☉江蘇省如皋市吳窯初級(jí)中學(xué) 張素慧

回到概念獲得念頭，以形助數(shù)洞察結(jié)構(gòu)
——2015年江蘇無(wú)錫中考卷第26題解析與反思

☉江蘇省如皋市吳窯初級(jí)中學(xué) 張素慧

研習(xí)2015年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)卷，常常被有些試題的精巧構(gòu)思、苦心經(jīng)營(yíng)而感動(dòng)．比如2015年江蘇無(wú)錫卷第26題，沒(méi)有圖形，但是求解時(shí)卻對(duì)幾何圖形中的線段、線段中點(diǎn)、角平分線、平行四邊形（包括菱形）、圓、直角三角形、軸對(duì)稱(chēng)等知識(shí)全面覆蓋，是一道不可多得的好題，本文嘗試解讀該題，并跟進(jìn)賞析與商榷，與同行研討．

一、考題及思路突破

題目（2015年江蘇無(wú)錫卷第26題）已知：平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)分別為O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）．

（1）是否存在這樣的m，使得在邊BC上總存在點(diǎn)P，使∠OPA＝90°？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（2）當(dāng)∠AOC與∠OAB的平分線的交點(diǎn)Q在邊BC上時(shí)，求m的值．

圖1

思路突破：（1）由B、C坐標(biāo)的特征知道B、C兩點(diǎn)均在直線y＝2上；問(wèn)題又明確指出∠OPA＝90°，則可以確認(rèn)點(diǎn)P應(yīng)該在以O(shè)A為直徑的圓上！如圖1，以O(shè)A為直徑的圓（圓心為點(diǎn)M）交直線y＝2于點(diǎn)P、P′（想一想，為什么會(huì)有兩個(gè)交點(diǎn)？因?yàn)椤袽的半徑為2.5，而直線y＝2到x軸的距離為2），選取其中一個(gè)交點(diǎn)P研究，連接PM，作PH⊥OM于H點(diǎn)，在Rt△PHM中，由勾股定理可得HM＝1.5，所以P（1，2），點(diǎn)P、P′關(guān)于直線x＝2.5對(duì)稱(chēng)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得P′（4，5）．

接著來(lái)分析邊BC的運(yùn)動(dòng)范圍，如圖2，設(shè)線段BC在直線y＝2上從左側(cè)平移而來(lái)，當(dāng)端點(diǎn)B接觸到點(diǎn)P時(shí)，點(diǎn)P有可能出現(xiàn)在邊BC上，此時(shí)點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)m＝1；隨著B(niǎo)C不斷右移，當(dāng)點(diǎn)C到達(dá)P′時(shí)，點(diǎn)P′還可能出現(xiàn)在邊BC上，此時(shí)點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)m-5＝4，即m＝9．

圖2

離開(kāi)P′時(shí)，點(diǎn)P、P′就都不可能出現(xiàn)在邊BC上了．就是說(shuō)當(dāng)1≤m≤9時(shí)，邊BC上總存在點(diǎn)P，使∠OPA＝90°．

（2）首先解讀強(qiáng)化條件“當(dāng)∠AOC與∠OAB的平分線的交點(diǎn)Q在邊BC上”，這說(shuō)明OQ⊥AQ（理由是兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角的平分線互相垂直）！也就是說(shuō)上一問(wèn)中的點(diǎn)P、P′就可能是第（2）問(wèn)中的Q點(diǎn)．于是構(gòu)造圖3分析.

圖3

圖4

當(dāng)點(diǎn)Q落在點(diǎn)P（1，2）處時(shí)，此時(shí)容易得出Q為BC的中點(diǎn)，于是點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3.5，2），即m＝3.5；如圖4，當(dāng)點(diǎn)Q′落在點(diǎn)P′（4，2）處時(shí)，同樣可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6.5，2），即m＝6.5．

綜上，m＝3.5或6.5．

二、賞析與商榷

考題一共120個(gè)字符，沒(méi)有圖形，簡(jiǎn)潔好懂，思考進(jìn)程中漸次遇到初中幾何中的很多核心概念，如線段、線段中點(diǎn)、角平分線、垂直、平行四邊形、菱形、勾股定理、圓、軸對(duì)稱(chēng)等概念．對(duì)幾何概念的考查較為到位，區(qū)分度也很好．以下再?gòu)暮?jiǎn)潔好懂、易進(jìn)難出兩個(gè)角度展開(kāi)賞析與商榷．

1.好的題目追求“簡(jiǎn)潔好懂”

章建躍博士曾說(shuō)“好的題目應(yīng)該是簡(jiǎn)潔的、好懂的”．從這個(gè)角度看無(wú)錫卷考題，表述簡(jiǎn)潔好懂，學(xué)生都能知道已知條件，也知道該往什么方向走，不在題干條件繁雜、晦澀上增加難度．然而簡(jiǎn)潔并不是簡(jiǎn)單，好懂并不是思路容易洞察．而是需要在無(wú)題圖之前細(xì)思考，構(gòu)造出圖形，逐一解讀、破譯題干信息，畫(huà)圖分析，從上面的求解過(guò)程來(lái)看，體現(xiàn)了“以形助數(shù)”的解題策略．

2.好的題目需要“易進(jìn)難出”

作為一道中考卷的把關(guān)題，該題較好地承載了區(qū)分功能．然而也把很多數(shù)學(xué)學(xué)有困難的學(xué)生拒之題外，作為一種命題興趣，以下本著商榷的心態(tài)，給出該題的變式設(shè)問(wèn)，提供研討：

改編已知：平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)分別為O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）．

（1）求證：四邊形OABC為平行四邊形；

（2）（3）同“考題”．

改編意圖：為了能讓更多學(xué)生親近把關(guān)題，給他們一點(diǎn)得分的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)數(shù)學(xué)解題的興趣，安排第（1）問(wèn)證明平行四邊形，而這也為后續(xù)問(wèn)題提供必要的鋪墊，使得問(wèn)題進(jìn)入更加平緩，增加了人文關(guān)懷．

三、命題導(dǎo)向之思

我們知道中考關(guān)鍵位置的考題除了實(shí)現(xiàn)考查區(qū)分功能之外，往往還有教學(xué)導(dǎo)向的引領(lǐng)價(jià)值．那么無(wú)錫卷這道考題在考查功能之外，還有哪些命題導(dǎo)向呢？

1.引導(dǎo)學(xué)生“回到概念”去解題

李邦河院士曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)，在根本上是玩概念的．”數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，玩技巧的教學(xué)取向不值得多辨．重要的是如何引導(dǎo)學(xué)生“回到概念”去解題．當(dāng)較難問(wèn)題沒(méi)有思路時(shí)，如何回到概念？回到哪個(gè)概念？怎么想到回到概念等，都是解題教學(xué)中需要認(rèn)真思考和預(yù)設(shè)的．比如，無(wú)錫考題中，由“邊BC”應(yīng)該思考線段BC的長(zhǎng)，思考線段BC的位置情況等；由直角要想到圓周角定理的推論；由兩直行平行，則要思考同旁?xún)?nèi)角平分線互相垂直等，這些都是重要的解題念頭．換言之，解題教學(xué)中需要關(guān)注思路的來(lái)源是否自然，而這些解題念頭的源頭又都出在概念上，經(jīng)常這樣開(kāi)展解題教學(xué)，學(xué)生就會(huì)形成沒(méi)有思路時(shí)要善于從題目的條件出發(fā)，回到概念去探索思路．

2.注意滲透“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想

反思無(wú)錫考題，還有一個(gè)重要的價(jià)值功能，就是向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，這是初中階段最為重要的數(shù)學(xué)思想之一．無(wú)論是七年級(jí)剛開(kāi)始接觸的數(shù)軸，還是后來(lái)發(fā)展出來(lái)的平面直角坐標(biāo)系，再到函數(shù)的學(xué)習(xí)，都要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想深入研究．無(wú)錫考題正是在平面直角坐標(biāo)系下，以B、C點(diǎn)坐標(biāo)的形式表征線段BC與x軸的平行關(guān)系；又是兩角平分線交于邊BC上一點(diǎn)強(qiáng)化出該點(diǎn)應(yīng)該是上一問(wèn)中的一個(gè)點(diǎn)P！這些解讀或破譯都對(duì)數(shù)形結(jié)合分析能力提出了較高要求．史寧中教授曾說(shuō)，“數(shù)學(xué)，在很多情況下是看出來(lái)的，不是證出來(lái)的”，多少也表達(dá)了這個(gè)意思．

1.鄭毓信．“數(shù)學(xué)思想”面面觀［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2012（8～10）．

2.章建躍．?dāng)?shù)學(xué)概念的理解與教學(xué)［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2010（11）.

3.史寧中．?dāng)?shù)學(xué)思想概論（第1～4輯）［M］．長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社，2008、2009、2009、2010．

4.羅增儒．?dāng)?shù)學(xué)的領(lǐng)悟［M］．鄭州：河南科學(xué)技術(shù)出版社，1997.H