☉江蘇省金湖縣實驗中學 李德宏

突出思維結(jié)構(gòu)讓學生學會思考
——關(guān)于“二元一次方程組（第1課時）”教學思考

☉江蘇省金湖縣實驗中學 李德宏

一、緣起

這是一次由我校主辦的全縣教育聯(lián)盟的數(shù)學教研活動，我們數(shù)學教研組決定以“如何使學生學會思考，成為善于認識和解決問題的人才”為主題進行交流研討.我們選擇的課題是蘇科版（2014年版）《義務教育課程標準實驗教科書·數(shù)學》七年級下冊第九章“二元一次方程組”第2節(jié)“二元一次方程組（1）”.

第一次試上的思路是：按照教材順序，直接利用“雞兔同籠”的背景，引出方程組的概念及其表示方法，然后利用“摸球”的情景探究公共解，得到方程組的解的概念，同時感受方程組的必要性.第一次試上時課堂活動表面上很順暢，但是大家總覺得學生只是在接受方程組的概念，根本沒有探究的現(xiàn)象，更談不上“學會思考”.

第二次試上時，為了體現(xiàn)“探究味”，將“摸球”提到前面來，因為“摸球”是從一個條件過渡到兩個條件，有利于設計探究過程，并使學生感受列方程組的必要性，同時“摸球”也比“雞兔同籠”簡單.即“摸球”問題中從只有一個相等關(guān)系出發(fā)，引導學生列出一個二元一次方程，讓學生感受到用一個二元一次方程無法解決問題，然后再給一個相等關(guān)系，由兩個方程共同來解決問題，然后引導學生歸納方程組的概念；再通過列表求解，讓學生歸納得到二元一次方程組解的概念.第二次試上似乎有了“探究味”，但是大家還是覺得“味”不對，有一種“為了方程組而造出情境”的感覺，同時課堂上有兩個“斷痕”，一是雖然讓學生歸納方程組的概念，但是學生并沒有理解為什么概括的與課本上不一樣，二是教師很熱衷于“求解”，學生也出現(xiàn)了許多超前解法，但是學生不清楚已經(jīng)有了簡單的解法，為什么還要用列表這種煩瑣的方法.同時，再仔細想想，這節(jié)課學生學會了思考問題的什么方法呢？大家的感覺就是得到二元一次方程組和二元一次方程組解的概念，其他的沒有什么印象，教師如此，何況學生呢？

二、反思

在磨課時，教師們對課堂中存在的問題進行了激烈的討論，發(fā)表了許多建設性意見，并最終達成共識，歸納起來主要有以下幾點.

1．遵循研究方程的一般思維結(jié)構(gòu)，引導學生發(fā)現(xiàn)和提出問題

在教材體系的內(nèi)容編排上，學生已有的認知起點是知道了一元一次方程、二元一次方程及其解的概念，掌握了等式變形技巧，會熟練解一元一次方程和會用列表法嘗試求二元一次方程的部分解.我們研究這些方程的一個基本“結(jié)構(gòu)”就是“背景—定義、表示—解法—應用”.這樣的研究體現(xiàn)了系統(tǒng)思維的結(jié)構(gòu)性，數(shù)學教學中，只要緊緊抓住這一結(jié)構(gòu)，再通過橫向或縱向的類比與聯(lián)系，引導學生去認識和把握具體數(shù)學對象的要素和功能的關(guān)系，就能使他們建立起研究數(shù)學對象的結(jié)構(gòu)，并形成完整認識.引導學生類比研究一元一次方程、二元一次方程的基本“結(jié)構(gòu)”進行探究，讓學生所受到的思維訓練系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，同時學生的思維就不會偏離方向.

2．合理選擇獲得方程組概念的方法

人類獲取概念的主要方式是概念的形成和概念的同化.概念的形成指從大量的具體的例子出發(fā)，歸納概括出一類事物的共同的本質(zhì)屬性的過程，這是一個發(fā)現(xiàn)學習的過程.概念的同化是指學習者利用原有的認知結(jié)構(gòu)中的觀念來理解接納新概念的過程，這是一個接受學習的過程.試上在引導學生形成概念時，是通過具體的例子出發(fā)，歸納概括出一類事物的本質(zhì)屬性.但是由于人們對二元一次方程組定義的內(nèi)涵已作了適度延伸，因此，教師想用一個例子讓學生探究出定義本身，策略上就存在問題.從課堂來看，學生確實是無法得到正確結(jié)論，結(jié)果是教師越解釋，學生越迷茫.但如果用探究的方式，勢必需要呈現(xiàn)更多的情境，以充分構(gòu)建各種形式的二元一次方程組模型，這樣就會造成概念出現(xiàn)拖沓，給難點突破造成嚴重的影響.建議通過模型直接拋出定義，讓學生進行分析歸納，并通過變式提高學生對定義的認知水平.

3．理解嘗試求解方程組的意義

在求兩個二元一次方程的公共解的過程中，個別學生的“超前思維”使教學過程出現(xiàn)了一個“斷橫”，教師直接跳過，使教學過程顯得不流暢.我們不是要否認學生的“超前思維”，但是本節(jié)課的重點不是“程序解法”，同時下節(jié)課有的是“超前思維”的機會.我們可以先避免在這節(jié)課“超前思維”，可讓其在下一節(jié)課“超前思維”.有的教師認為嘗試求解是否必要.從嘗試求解到用程序求解本身就是人類在解決實際問題中認識逐步深化的一個過程，它充分展現(xiàn)了知識發(fā)生發(fā)展的歷程，符合學生的認知規(guī)律.當然嘗試求解并不僅僅是一種解題方法，更重要的是，它蘊含了估計、逼近的數(shù)學思想，還能讓學生體驗到，要同時滿足兩個條件，首先必須滿足一個條件，再來滿足另一個條件這一樸素的數(shù)學方法論.他的價值或許暫時無從體現(xiàn)，但是從長遠考慮，對學生形成正確的數(shù)學觀念有深遠的影響.

三、最終的教學設計

1.發(fā)現(xiàn)問題，提出猜想

探究一：再見“雞兔同籠”.

雞兔同籠是中國古代的數(shù)學名題之一.大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了這個有趣的問題.書中是這樣敘述的：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數(shù)，有35個頭，從下面數(shù)，有94只腳.問籠中雞和兔各有幾只？

問題1：對于這個問題，我們可以用什么方法進行求解？

先引導得出可以用算術(shù)方法、列一元一次方程和列二元一次方程去嘗試解決實際問題后，讓學生用三種方法自主進行求解，然后選擇三個學生將過程寫到黑板上，其中有列出兩個二元一次方程，但是不知道怎么往下做的情形.

問題2：我們在列二元一次方程去嘗試解決實際問題時，出現(xiàn)了新現(xiàn)象，即列出了兩個二元一次方程，現(xiàn)在我們來對這種“新現(xiàn)象”進行探究，探究是否也能用它來解決問題.我們可以從以下幾個問題進行探究：

（1）列二元一次方程進行求解時，列出了兩個二元一次方程，哪個二元一次方程能代表問題中所有的相等關(guān)系？（實際問題有兩個相等關(guān)系，任何單獨一個方程都是根據(jù)一個相等關(guān)系列出來的，不能代表實際問題中所有的數(shù)量關(guān)系）

（2）為什么一個一元一次方程就能代表問題中所有的相等關(guān)系？（列一元一次方程求解時，一個相等關(guān)系是用來列代數(shù)式，另一個相等關(guān)系用來列方程，而列二元一次方程時，兩個相等關(guān)系是用來分別列兩個方程）

（3）用算術(shù)方法、列一元一次方程求出的解與這兩個二元一次方程有關(guān)系嗎？（將用算術(shù)方法、列一元一次方程求出的解代入到兩個二元一次方程，發(fā)現(xiàn)滿足兩個二元一次方程，這時教師指出把這個解稱為它們的公共解）

評注：引導學生用已有的知識進行求解，一是激活原有認知中關(guān)于方程和一元一次方程、二元一次方程的知識，同時引出問題，并學會利用已有的知識和經(jīng)驗對新的知識進行驗證的思維方式，二是激活了相關(guān)的解決實際問題時的數(shù)學化為方程的模型作用，這樣利于本節(jié)課的類比和化歸作為暗線展開探究，三是從實際問題的模型化中讓學生感受到有必要學習新的知識，從而自然引出課題，并能培養(yǎng)學生的問題意識和提升發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力，學會數(shù)學地思考問題.

2．正反求證，驗證猜想

探究二：摸球游戲.

出示課本上的想一想：我摸到1個紅球、3個綠球，共得11分.（1）你能知道摸到1個紅球、1個綠球各得多少分嗎？（2）我再摸1次，摸到3個紅球、2個綠球，共得12分.你能知道摸到1個紅球、1個綠球各得多少分嗎？

問題1：教師先出示第（1）問，在學生回答不能并說出原因后，要求學生列出二元一次方程，并用表格列出它的一些解.

問題2：教師出示第（2）問，在學生回答后，要求列出第2個二元一次方程，并用表格列出第2個方程的一些解，并找出兩個方程的公共解是什么？

問題3：公共解就是實際問題的解嗎？如何驗證？

評注：前面是說明“問題的解是兩個方程的公共解”，這里是說明“兩個方程的公共解是問題的解”，從正反兩個方面進行驗證，是一種重要的思維方式.通過這兩個過程給了學生一個完整的思維過程，即首先是在實際問題的解決過程中，發(fā)現(xiàn)新的現(xiàn)象或疑惑，根據(jù)新的現(xiàn)象或疑惑提出問題，然后與舊知識進行類比提出猜想，再進行驗證，最后獲得結(jié)論，讓學生能充分體驗到知識是怎樣產(chǎn)生和發(fā)展的，學會數(shù)學地思考問題的思維方式.同時培養(yǎng)學生認真負責的態(tài)度，培養(yǎng)學生的理性思維，這是數(shù)學教育一個重要的目標.

3．對比建構(gòu)，理解概念

探究三：概念辨析.

問題1：教師直接指出，回顧上面的問題，設兩個未知數(shù)后，由于題目中有兩個等量關(guān)系，所以列出兩個二元一次方程.要解決這個實際問題，這兩個方程缺一不可，要解決實際問題就是要找出滿足兩個二元一次方程的解.這里的方程是成組出現(xiàn)的，我們稱之方程組，又因為都是二元一次方程，所以又叫做二元一次方程組.

下面請大家思考，什么是二元一次方程組？

問題2：請大家仔細閱讀課本中的二元一次方程組的定義，與你的總結(jié)進行對比，然后回答它有幾個關(guān)鍵詞？（①兩個一次方程，②兩個未知數(shù)；“含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程”，不一定每個方程都是二元一次，是指兩個方程中一共含有兩個未知數(shù)）

問題3：請對照定義，判別下列各方程組哪些是二元一次方程組，哪些不是？為什么？

評注：二元一次方程組概念的得出采用了概念同化的方式，對于本節(jié)課是一種合理選擇，因為在實際問題中很難列出兩個都是一元一次方程，讓它們組成方程組的形式，所以例子不全面.但是在學生對概念的內(nèi)化方面，并沒有一味采取簡單的降低認知水平的方法，而是學生通過對比分析，概括出概念的本質(zhì)屬性，同時采用變式訓練，提高學生的認知水平，同時也讓學生明白，要注意從個別例子概括出的結(jié)論，一定要多方驗證.

4.總結(jié)反思，積累經(jīng)驗

完成下列問題清單：

（1）本節(jié)課研究了哪些內(nèi)容（知識和數(shù)學思想方法）？你能簡單描述一下研究的過程嗎？

（2）從“一元”到“二元”，你覺得運用方程（組）模型解決實際問題時，以后還會有怎樣的發(fā)展？

（3）請根據(jù)本節(jié)課的研究經(jīng)歷，借鑒一元一次方程和二元一次方程的經(jīng)驗，你能提出一個問題作為下一節(jié)課的研究內(nèi)容嗎？

評注：在總結(jié)性學習活動中，用“問題清單”的方式回味“四基”.將本節(jié)課涉及的“四基”內(nèi)容轉(zhuǎn)化成問題串，讓學生通過經(jīng)歷“問題清單”的交流過程，對問題的認識更深入、體驗更深刻.

問題（1）是對本節(jié)課的知識和數(shù)學思想方法進行歸納和研究問題的基本套路進行回顧.本解課的知識是方程組、方程組的解，數(shù)學思想方法有估算、類比、模型思想等.

研究問題的基本套路：應用已有知識解決問題，發(fā)現(xiàn)新的問題，提出問題，獲得猜想，驗證猜想，獲得結(jié)論，應用新知解決問題.

問題（2）是引導學生學會類比，即可“設一元、二元、甚至n元，可得到多個方程，我們只需要找到它們的公共解即可，也會出現(xiàn)二次，n次”.

問題（3）是促使學生在頭腦中形成“研究方程的基本結(jié)構(gòu)（定義、解法、應用）”，掌握研究某類問題的基本套路，有利于自覺地進行探究活動.

四、教學思考

從前面的教學設計分析，要實現(xiàn)“突出思維結(jié)構(gòu)讓學生學會思考”，需要做到以下兩點：

1．注重數(shù)學的整體性，掌握研究數(shù)學的思維結(jié)構(gòu)

中學數(shù)學中，數(shù)、式及運算，方程與不等式等，都是一個個系統(tǒng).每個概念都是一個系統(tǒng).每個系統(tǒng)都有一定的研究“套路”，如研究方程的一般套路是“背景—定義、表示—解法—應用”.按照套路展開研究體現(xiàn)了系統(tǒng)思維的結(jié)構(gòu)性.教學中要緊緊抓住這一結(jié)構(gòu)，再通過橫向或縱向的類比與聯(lián)系，引導學生去認識和把握具體數(shù)學對象的要素和功能的關(guān)系，就能使他們建立起研究數(shù)學對象的結(jié)構(gòu)，并形成完整的認識.

本節(jié)課首先是確定研究方程的整體思維結(jié)構(gòu)，即“背景—定義、表示—解法—應用”；其次是獲得概念的思維結(jié)構(gòu)，在實際問題的解決過程中，發(fā)現(xiàn)新的現(xiàn)象或疑惑，利用已有的知識對新的現(xiàn)象或疑惑進行簡單求證，正確后再對新的現(xiàn)象或疑惑進行歸納提煉，然后與舊知識進行類比提出猜想，再進行深入驗證，最后形成概念.按照數(shù)學思維方式安排學生的探究過程，讓學生能充分體驗到知識是怎樣產(chǎn)生和發(fā)展的，學會數(shù)學地思考問題的思維方式.同時培養(yǎng)學生認真負責的態(tài)度，培養(yǎng)學生的理性思維，這是數(shù)學教育一個重要的目標.

數(shù)學之所以成為一門自然科學并且越來越凸現(xiàn)其自身的價值，是因為它是一門理性思維的范式，提供了完善的方法論.數(shù)學教學活動不僅要讓學生在活動中積累經(jīng)驗，還要讓學生的思維上升到方法論層面，以此來增強學生觀察事物和解決問題的能力，增強學生認識世界和改造世界的能力.

2．關(guān)注教學內(nèi)容的“問題化”，問題要指向思維結(jié)構(gòu)

美國數(shù)學家哈爾莫斯說過，問題是數(shù)學的心臟，有了問題，思維才有了方向；有了問題，思維才有了動力；有了問題，思維才有了創(chuàng)新.問題設計要遵循問題研究的基本“套路”，這樣指向才能明確，才能形成“問題的連續(xù)體”.本節(jié)課是一元一次方程、二元一次方程的后繼課，也是方程組的起始課，所以要讓學生學會如何研究方程組的套路，同時也要把它放在方程的大背景下進行探究.第一步，引導學生用已有的知識解決問題，使學生在列二元一次方程解決問題時發(fā)現(xiàn)問題；第二步，引導學生將出現(xiàn)的問題與已有的知識進行對比，去尋找聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)問題的解是“公共解”；第三步，引導學生對現(xiàn)象進行提煉歸納形成猜想；第四步，引導學生從反面去探究，得到的“公共解”是問題的解；第五步，引導歸納形成概念.這些都是我們研究一個新的概念的思維節(jié)點，對這些思維節(jié)點進行設問，可以激發(fā)學生的思考，有利于形成思維模式.

把握數(shù)學的本質(zhì)是一切教學法的根.有位學者曾經(jīng)這樣描述數(shù)學的表達形式：沒有一種數(shù)學的思想，以它被發(fā)現(xiàn)時的那個樣子公開發(fā)表出來，一個問題被解決后，相應地發(fā)展為一種形式化技巧，結(jié)果把求解過程丟在一邊，使得火熱的發(fā)明變成冰冷的美麗，因此他說：教材是“教學法的顛倒”（這位智者就是費賴登塔爾）.教材所呈現(xiàn)的是形式化的、冰冷的結(jié)果，教學如果從這些“冰冷”的形式開始，學生就不可能經(jīng)歷“火熱”的數(shù)學思考過程.實際數(shù)學教學時，從“形式”開始，學生就容易出現(xiàn)“形式”上的理解.為了避免“形式”上的教，一線教師需要將“學術(shù)形態(tài)的數(shù)學轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)的數(shù)學（張奠宙）”，為此需要：關(guān)注數(shù)學概念、知識發(fā)展的歷史本源，關(guān)注其形成、發(fā)展的原始動力與過程；關(guān)注現(xiàn)實問題向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化過程，真正讓學生經(jīng)歷“建?！钡倪^程，體驗到數(shù)學在解決實際問題中的重要意義；更需要關(guān)注學生的樸素問題與思維過程，真正激發(fā)學生探究的愿望，發(fā)展理智的好奇.

1.邢成云.基于問題成于問題［J］.中學數(shù)學（下），2015（1）.

2.葉嘯天.讓學生真正經(jīng)歷探究的過程［J］.中學數(shù)學教學參考（中），2014（12）.H