☉安徽省阜陽師范學院附屬中學 劉國超

這道中考題得分為什么如此之低
——對2015年安徽省中考數(shù)學第22題閱卷引發(fā)的思考

☉安徽省阜陽師范學院附屬中學 劉國超

筆者今年參加了安徽省阜陽市中考數(shù)學的閱卷工作，作為閱卷題組長，具體負責第22題的評判，結(jié)果統(tǒng)計表明，我市考生解答該題很不理想，該題平均得分1.87分，得分率只有0.16，其中得零分的占56.3%！面對如此多的零分情況，給了筆者極大的觸動和思考，下面把閱卷過程中發(fā)現(xiàn)的學生的一些典型錯誤，以及筆者對錯誤的思考整理成文，以期能與廣大同仁進行交流、分享．

一、試題再現(xiàn)

題目（2015年安徽卷第22題）為了節(jié)省材料，某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶利用水庫的岸堤（岸堤足夠長）為一邊，用總長為80m的圍網(wǎng)在水庫中圍成了如圖1所示的①②③三塊矩形區(qū)域，而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等．設BC的長度為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2．

圖1

（1）求y與x之間的函數(shù)關系式，并注明自變量x的取值范圍；

（2）x為何值時，y有最大值？最大值是多少？

參考答案：（1）設AE=a，BE=b，

則有2x+3a+2b=80.

又2xb=ax?a=2b，代入上式得：

（2）由（1）知，x=20時，y最大=300.

考查目的：本題從考查的角度看是考查學生會根據(jù)實際問題列出二次函數(shù)解析式，并求面積最大值，情境設置看似平凡，但內(nèi)涵豐富，頗具創(chuàng)意；針對二次函數(shù)在實際生活中的應用這個初中數(shù)學課程的重點內(nèi)容；從思想的角度看本題涉及的數(shù)學思想主要有：一是數(shù)學建模的思想，主要體現(xiàn)在要把實際問題抽象轉(zhuǎn)化為方程模型、函數(shù)模型的過程；二是轉(zhuǎn)化與化歸思想，主要體現(xiàn)在第一問求函數(shù)解析式的過程中，也即是把數(shù)學問題在已知和未知當中將“未知”逐步轉(zhuǎn)化為“已知”的過程；三是數(shù)形結(jié)合思想，以實際問題為背景，融合幾何直觀，把數(shù)式計算和幾何關系很好地結(jié)合起來．因此，這道中考題是一個很好的函數(shù)應用題，值得關注和重視．

試題以圍成矩形區(qū)域的面積作為角度切入，源于教材，又高于教材．在課本題的基礎上加以變化延伸，體現(xiàn)了“立足基礎，滲透思想，突出能力，著重創(chuàng)新”的課改理念，具有較好的教學導向性，試題是由人教版《數(shù)學》九年級上冊P57習題第6題拓展而來.

圖2

課本習題：用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長為18m，如圖2，則這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？

雖然試題與原型相比，讓我們覺得“有本、有源”，由于在生活中用圍網(wǎng)在水庫中圍成矩形區(qū)域沒有用籬笆在平地上圍成矩形區(qū)域更常見，因此從學生角度看，試題并沒有散發(fā)出“數(shù)學就在身邊的親切感”．

為了體現(xiàn)數(shù)學的應用意識，命題者會設計一些現(xiàn)實情境，在現(xiàn)實情境中，除數(shù)學知識外，還有其他因素，教師和學生的視角不同，教師關注的是現(xiàn)實情境中的數(shù)學；而學生更傾向從現(xiàn)實生活的角度思考問題情境．如試題敘述的中間的隔欄是不是用圍網(wǎng)？學生一旦被這些東西所干擾，就會造成為理解問題的障礙，這是該題出現(xiàn)大量空白卷的原因之一，從而暴露試題在敘述上存在瑕疵！另一方面，二次函數(shù)應用問題的本質(zhì)模型是根據(jù)二次函數(shù)求最值，試題通過三塊矩形區(qū)域的面積相等作了“結(jié)構(gòu)變式”，給學生“建模”設置了障礙，當然就不能順利地“解?！保@也是造成該題得零分多的又一個原因．

將保藏菌株BS90斜面活化24 h，接種于液體種子培養(yǎng)基中，溫度35 ℃、150 r/min搖床培養(yǎng)18 h。

二、學生的解答及相應的錯誤

通過閱卷發(fā)現(xiàn)學生的解答與命題者所期望的答案相差甚遠．學生解答中的典型錯誤和主要原因有：

1．不敢設多元未知數(shù)

由于相當多的考生不能把“總長為80m的圍網(wǎng)在水庫中圍成了如圖1所示的①②③三塊矩形區(qū)域”和“而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等”這兩個重要的已知條件，轉(zhuǎn)換成方程模型，從而不能發(fā)現(xiàn)a、b及x之間的數(shù)量關系，這同時也表現(xiàn)出大部分學生受定勢思維影響，沒有大膽的“設元意識”，導致“不敢”再設其他輔助元，就沒法建立函數(shù)關系式，多數(shù)考生在試卷上留下了一片片白色的遺憾；從一個方面反映出學生運用數(shù)學語言、用字母表示數(shù)的意識較弱，不知道使用字母表示數(shù)可以進行運算和推理.

2．化歸能力薄弱

還有一部分考生也設輔助元了，這表明這部分學生有用字母表示數(shù)的意識，而就在使用它使問題得到簡化的過程中，把問題中的條件符號化，以及問題的條件和結(jié)論怎樣用恰當?shù)臄?shù)學式子表示出來時，出現(xiàn)了問題——學生不明確這里的運算對象“a、b”，沒有把輔助元都向“x”靠攏，即用含“x”的代數(shù)式表示它們，導致思維受阻從而不能正確得出函數(shù)解析式；這也說明學生把實際問題翻譯成數(shù)學問題技能上的欠缺.

圖3

3．隱含信息難挖掘

由于該題的深層結(jié)構(gòu)是一個幾何圖形（見圖3），而且三塊矩形AEGH、矩形GHDF、矩形BCFE的面積都相等，設BC的長度為xm，借助總長為80m的圍網(wǎng)，用含有x的式子表示CD或AB的長.根據(jù)面積相等，得①GE=GF；②AE=2EB.那么4AE+2x=80，AE=（40-x）÷2，AB=3（40-x）÷4．矩形ABCD的面積y=3x（40-x）÷4，讓很多學生感到困難.本題也同時考查學生幾何與代數(shù)的扎實的基礎知識和綜合的分析能力，大多數(shù)同學要么僅從幾何的觀點，要么僅從代數(shù)的觀點出發(fā)去分析解決問題，結(jié)果只能半途而廢，為之惋惜！

沒有把含有自變量x的式子和圖形中的線段對應起來，造成對自變量的取值范圍判斷錯誤，導致失分；學生在良好的解題習慣方面仍有不足.

5．符號意識不強

有些考生根據(jù)三塊矩形AEGH、矩形GHDF、矩形BCFE的面積都相等，直接寫出AE=（40-x）÷2，AB=3（40-x）÷4．矩形ABCD的面積y=3x（40-x）÷4，再得出x=20時，y最大=300．這種方式的解答缺失暴露出學生的符號意識不強，符號意識的要求有符號理解、符號操作、符號表達和符號思考四個維度，這些都被我們平時的教學忽視了．

三、對課堂教學的啟示

很多教師對本題感覺不難，但卻看到多數(shù)考生留下一片片白色的遺憾，這就表明我們?nèi)粘＝虒W存在失誤和不足！大家知道，數(shù)學思想是形成數(shù)學思維的關鍵．通過學生對該題的解答可以看出，部分學生的數(shù)學思維還存在嚴重的缺陷．那么在實際教學中如何解決呢？

1.課堂教學要培養(yǎng)學生認真閱讀題目的習慣

很多學生不能順利解答第（1）小題的主要原因是沒有認真閱讀題目，不能分析出其中的已知量、未知量及它們之間的數(shù)量關系．這給我們的教學啟示有：教學時呈現(xiàn)問題后，要留出時間讓學生充分閱讀題目，指導學生仔細讀題、找問題關鍵詞、確定它是什么樣的數(shù)學問題，并引導學生嘗試用自己的語言對已知量和未知量之間的數(shù)量關系進行描述；在對問題進行提煉、解決的過程中強調(diào)為什么要用字母表示數(shù)，以及什么情況下用字母表示數(shù)，幫助學生對實際問題進行數(shù)學思考和數(shù)學理解，這才是突破數(shù)學模型建立的關鍵！

2.在課堂教學中，讓學生經(jīng)歷模型建立的全過程

從實際情境中抽象出數(shù)學問題，這是數(shù)學建模的第一步，需要經(jīng)歷把實際情境到數(shù)學表達的思維過程，在這個過程中包含用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表達數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，這是建立數(shù)學模型過程中極為重要的一個環(huán)節(jié)．因為在這個過程中既可以幫助學生建立數(shù)學模型，而且又可以提升學生的數(shù)學思維能力．但可惜的是，筆者和一些教師交流后得知，平時的課堂教學沒有讓學生經(jīng)歷思維活動的過程，大多都只是重視“解題類型+方法”，而忽視對過程的分析，以及解題思維的培養(yǎng)，這樣最直接的弊端是學生缺乏獨立思考、開拓創(chuàng)新的意識和能力，一旦碰到與實際生活相對疏遠的問題就不會涌現(xiàn)出新的思路，從而束手無策．

《義務教育數(shù)學課程標準》（實驗稿）提出的“問題情境—建立模型—解釋、應用于拓展”的研究學習模式，就是一個指導我們進行教學的很好策略.實際教學時可以結(jié)合具體的數(shù)學內(nèi)容采用這一模式，以學生為中心，以問題為主線，以培養(yǎng)能力為目標組織教學，讓學生經(jīng)歷模型建立的全過程與知識應用的過程，從而更好地理解數(shù)學知識的意義，掌握必要的基礎知識、基本技能，積累解決問題的經(jīng)驗，來提高學生分析問題和解決問題的能力.實施這一策略的教學程序是：（1）創(chuàng)設問題情境，激發(fā)求知欲；（2）逐步概括，建立數(shù)學模型；（3）分析模型，選用數(shù)學知識；（4）問題解決，感受數(shù)學知識；（5）歸納總結(jié)，升華數(shù)學知識．

3.課堂教學中關注建模思想的滲透

中考是短暫的，但是給我們留下的思考是長遠的．在閱卷的過程中發(fā)現(xiàn)一部分學生仍然使用小學列算式的方法進行解答，這不得不引起教師的思考，經(jīng)過三年的教學，學生對矩形邊長關系的求解不會使用方程工具，其中的原因是什么？學生用方程的意識呢？學生的建模思想呢？《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出，學生學習數(shù)學的本質(zhì)是思考，數(shù)學教學的重要目標就是培養(yǎng)學生的思考能力，學會數(shù)學地思考．所以在課堂教學中要重視對方程、不等式、函數(shù)等使用場合和使用方法的介紹，關注建模思想的滲透，這樣學生對知識的理解就有了“源”，知識的運用就有了“根”，知識的拓展才會有“魂”！

1.中華人民共和國教育部．義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］．北京：北京師范大學出版社，2012．

2.龐彥福，孫學東．初中數(shù)學有效學習評價［M］．北京：北京師范大學出版社，2015．

3.劉國超，王興福．對初中數(shù)學綜合與實踐的教學思考［J］．中國數(shù)學教育（初中版），2015（3）．

4.楊紅萍．數(shù)學閱讀教學敘事研究［J］．數(shù)學教育學報，2014（5）．

5.林日福．慢化應用題教學過程，提升學生解題能力［J］．中學數(shù)學教學參考（中），2014（10）．H