☉浙江省象山縣丹城實(shí)驗(yàn)初中 葉須爾

基于過程教育的“一次函數(shù)（第1課時）”課例及說明

☉浙江省象山縣丹城實(shí)驗(yàn)初中 葉須爾

一、背景介紹

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2011年版）》）倡導(dǎo)過程教育．但在以浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊第五章第3節(jié)“一次函數(shù)（第1課時）”為載體的“多人同課異構(gòu)式”的教研活動中發(fā)現(xiàn)，課堂教學(xué)普遍與過程教育存在偏差，特別是概念形成與應(yīng)用的認(rèn)知過程短暫及獲得概念和解決問題之后的反思過程缺失，導(dǎo)致學(xué)生失去了發(fā)展能力與個性，以及感悟其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的機(jī)會．網(wǎng)上查閱同類課例發(fā)現(xiàn)這些現(xiàn)象具有普遍性．基于過程教育的“一次函數(shù)（第1課時）”的教學(xué)應(yīng)該怎樣操作？筆者通過重復(fù)式觀課與反思基礎(chǔ)上的重建與實(shí)踐的結(jié)果，得到了同仁的認(rèn)可．現(xiàn)將其整理出來，以饗讀者．

二、教學(xué)實(shí)錄

環(huán)節(jié)1：經(jīng)歷并感悟一次函數(shù)產(chǎn)生的過程——明確研究的問題.

師：我們知道，許多實(shí)際問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，用函數(shù)解決實(shí)際問題的過程與用方程解決實(shí)際問題的過程類似．現(xiàn)在我們一起來解決下列問題．

問題1：某種儲蓄的月利率是0.16%，某人存入1000元本金，若設(shè)所存月數(shù)為t（月），本息和為m（元）．問：當(dāng)t= 10時，m=？

師：在這個問題中，哪些量是常量？哪些量是變量？

生1：月利率0.16%和存入本金數(shù)1000元是常量，所存月數(shù)t（月）及本息和m（元）是變量．

師：不錯．m關(guān)于t的函數(shù)解析式是什么？

生2：m=1.6t+1000．

師：好的．當(dāng)t=10時，m=？其實(shí)際意義是什么？

生3：當(dāng)t=10時，m=1016．其實(shí)際意義是1000元錢存10個月可得本息和1016元．

師：好的．獲得這個函數(shù)解析式經(jīng)歷了哪幾個步驟？

生4：審題→分析→列式．

師：不錯．函數(shù)m=1.6t+1000有何特點(diǎn)？

生5：它有兩個變量t，m，且自變量t的次數(shù)是1次．

生6：右邊代數(shù)式1.6t+1000是整式．

師：好的．其實(shí)，這種特殊的函數(shù)有著豐富的情景．例如，函數(shù)“y=40x，y=6x，y=16-2x，Q=-312t+936”等都是從生活問題中抽象出來的．

師：既然這類函數(shù)具有豐富的現(xiàn)實(shí)情景，就有研究這類函數(shù)的必要．這類函數(shù)有何特征？有何性質(zhì)？本節(jié)就來研究這些問題．（揭示課題）

環(huán)節(jié)2：參與定義一次函數(shù)的活動——形成一次函數(shù)的概念.

師：函數(shù)“m=1.6t+1000，y=40x，y=6x，y=16-2x，Q= -312t+936”有何共同特征？

生7：它們都有兩個變量．

師：不錯．你是從變量的個數(shù)角度來歸納．

生8：它們表示變量的字母的最高次數(shù)都是1次．

師：好的．你是從表示變量的字母的次數(shù)角度來歸納．

生9：它們右邊的代數(shù)式都是整式．

師：不錯！你是從代數(shù)式的類型角度來歸納．

生10：它們都不是方程．

師：有道理．你是用方程概念來歸納．

生11：它們都可以表示為y=kx+b（k、b都是常數(shù)，且k≠0）的形式．

師：非常好！你有較強(qiáng)的符號表示意識．

師：盡管這類函數(shù)有多種特征，但其本質(zhì)特征是它們都可以表示為y=kx+b（k、b都是常數(shù)，且k≠0）的形式．

師：由于這類函數(shù)以后會經(jīng)常用到，所以我們要給它一個名稱：形如y=kx+b（k、b都是常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)叫做一次函數(shù)．當(dāng)b=0時，一次函數(shù)y=kx+b就成為y=kx（k為常數(shù)，k≠0），叫做正比例函數(shù)，常數(shù)k叫做比例系數(shù)．

師：在下列函數(shù)中，哪些是一次函數(shù)？哪些是正比例函數(shù)？若是一次函數(shù)或正比例函數(shù)，則其系數(shù)k和常數(shù)項b的值各是多少？

師：好的．獲得一次函數(shù)的概念經(jīng)歷了哪幾個步驟？

生13：首先，從實(shí)際問題中抽象出若干具體函數(shù)；其次，觀察并歸納具體函數(shù)的共同特征；第三，用文字和符號定義與表示一次函數(shù)．

師：很好．在這個過程中體現(xiàn)了抽象思想、歸納思想、符號表示思想等．

師：一次函數(shù)與二元一次方程有何區(qū)別與聯(lián)系？

生14：一次函數(shù)刻畫的是變量之間的變化關(guān)系；二元一次方程刻畫的是常量之間的相等關(guān)系．一次函數(shù)的一般形式是y=kx+b，而二元一次方程的一般形式是ax+ by+c=0．

師：非常好．它們都是描述現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型．

環(huán)節(jié)3：參與嘗試概念應(yīng)用的活動——合作解答有代表性的問題.

師：現(xiàn)在請大家合作解答下列問題．

問題2：圓珠筆每支0.6元，若設(shè)購買支數(shù)為x（支），總價為y（元）．問：（1）y關(guān)于x的函數(shù)解析式是什么？（2）x的取值范圍是什么？（3）當(dāng)x＝15時，y的值是多少？其實(shí)際意義是什么？

（約2分鐘后）

師：誰來匯報解答的結(jié)果？

生15：（1）y=0.6x；（2）x≥0，且x是整數(shù)；（3）當(dāng)x＝15時，y=9，其實(shí)際意義是：購買15支圓珠筆的總價是9元．

師：好的．確定實(shí)際問題自變量取值范圍時，不僅要考慮使函數(shù)關(guān)系式有意義，而且還要注意問題的實(shí)際意義．下面我們再一起來解答下列問題．

問題3：按國家2011年9月1日起實(shí)施的有關(guān)個人所得稅的規(guī)定，個人月工資（薪金）中，扣除國家規(guī)定的免稅部分3500元后的剩余部分為應(yīng)納稅所得額．全月應(yīng)納稅所得額不超過1500元的稅率為3%，超過1500元至4500元部分的稅率為10%．

（1）設(shè)全月應(yīng)納稅所得額為x元，且1500

（2）小聰媽媽的工資為每月5500元，問她每月應(yīng)繳個人所得稅多少元？

師：這個問題中哪些量是常量？哪些量是變量？

生16：國家規(guī)定的免稅額和納稅標(biāo)準(zhǔn)是常量，應(yīng)納稅額和所得稅額是變量．

師：在（1）的條件下，變量之間有何關(guān)系？

生17：應(yīng)納個人所得稅=1500×3%+（應(yīng)納稅所得額-1500）×10%．

師：好的．y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是什么？自變量的取值范圍是什么？

生18：y=0.1x-105（1500

師：好的．小聰媽媽的工資為每月5500元，小聰媽媽全月應(yīng)納稅所得額為多少？

生19：小聰媽媽全月應(yīng)納稅所得額為2000元．

師：這樣小聰媽媽每月應(yīng)繳個人所得稅多少元？

生19：因?yàn)楫?dāng)x=2000時，y=0.1×2000-105=95（元），并且這個函數(shù)值有意義，所以小聰媽媽每月應(yīng)繳個人所得稅95元．

師：解決這個問題的策略是什么？用的是什么方法？具體使用了哪些技巧？

生20：先把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，再根據(jù)自變量的值求相應(yīng)的函數(shù)值，然后用求出的函數(shù)值回答實(shí)際問題的答案．

師：不錯．解決這個問題的策略：運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題．解決這個問題的方法：①引進(jìn)兩個表示變量的字母；②建立函數(shù)解析式；③根據(jù)自變量的值求出對應(yīng)的函數(shù)值；④用求出的函數(shù)值回答實(shí)際問題的答案．解決這個問題的技巧：①分析——析出涉及的常量、變量及變量關(guān)系；②列式——根據(jù)變量關(guān)系列出函數(shù)解析式；③求值——根據(jù)自變量的值求對應(yīng)的函數(shù)值；④檢驗(yàn)——檢驗(yàn)求出的函數(shù)值是否符合實(shí)際意義；⑤回答——用有意義的函數(shù)值回答實(shí)際問題的答案．

師：王老師月工資3200元，每月應(yīng)繳個人所得稅多少元？

生21：王老師可以免稅．

師：好的．張老師月工資4500元，每月應(yīng)繳個人所得稅多少元？

生22：因?yàn)椋?500-3500）×3%=30，所以張老師每月應(yīng)繳個人所得稅30元．

師：好的．鄔老師每月繳個人所得稅195元，鄔老師月工資多少元？

生23：每月繳個人所得稅195元，說明全月應(yīng)納稅所得額是大于1500元且小于4500元．因?yàn)?.1x-105=195，所以x=3000，所以鄔老師的月工資是3000+3500=6500元．

生24：設(shè)鄔老師的月工資是x元，則1500×3%+（x-3500-1500）×10%=195，解得x=6500，即鄔老師的月工資是6500元．

師：好的．生23用的是函數(shù)思想方法，生24用的是方程思想方法．

環(huán)節(jié)4：參與回顧與思考的活動——合作進(jìn)行反思與總結(jié).

首先，教師出示下列“問題清單”，并要求學(xué)生圍繞“問題清單”進(jìn)行回顧與思考．

（1）本節(jié)課研究了哪些內(nèi)容？我們是怎樣研究的？

（2）何謂一次函數(shù)？定義一次函數(shù)經(jīng)歷了哪幾個步驟？

（3）一次函數(shù)與函數(shù)有何關(guān)系？一次函數(shù)解析式與二元一次方程有何區(qū)別？

（4）用一次函數(shù)解決實(shí)際問題的基本過程是什么？

（5）你在學(xué)習(xí)過程中碰到了哪些困難？有何感觸？

其次，教師組織學(xué)生進(jìn)行合作交流，同時教師邊傾聽、邊評價．

最后，教師讓學(xué)生欣賞一次函數(shù)的自述：

Hi！我是一次函數(shù)．我可以看成是從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出來的，也可以看成是從函數(shù)概念中演繹出來的，也可以看成是從變量角度看一次整式的結(jié)果．我的本質(zhì)特征是解析式具有y=kx+b（k、b都是常數(shù)，且k≠0）的形式．我的解析式雖與二元一次方程基本相同，但內(nèi)涵有較大的區(qū)別：我刻畫的是變量之間的變化關(guān)系，二元一次方程刻畫的是常量之間的相等關(guān)系．用我解決實(shí)際問題的基本過程是：分析→列式→求解→檢驗(yàn)→回答→反思．不久你能認(rèn)識我的圖形特征與性質(zhì)，并且用我的圖形特征與性質(zhì)能解決許多現(xiàn)實(shí)生活中的變化關(guān)系問題．告訴你：認(rèn)識我要抓住變量與變量之間的變化關(guān)系，要遵循特殊到一般、具體到抽象的認(rèn)知規(guī)律，要用運(yùn)動的觀點(diǎn)和數(shù)形結(jié)合的思想；認(rèn)識我也要善于運(yùn)用獨(dú)立思考和獨(dú)立思考基礎(chǔ)上的交流合作的學(xué)習(xí)方式，并要經(jīng)常反思用我解決問題的策略、方法和技巧．這對你理解和掌握我的知識與技能、體會和運(yùn)用我的思想與方法、積淀數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗(yàn)，以及發(fā)展你的能力和個性有積極的作用．

三、教學(xué)說明

過程教育旨在滿足學(xué)生全面、和諧發(fā)展的需要，關(guān)注數(shù)學(xué)結(jié)果形成、應(yīng)用的過程和獲得數(shù)學(xué)結(jié)果（或解決問題）之后反思過程的育人活動．“一次函數(shù)（第1課時）”是系統(tǒng)研究函數(shù)的繼續(xù)——從函數(shù)到具體的一次函數(shù)．一次函數(shù)是最簡單的具體函數(shù)，它在現(xiàn)實(shí)生活中有豐富的情景；研究一次函數(shù)的思維活動過程對研究其他具體函數(shù)有指導(dǎo)作用．從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出一次函數(shù)的過程和蘊(yùn)含的生活常識、抽象思想、列函數(shù)關(guān)系式的方法；定義一次函數(shù)的過程和蘊(yùn)含的歸納思想；用一次函數(shù)解答有代表性問題的過程和蘊(yùn)含的解題策略、方法和技巧等．這些對發(fā)展學(xué)生智力、能力和個性有積極的影響．《課標(biāo)（2011年版）》（內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)）對一次函數(shù)概念的教學(xué)要求是理解，教材對一次函數(shù)概念的要求處于“歸納”層次．一次函數(shù)可以看成是從生活實(shí)例中抽象出來的，也可以看成是從函數(shù)概念中演繹出來的，又可以是從變量角度看一次整式的結(jié)果．但采用從生活實(shí)例中產(chǎn)生一次函數(shù)的方式，能體現(xiàn)抽象思想，積淀列函數(shù)關(guān)系式的經(jīng)驗(yàn)，豐富學(xué)生的生活常識．個人所得稅問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)是分段函數(shù)，它是本節(jié)課教學(xué)的難點(diǎn)．選擇怎樣的載體和運(yùn)用怎樣的方法來完成其教學(xué)任務(wù)？目前在一次函數(shù)概念的教學(xué)中，普遍存在形成概念的過程短暫和獲得概念之后反思過程缺失的問題，導(dǎo)致學(xué)生沒有達(dá)到理解的程度；在“個人所得稅”問題的教學(xué)中普遍沒有引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的思維過程，特別是問題解決后反思過程缺失具有普遍性，導(dǎo)致不能全面發(fā)揮例題的育人功能．本節(jié)課根據(jù)《課標(biāo)（2011年版）》（內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)）對一次函數(shù)概念的教學(xué)要求和教材的教學(xué)意圖，以有代表性的實(shí)際問題為載體（對教材提供的載體作了優(yōu)化與充實(shí)），運(yùn)用教師價值引導(dǎo)與學(xué)生自主建構(gòu)相結(jié)合的適度開放的方法（特別留給了學(xué)生自主思考與實(shí)踐的機(jī)會），引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了完整的認(rèn)知過程．在一次函數(shù)概念的教學(xué)中，既有“列式→觀察→歸納→抽象→定義→鞏固”的認(rèn)知過程，以獲得一次函數(shù)概念，也有獲得概念之后的反思，以感悟獲得一次函數(shù)概念的思維過程和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，以及一次函數(shù)解析式與二元一次方程的關(guān)系等．在“個人所得稅”問題的教學(xué)中，既有“分析、列式、求解、檢驗(yàn)、作答”的過程，以解決給定的“個人所得稅”問題，也有解決問題之后反思的過程，以深化對問題和解法的認(rèn)識，感悟用一次函數(shù)解決實(shí)際問題的思想方法等．這體現(xiàn)了過程教育和以學(xué)為中心的思想，也符合概念教學(xué)和例題教學(xué)的基本規(guī)范，能使學(xué)生在“過程”中理解概念、感悟其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和積累其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，并對發(fā)展學(xué)生的能力和個性有積極的影響．教學(xué)實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)教學(xué)中要實(shí)現(xiàn)知識、技能、能力、態(tài)度的完美統(tǒng)一，需要教師增強(qiáng)揭示知識所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的思維活動過程的自覺性，而引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷實(shí)質(zhì)性思維過程需要教師充分貫徹啟發(fā)式教學(xué)思想——以符合“最近發(fā)展區(qū)”理論的題材為載體，從學(xué)生已有的知識與經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，運(yùn)用教師價值引導(dǎo)與學(xué)生自主建構(gòu)相結(jié)合的適度開放的方法，并引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的認(rèn)知過程．因此，基于過程教育的數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要求是“教學(xué)內(nèi)容全面，教學(xué)方法和諧，認(rèn)知過程完整”，特別要選擇有價值的題材作為教學(xué)載體，用“有濃厚導(dǎo)學(xué)味的問題驅(qū)動，有定向指導(dǎo)性的語言暗示，富有啟發(fā)性的講授，恰當(dāng)?shù)臍w納和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)氖痉兜取弊鳛榻虒W(xué)的指導(dǎo)方法．

1.中華人民共和國教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］．北京：北京師范大學(xué)出版社，2012．

2.范良火．義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（八年級上冊）［M］．杭州：浙江教育出版社，2013．H