嚴密.但是，在2000年出臺的《初中數(shù)學(xué)課程標準（實驗稿）》中刪去對韋達定理的要求；2011年出臺的新課程標準［1］增加了“了解一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系”的要求，但只是作為選學(xué)的內(nèi)容，沒有給予韋達定理足夠的重視.本文將從韋達定理的歷史內(nèi)涵、美學(xué)特征及數(shù)學(xué)方法比較等角度來尋找韋達定理在初中數(shù)學(xué)教材中應(yīng)該受到重視的依據(jù).

二、韋達定理的歷史［2］

任何一個數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)、論證及最終形式都是眾多數(shù)學(xué)家前仆后繼的結(jié)果.韋達定理的創(chuàng)立必然也經(jīng)歷了這樣一個過程.在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中，方程的求解始終是一篇好文章，而方程中根與系數(shù)一開始并沒有引起人們的注意.15世紀意大利數(shù)學(xué)家在他書中，用配方法解出了二次方程，但是并未提及根與系數(shù)之間的關(guān)系.可以說，那時根與系數(shù)真是一個盲點.直到1545年，卡丹給出了三次方程的求根公式.從此，開始了根與系數(shù)關(guān)系的探索之旅.卡丹在其書中表示，三次方程中，正根之和與負根之和的差等于二次項系數(shù).后來數(shù)學(xué)家邦貝利也論證了這一觀點.

1615年韋達在《論方程的整理與修改》一書中給出了方程根與系數(shù)關(guān)系.他是第一個清楚地認識到根與系數(shù)關(guān)系的人.在根的范圍內(nèi)，對一元二次方程、三次方程分別給出了如下結(jié)論：（1）（a+b）x-x2=ab，則x=a或x=b.（2）x3+b=ax（a>0，b>0），則有在四次和五次方程中，韋達也給出了類似的結(jié)果.但是需要注意的是，偉大的結(jié)論僅在正根的范圍內(nèi)，因為排斥了負根，故其結(jié)論并不完整，但其為根與系數(shù)的研究跨出了重要的一大步，也為后人的研究鋪平道路.

吉拉爾則在韋達定理的基礎(chǔ)上給出了一般表達式，也就是我們通常所說的代數(shù)基本定理：xn+a2xn-2+a4xn-4+…=a1xn-1+a3xn-3+a5xn-5+…，隨即我們得到了其根與系數(shù)的一般表達式：x1+x2+…+xn=a1（一次和），x1x2+x2x3+…+xn-1xn=a2（二次和），x1x2x3+x2x3x4+…+xn-2xn-1xn=a3（三次和），…，x1x2x3…xn=an（n次和）.吉拉爾的代數(shù)基本定理是對韋達定理的補充，而他的另一個重要貢獻是提出了方程根的“冪和公式”.

此后相隔一個世紀，牛頓得到了與吉拉爾一樣的結(jié)論：xn-pxn-1+qxn-2-rxn-3+sxn-4-txn-5+uxn-6+…=0.

設(shè)p=a，pa+2q=b，pb+qa+3r=c，pc+qb+ra+4s=d，pd+ qc+rb+sa+5t=e，pe+qd+rc+sb+ta+6v=f.后人把上述結(jié)論稱之為“牛頓冪和公式”.此后方程根與系數(shù)的關(guān)系就是非常容易理解的了.

牛頓冪和公式引發(fā)了對對稱函數(shù)的普遍關(guān)注，對稱函數(shù)是代數(shù)組合學(xué)中一個重要的研究領(lǐng)域，研究要點集中于對稱群及對稱多項式的代數(shù)組合性質(zhì).在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域都有廣闊的應(yīng)用.范德蒙指出：“根的任何有理對稱函數(shù)都可以用方程的系數(shù)表示出來.”隨后構(gòu)造出了范德蒙行列式.n階范德蒙行列式是對稱函數(shù)的演變，將行列互換結(jié)果仍然不變，具有完美的對稱性.

此后許多數(shù)學(xué)家在對稱函數(shù)中前仆后繼取得了重要研究成果.其中拉格朗日在表示對稱函數(shù)時采用了歐拉引入的求和符號∑，而拉格朗日函數(shù)的對稱性先后衍生出了對偶問題，對偶問題的對稱性在線性規(guī)劃，以及在最優(yōu)化處理中起到了前所未有的積極作用.

三、韋達定理的對稱美

韋達定理體現(xiàn)了對稱之美.在韋達定理所闡述的根與系數(shù)的關(guān)系中，兩根之間存在對應(yīng)關(guān)系.由多項式的對稱變換，我們自然可以得到根與系數(shù)的對稱性，群論中的對稱性也正好反映了多項式中的對稱性.

將多項式x1+x2中的x1與x2進行調(diào)換，即可得到x2+x1.

x1+x2中的對稱變換有兩個，即：

實際上，一元二次方程ax2+bx+c=0的圖像是與x、y軸有交點的拋物線，初中直接給出對稱軸公式，到上高中后，一元二次方程在函數(shù)圖像中頻繁使用，再后來學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)后，明白對稱軸對應(yīng)值是一元二次方程導(dǎo)函數(shù)為零時所得值，無論圖像開口向上或向下，都可以根據(jù)圖形找出其完美的對稱性.所以韋達定理的對稱性同樣適用于一元三次方程、一元四次方程，這其中需要借助于導(dǎo)函數(shù)為零求出對稱軸，進而找到其對稱中心.

設(shè)f（x）=x3+a1x2+a2x+a3，則f′（x）=3x2+2a1x+a2，f″（x）= 6x+2a1.令f″（x）=0，可得其對稱軸為所以f（x）關(guān)于點中心對稱.同理在一元四次函數(shù)中f（x）的對稱軸為，其對稱中心亦為

當(dāng)我們把韋達定理推廣到一元n次多項式函數(shù)中的根與系數(shù)關(guān)系，可設(shè)xi（i=1，2，3，…，n）是方程xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=0的n個根，則有結(jié)論：

由一元二次函數(shù)的對稱性自然也能推得一元n次多項式函數(shù)方程的對稱性，其圖形對稱應(yīng)以對稱軸為中心展開.

由此可見韋達定理中根與系數(shù)關(guān)系的對稱結(jié)構(gòu)具有簡單和諧的內(nèi)涵，是數(shù)學(xué)和諧美的一個典范.韋達定理的對稱式x+y和xy具有簡單和諧的對稱內(nèi)涵，常見的x2+y2=（x+y）2-2xy就是把復(fù)雜的多項式，用韋達定理的對稱式加以表達，于是構(gòu)成了一道別樣風(fēng)景.韋達定理的對稱性還體現(xiàn)在對稱軸上，從一元二次方程的圖像中，我們通過找到對稱軸.再到一元n次多項式中，通過求導(dǎo)可以找到對稱軸，構(gòu)成圖形對稱，這都要歸功于韋達定理中根與系數(shù)關(guān)系，它是溝通對稱性、對偶性、奇偶性的樞紐，其對稱軸也架起了原函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)之間的橋梁.真有“天塹變通途”之暢意.

四、韋達定理中的思想方法

1.設(shè)而不求

例1已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1.若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點（A、B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點，求證：直線l過定點，并求出該頂點的坐標.［3］

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立方程得（3+ 4k2）x2+8mkx+4（m2-3）=0，所以Δ=64m2k2-16（3+4k2）（m2-3）>0，3+4k2-m2>0.

所以y1·y2=（kx1+m）·（kx2+m）=k2x1x2+mk（x1+x2）+m2=

又因為以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D（2，0），

所以kAD·kBD=-1，所以，即y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0.

使用韋達定理解題時，不求根但用根，減少了計算量并且結(jié)構(gòu)更加清晰.其實，通過觀察求解的過程可以知道，在聯(lián)立方程組消除y之后，交點坐標就成了一個一元二次方程的解.而后面的關(guān)系式中除常數(shù)項外就只有y1y2，x1x2，x1+x2，這些項都可以利用韋達定理表示出來，所以不需要求根，由橢圓方程中的求解思想可以推出一般的圓錐曲線的方程，也可以利用韋達定理中“設(shè)而不求”的思想.

2.溝通已知與未知的聯(lián)系

韋達定理形式簡單卻蘊含著豐富的數(shù)學(xué)知識內(nèi)容.在中考數(shù)學(xué)題目中，我們見到不少有運用韋達定理根與系數(shù)關(guān)系，求方程中參數(shù)的值，求代數(shù)式的值，結(jié)合判別式討論根的符號特征，以及由韋達定理的逆定理，構(gòu)造一元二次方程輔助解題等.這些內(nèi)容會直接或間接展示根與系數(shù)之間的關(guān)系，雖然課程中未作必修，但題目中涉及的，教師也會要求學(xué)生自覺掌握.在每一年高考試卷中，以直線與橢圓、雙曲線及拋物線等的位置關(guān)系為背景，涉及弦長計算、中點坐標知識、參數(shù)取值、定值計算、定點確定、面積計算、最值探求、存在性判斷等眾多問題中，利用韋達定理“設(shè)而不求”，整體換元，大大地簡化計算.所以，提高韋達定理在初中教材中的地位，要求學(xué)生掌握韋達定理，提高學(xué)生靈活解決問題的能力，為高中階段解決圓錐曲線的問題打下良好的基礎(chǔ).

五、小結(jié)與思考

通過以上分析可知，韋達定理的歷史內(nèi)涵對后續(xù)數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)具有重要意義.韋達定理在對稱群、對稱函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、行列式、一元n次多項式等知識點方面起到了積極作用.不管是對于二次還是更高次方程，韋達定理的表達式都表現(xiàn)出完美的對稱性，這正是群論的基礎(chǔ)，因此學(xué)生對于韋達定理的熟練掌握必然能夠幫助學(xué)生學(xué)習(xí)更高觀點的數(shù)學(xué)知識.韋達定理的學(xué)習(xí)有利于學(xué)生后續(xù)數(shù)學(xué)知識的發(fā)展，這符合新課程改革提出可持續(xù)發(fā)展的要求.

課程內(nèi)容的改革對于每一個內(nèi)容的增減，不僅要考慮知識的難易程度，重要的是要考慮知識點在整個學(xué)科中的地位，及其對于學(xué)生發(fā)展的影響.基于以上的分析，我們有足夠的理由認為，現(xiàn)階段教材對于韋達定理的重視程度不夠.不僅不能夠刪除韋達定理的內(nèi)容，也不應(yīng)該將之作為選讀的內(nèi)容，應(yīng)該作為必修內(nèi)容，讓學(xué)生理解掌握并能夠靈活應(yīng)用.課程內(nèi)容改革關(guān)系到學(xué)生未來知識的發(fā)展走向，我們需審時度勢.

1.中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.張小明，汪曉勤.根與系數(shù)關(guān)系簡史［J］.中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2004（8）.

3.熊惠民.數(shù)學(xué)思想方法通論［M］.北京：科學(xué)出版社，2010.H

*項目：華中師范大學(xué)研究生教學(xué)改革項目“數(shù)學(xué)教育方向研究生學(xué)術(shù)能力提升的研究”的部分成果.