☉江蘇省張家港市塘橋初級(jí)中學(xué) 徐耀東

初中幾何證明教學(xué)的現(xiàn)狀分析及教學(xué)策略

☉江蘇省張家港市塘橋初級(jí)中學(xué) 徐耀東

幾何是世界上最早出現(xiàn)的一個(gè)教育科目，它具備悠久的歷史和重要的教育價(jià)值．初中幾何證明教學(xué)對(duì)提高初中學(xué)生的思維素質(zhì)、文化素質(zhì)的作用是其他學(xué)科不可替代的．但是幾何證明的邏輯性很強(qiáng)，導(dǎo)致很多學(xué)生面臨學(xué)習(xí)困難，教師在教學(xué)中也顯得力不從心．因此，怎樣才能提高初中幾何證明教學(xué)的質(zhì)量和水平是值得我們探討和研究的重要課題．本文從初中幾何證明的重要性出發(fā)，分析幾何證明教學(xué)的現(xiàn)狀及成因，并探討提出若干行之有效的教學(xué)策略，以期能為提高教師教學(xué)水平和學(xué)生學(xué)習(xí)能力提供參考．

一、初中幾何證明的重要性

新課程標(biāo)準(zhǔn)要求培養(yǎng)學(xué)生良好的推理能力，促使學(xué)生能通過觀察、歸納、類比等進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想，并尋求證據(jù)、給出證明，且證明題解答過程應(yīng)落筆有據(jù)、言之有理，能運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把自己的思考過程有條理地表達(dá)出來．同時(shí)，幾何在數(shù)學(xué)中占據(jù)的地位相當(dāng)特殊，具備獨(dú)特的直觀性與想象力．從本質(zhì)上講，幾何一方面是嚴(yán)格的邏輯，另一方面是直觀而生動(dòng)的想象，二者相互聯(lián)系、滲透、引導(dǎo)［1］．在初中幾何證明教學(xué)中，學(xué)生能在直觀的幾何形象中領(lǐng)悟定理、要領(lǐng)，雖然學(xué)生學(xué)過的幾何證明知識(shí)很可能會(huì)隨著時(shí)間的推移而遺忘，但他們對(duì)空間的想象力和感知能力將永遠(yuǎn)存在．同時(shí)，幾何證明教學(xué)還能促進(jìn)培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)格的邏輯能力，即便學(xué)生遺忘了學(xué)過的幾何定理和證明，但理論必須要經(jīng)過證明的思想會(huì)得到長(zhǎng)期保存．由此可見，初中幾何證明非常重要，教師通過教學(xué)能有效培養(yǎng)學(xué)生的推理能力、幾何語(yǔ)言表述能力、空間觀念、想象力等，并促進(jìn)提高初中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量．

二、初中幾何證明教學(xué)的現(xiàn)狀及成因分析

1．初中幾何證明教學(xué)的現(xiàn)狀

在初中幾何教學(xué)過程中，很多學(xué)生對(duì)幾何證明都提不起興趣，甚至一部分學(xué)生討厭幾何證明，加上教師在教學(xué)過程中存在忽視學(xué)生主體性、應(yīng)試教育等問題，導(dǎo)致初中幾何證明教學(xué)現(xiàn)狀不容樂觀，學(xué)生學(xué)習(xí)幾何證明的效率低下．具體體現(xiàn)在兩個(gè)方面.

一是很多學(xué)生雖然能解答幾何證明題，但只能證明其中一部分，如果教師加大難度，學(xué)生就會(huì)一籌莫展［2］．如教師在課堂教學(xué)中給出一道幾何證明題目：矩形四邊中點(diǎn)的連線構(gòu)成菱形，則菱形四邊中點(diǎn)的連線構(gòu)成什么圖形？請(qǐng)敘述結(jié)論并證明．問題一拋出，很多學(xué)生都能通過觀察得出圖形是矩形這一結(jié)論，但不能理清證明的思路，無法表達(dá)證明過程．

二是很多學(xué)生在學(xué)習(xí)和解答幾何證明的過程中無法正確使用幾何語(yǔ)言，且書寫不規(guī)范，這一方面是教師在黑板上板書時(shí)的不良習(xí)慣帶來的影響，另一方面就是學(xué)生不習(xí)慣使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言或特殊的符號(hào)，而是用文字代替．如很多學(xué)生在表示△ABC時(shí)總習(xí)慣用三角形ABC來代替，或在表示△ABC≌△ACD時(shí)總習(xí)慣用△ABC全等于△ACD來代替，學(xué)生沒有很好的符號(hào)意識(shí)，就會(huì)阻礙幾何證明教學(xué)質(zhì)量的提高．

2．成因分析

（1）教師方面.

一是教師過于重視應(yīng)試教育，卻忽視培養(yǎng)學(xué)生的能力．雖然新課改已施行一段時(shí)間，但依舊有部分教師在教學(xué)過程中遵循考什么就教什么的應(yīng)試法則，所以教師通常會(huì)忽視甚至直接跳過教材中考試不涉及的內(nèi)容，學(xué)生也只能放棄學(xué)習(xí)，但這些內(nèi)容往往能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．二是教師在課堂教學(xué)中對(duì)學(xué)生參與機(jī)會(huì)的分配不盡合理，喜歡找數(shù)學(xué)成績(jī)較好的學(xué)生回答問題或在黑板上完成幾何證明過程，一些成績(jī)不突出的學(xué)生就受到忽視，逐漸失去學(xué)習(xí)興趣與動(dòng)力．三是教師把幾何課堂變得公式化，因?yàn)樾抡n程改革要求教師能培養(yǎng)學(xué)生的合作能力、探究能力等，但很多教師卻無法靈活掌控課堂，使探究或討論活動(dòng)變得形式化，失去課堂本身的意義．

（2）學(xué)生方面.

一是學(xué)生認(rèn)識(shí)幾何圖形的能力有限，而幾何證明過程中又過分依賴圖形．如一部分學(xué)生對(duì)幾何圖形的作用過于依賴，當(dāng)他們看到兩個(gè)三角形的形狀差不多時(shí)，會(huì)極力去證明這兩個(gè)三角形全等，如果題目給出的已知條件不夠，他們就會(huì)自己創(chuàng)造條件，想方設(shè)法把兩個(gè)不存在任何聯(lián)系的幾何圖形硬拉到一起，對(duì)幾何證明教學(xué)極為不利．

二是初中階段學(xué)生的推理能力還較差，在幾何圖形解讀方面很容易受到視覺的影響．如學(xué)生在對(duì)圖形的特征進(jìn)行分析時(shí)，需要用語(yǔ)言對(duì)他們觀察到的幾何圖形的特征進(jìn)行表述和理解，但大多數(shù)學(xué)生卻把描述的重點(diǎn)放在幾何圖形的形狀上，或沒有基本圖形的積累，不會(huì)對(duì)復(fù)雜的圖形進(jìn)行分解．

三是學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)的能力較差，對(duì)幾何證明教學(xué)影響很大．初中學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)能力較差具體體現(xiàn)在無法正確識(shí)記數(shù)學(xué)語(yǔ)言，或?qū)σ恍?shù)學(xué)語(yǔ)言的理解是停留在表面的［3］．如在對(duì)角的概念進(jìn)行敘述時(shí)，部分學(xué)生認(rèn)為角是由兩條線段組成的，無法準(zhǔn)確把握概念的本質(zhì)，還有一些學(xué)生只能抓住概念的其中一個(gè)內(nèi)涵，或只注意到角由兩條射線組成，或只注意到角的公共端點(diǎn)等．

三、初中幾何證明教學(xué)的策略

1．正確識(shí)讀圖形，掌握概念的本質(zhì)

正確理解概念是掌握概念的本質(zhì)的基礎(chǔ)與前提，而教師要想促使學(xué)生真正做到對(duì)幾何概念的掌握，還應(yīng)通過識(shí)讀圖形對(duì)概念的本質(zhì)屬性進(jìn)行進(jìn)一步明確．學(xué)生要熟悉的不僅是屬于某一個(gè)概念的圖形，還要區(qū)分出具備類似特征但卻不屬于該概念的圖形，從而掌握概念的本質(zhì)，為幾何證明教學(xué)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．

例如，當(dāng)講解了“三線八角”這一圖形之后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生正確識(shí)讀幾何圖形，并回答問題，對(duì)相關(guān)概念進(jìn)行鞏固．

圖1

圖2

教師要求學(xué)生識(shí)讀圖形，并自主探究、回答問題：（1）在圖1中，∠1和∠2是不是同位角？為什么？（2）圖2中的∠ACD和∠CAB是AD和BC被第三條直線AC所截而得到的內(nèi)錯(cuò)角嗎？為什么？（3）圖2中的∠ACD和∠ABC是AB和CD被第三條直線BC所截而得到的同旁內(nèi)角嗎？為什么？這里值得教師注意的是：探究活動(dòng)不能流于形式，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真探究問題，積極參與討論，對(duì)問題的探究不能在一片吵鬧聲中草草結(jié)束．同時(shí)，在找學(xué)生回答問題時(shí)，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)習(xí)能力相對(duì)較差的學(xué)生主動(dòng)回答問題，不要怕出錯(cuò)，要提高全體學(xué)生參與課堂的機(jī)會(huì)．如此，就能幫助全體學(xué)生在教師設(shè)置的問題情境中再一次通過正確識(shí)讀幾何圖形來鞏固概念，有利于后續(xù)幾何證明教學(xué)的開展．

2．熟記幾何語(yǔ)言，奠定證明基礎(chǔ)

每一節(jié)課，教師都應(yīng)為學(xué)生預(yù)留一定的時(shí)間閱讀教材，要求學(xué)生一邊逐字逐句讀教學(xué)內(nèi)容，一邊觀察或聯(lián)想幾何符號(hào)、幾何圖形，教師適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行輔導(dǎo)，從而幫助學(xué)生清晰、簡(jiǎn)潔地理解幾何語(yǔ)言，逐步學(xué)會(huì)正確運(yùn)用幾何語(yǔ)言把幾何事實(shí)敘述出來，為學(xué)會(huì)幾何證明奠定基礎(chǔ)．學(xué)生通過認(rèn)真閱讀教材，應(yīng)用幾何語(yǔ)言的能力會(huì)逐步得到提升，教師再適時(shí)地讓學(xué)生模仿用幾何語(yǔ)言去書寫簡(jiǎn)單的證明問題就會(huì)變得較為容易了，幾何證明教學(xué)的開展也會(huì)順理成章.

例如，初中數(shù)學(xué)教材中的幾何語(yǔ)言大致可分為兩種類型：一是被描述過的或給出定義的實(shí)詞，包括平行線、距離、垂線等；二是能表述幾何圖形變化或聯(lián)結(jié)幾何概念的詞，包括分別、經(jīng)過、任意、至少、連接、延長(zhǎng)、有且只有等，它們沒有定義，需要教師長(zhǎng)期、耐心、細(xì)微地指導(dǎo)學(xué)生，重視區(qū)別這些不給定義的詞在含義上具備的幾何新意．教師可按照學(xué)生的語(yǔ)言應(yīng)用水平把幾何語(yǔ)言的含義準(zhǔn)確解釋出來，并闡述與日常生活用語(yǔ)存在的差異性，促使學(xué)生再一次學(xué)習(xí)已經(jīng)熟悉的詞.如任意一詞，幾何中的含義是：當(dāng)需要證明任意一個(gè)三角形都擁有某個(gè)性質(zhì)時(shí)，我們利用銳角三角形證明了這一性質(zhì)后，還應(yīng)當(dāng)驗(yàn)證直角三角形、鈍角三角形都具備這個(gè)性質(zhì)，這才算證明完全．但學(xué)生往往容易在這種幾何證明中出現(xiàn)以偏概全的問題，原因就在于理解任意二字的含義時(shí)不夠深刻．

此外，教師在幾何證明教學(xué)過程中應(yīng)科學(xué)、合理、自然、規(guī)范使用幾何語(yǔ)言，從而影響學(xué)生逐步規(guī)范使用幾何語(yǔ)言．如A、B、C三點(diǎn)不在同一直線上，過其中任意兩點(diǎn)畫直線，可以畫幾條？教師要進(jìn)一步解釋可以畫幾條的意思就是一共可以畫幾條直線，之后讓學(xué)生牢記幾何證明中的可以畫就是一共可以畫的意思．又如任意畫一條直線AB，在它上面任意取一點(diǎn)C，在它之外任意取一點(diǎn)D，分別過兩點(diǎn)C、D作直線AB的垂線，這在幾何證明中解釋為過點(diǎn)C畫垂線，還要過點(diǎn)D畫垂線，分別就能使語(yǔ)言更加精煉．學(xué)生只有在教師的指導(dǎo)和要求下熟記并背誦這些幾何語(yǔ)言的含義，才能為幾何證明過程的規(guī)范書寫做好鋪墊．

3．仔細(xì)閱讀題目，做到提條知尾

初中幾何證明教學(xué)要求學(xué)生以掌握基本定理為基礎(chǔ)，對(duì)定理進(jìn)行分析和重組，從而能正確推導(dǎo)出完整的結(jié)論［4］．在解答幾何證明題的過程中，學(xué)生通常無法直接由定理把結(jié)論推導(dǎo)出來，特別是學(xué)習(xí)能力較差的學(xué)生，他們很多時(shí)候即便掌握了定理也會(huì)在解題中變得茫然．因此，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)會(huì)仔細(xì)閱讀題目，尋找自己知道的幾何定理，每閱讀一句話都要反問自己，并鼓勵(lì)數(shù)學(xué)學(xué)困生積極參與對(duì)題目的閱讀，不能僅裝裝樣子，避免把課堂變成成績(jī)較好的學(xué)生的“專場(chǎng)”，從而盡量讓每一個(gè)學(xué)生在閱讀題目的過程中啟迪自己，逐漸猜想到結(jié)尾，即提條知尾．該教學(xué)策略能幫助學(xué)生充分挖掘幾何證明題中潛在的已知條件，為得出結(jié)論做好鋪墊，從而培養(yǎng)和鍛煉初中學(xué)生的思考能力、聯(lián)想能力，提高幾何證明教學(xué)的質(zhì)量．

圖3

例如，如圖3，已知AB是圓的直徑，直線CE切圓于點(diǎn)C，AC是弦，AD⊥CE，D是垂足，求證：AC平分∠BAD．

在閱讀該幾何證明題的過程中，當(dāng)學(xué)生讀到直徑為AB這一個(gè)條件后，就要即刻反問自己知道什么，從而得出∠ACB=90°；當(dāng)學(xué)生讀到直線CE切圓于點(diǎn)C這一條件時(shí)，學(xué)生也應(yīng)即刻反問自己知道什么，從而得出OC⊥ED，且∠B=∠ACD.以此類推下去，就能得出最終的證明結(jié)論．

4．再次深刻審題，堅(jiān)持自我感覺

在解答幾何證明題時(shí)，學(xué)生的第一感覺很重要，這種感覺是以提條知尾為基礎(chǔ)建立的．當(dāng)學(xué)生掌握了仔細(xì)閱讀題目、做到提條知尾之后，學(xué)生的思維會(huì)活躍起來，教師此時(shí)應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生再一次對(duì)題目進(jìn)行深刻地審閱，讓學(xué)生反問自己：除了這些，我還知道什么？有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維．如此一來，學(xué)生就能憑著自己的第一感覺繼續(xù)走下去，即便有些問題考試不會(huì)涉及，但學(xué)生的思維品質(zhì)會(huì)逐步得到完善，力求做到在幾何證明教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維．

例如，在上述的證明題中，學(xué)生憑借提條知尾的策略證明最終的原題結(jié)論：∠BAC=∠CAD，即AC平分∠BAD．如果教師追問一下，你還有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)生就能憑借自己的幾何基礎(chǔ)和第一感覺繼續(xù)走下去，得到的結(jié)論也許會(huì)更多，例如：△ACB∽△ADC，進(jìn)而繼續(xù)得出，接著轉(zhuǎn)化成AC2=AB×AD．讓學(xué)生以已有的基礎(chǔ)知識(shí)為依據(jù)，逐步發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論，既提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)散性思維也得到了有效的鍛煉．

對(duì)于幾何證明，學(xué)生感到難學(xué)，教師感到難教，但是它是初中數(shù)學(xué)教學(xué)十分重要的一個(gè)組成部分，因此，在實(shí)際的教學(xué)中，教師、學(xué)生都應(yīng)充分認(rèn)識(shí)到初中幾何證明教學(xué)的重要性，尤其是教師，應(yīng)正視教學(xué)現(xiàn)狀，客觀分析成因，改變應(yīng)試教育觀念，對(duì)學(xué)生要一視同仁，不能歧視學(xué)困生，并采取熟記幾何語(yǔ)言，奠定證明基礎(chǔ)；仔細(xì)閱讀題目，做到提條知尾；再次深刻審題，堅(jiān)持自我感覺等教學(xué)策略，提高學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識(shí)的興趣，提升學(xué)生思考和規(guī)劃幾何證明過程的能力與水平，有效培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和想象力．

1.李守霞.初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中運(yùn)用模型教學(xué)研究［J］.中國(guó)校外教育，2015（5）.

2.李紅婷.初中幾何課程層級(jí)發(fā)展框架及其教學(xué)設(shè)計(jì)［J］.中國(guó)教育學(xué)刊，2014（8）.

3.張俊.基于案例分析的初中數(shù)學(xué)幾何基本圖形教學(xué)探索［J］.兵團(tuán)教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2015（2）.

4.蔣惠珍.滲透數(shù)形結(jié)合思想提升初中“圖形與幾何”教學(xué)質(zhì)量［J］.現(xiàn)代特殊教育，2014（5）.Z