宋 凌 怡

(四川民族學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)系， 四川 康定 626001)

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演化曲線自適應(yīng)驅(qū)動(dòng)的圖像分割水平集模型研究

宋 凌 怡*

(四川民族學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)系， 四川 康定 626001)

利用圖像梯度和幾何曲率等信息可以準(zhǔn)確定位分割圖像的邊緣.基于此，本文在對圖像分割典型變分模型有效性及所存在問題分析和討論的基礎(chǔ)上，提出了一種演化曲線自適應(yīng)驅(qū)動(dòng)的圖像分割水平集模型.模型通過調(diào)整演化曲線長度項(xiàng)和面積項(xiàng)的權(quán)重函數(shù)，使演化曲線能夠根據(jù)圖像當(dāng)前的狀態(tài)自適應(yīng)的調(diào)整演化幅度和方向，不僅提高了圖像分割的準(zhǔn)確度，還大大縮減了圖像分割時(shí)間；模型在利用圖像局部區(qū)域信息的同時(shí)，也利用全局化的正則函數(shù)來兼顧模型能量泛函的全局性，使模型有了對異質(zhì)區(qū)域邊界的捕捉能力.經(jīng)試驗(yàn)驗(yàn)證文章所提出的新模型有效可靠.

圖像分割； 演化曲線； 自適應(yīng)權(quán)重函數(shù)； 水平集函數(shù)； 能量泛函

圖像分割是進(jìn)行高級圖像處理前的重要技術(shù)，隨著研究的深入，出現(xiàn)了許多經(jīng)典的圖像分割算法[1-2].然而，由于各種圖像分割算法的側(cè)重點(diǎn)不同以及分割圖像自身含有各種各樣的特征數(shù)據(jù)，分割算法在處理圖像噪聲、圖像邊緣定位和降低分割時(shí)間等方面都有些不足[3].針對于此，以利用梯度和幾何曲率等信息來準(zhǔn)確定位圖像邊緣的基于偏微分方程(PDE)圖像分割算法滿足了需求.早期基于PDE的圖像分割的典型模型主要包括兩類：一類是基于邊緣信息的分割模型[4]，另一類是基于區(qū)域信息的分割模型(主要是CV模型)[5]，前者將圖像分割歸結(jié)為計(jì)算一個(gè)封閉曲線“能量”泛函的最小化問題，此類模型雖然不會產(chǎn)生圖像的邊緣斷裂，但由于無法準(zhǔn)確定位圖像邊緣，致使分割效果的準(zhǔn)確率不是很高；而后者模型利用活動(dòng)輪廓內(nèi)外圖像信息，不僅一定程度上解決了邊緣模糊還減輕了圖像噪聲干擾，取得了較好的分割效果，但對非同質(zhì)圖像模型圖像分割的結(jié)果不理想.針對這個(gè)問題，國內(nèi)外有很多學(xué)者提出了許多新的模型[6-9]，文獻(xiàn)[6，7]利用局部信息很好的解決了上述部分問題，文獻(xiàn)[8]中給出了一種處理具有共同邊界的多個(gè)對象的PC模型，該模型采用雙水平集函數(shù)并依據(jù)“四色定理”對圖像進(jìn)行分割；文獻(xiàn)[9]提出的PS模型則是通過兩個(gè)定義在圖像的兩個(gè)互不相交子區(qū)域的光滑函數(shù)來逼近待分割的圖像.這兩個(gè)模型都需要根據(jù)合理的區(qū)域劃分來導(dǎo)出水平集演化的偏微分方程組進(jìn)行求解，其最大缺點(diǎn)是算法復(fù)雜性高、演化時(shí)間長，因此難以應(yīng)用于實(shí)際問題.此外，文獻(xiàn)[10]在CV模型中引入了高斯核函數(shù)，把CV模型的全局二值擬合能量泛函改為以高斯函數(shù)為核函數(shù)的局部二值擬合能量泛函，提出了局部二值能量泛函擬合的LBF(Local Binary Fitting)模型，在一定程度上適應(yīng)了非同質(zhì)圖像的分割需求，但模型只能采用固定的參數(shù)選取模式，無法根據(jù)圖像的特性自適應(yīng)分割，所以分割不同類型圖像時(shí)，分割的精度和速度有不同的效果.

本文在CV模型和LBF模型的基礎(chǔ)上，提出了一種演化曲線自適應(yīng)驅(qū)動(dòng)的圖像分割水平集模型，模型通過調(diào)整演化曲線長度項(xiàng)和面積項(xiàng)的權(quán)重函數(shù)，使演化曲線能夠根據(jù)圖像當(dāng)前的狀態(tài)自適應(yīng)的調(diào)整演化幅度和方向，提高了演化的精度和速度；此外，模型在利用圖像局部區(qū)域信息的同時(shí)，也利用全局化的正則函數(shù)來兼顧模型能量泛函的全局性，使模型有了對異質(zhì)區(qū)域邊界的捕捉能力.

1 典型變分模型分析

1.1 Mumford-Shah模型

D.Mumford 和J.Shah將PDE模型應(yīng)用到圖像分割方向，提出了Mumford-Shah變分模型[11].設(shè)圖像的定義域?yàn)閡(x)，Ω?R2；初始圖像I滿足：Ω→R，圖像分割轉(zhuǎn)化為尋找解(u,C)，且使得下式(1)的能量泛函最小的問題，c?Ω為不連續(xù)點(diǎn)的集合.

(1)

模型的第一項(xiàng)為保真項(xiàng)；第二項(xiàng)為正則項(xiàng)；第三項(xiàng)是長度項(xiàng).由于數(shù)學(xué)處理的困難，第二項(xiàng)正則項(xiàng)和第三項(xiàng)長度項(xiàng)很難找到簡單有效的數(shù)值逼近，這影響了Mumford-Shah模型的應(yīng)用，并且在低維測度情況下，由于模型中的兩個(gè)未知數(shù)和以及函數(shù)的非凸性，很難解出上式的最小值.

1.2 CV模型

在文獻(xiàn)[5]中Chan和Vese對Mumford-Shah變分模型進(jìn)行了簡化，提出了一種CV模型，其能量泛函定義為：

ECV(C，c1，c2)=λ1?inside(C)|I(x，y)-

c1|2dxdy+λ2?outside(C)|I(x，y)-c2|2dxdy+
μ·Length(C)+ν·Area(inside(C)),

(2)

其中，inside(C)和outside(C)表示圖像在曲線內(nèi)部和外部的區(qū)域，c1,c2分別是圖像在這兩個(gè)區(qū)域上的平均灰度值；Length(C)是Euclidean曲線弧長，Area(inside(C))是曲線內(nèi)部區(qū)域面積，λ1,λ2,μ,ν是正值參數(shù).

極小化方程(2)，得到相應(yīng)的零水平集方程

(3)

進(jìn)一步，通過求⑶式的穩(wěn)態(tài)解即可得到圖像分割結(jié)果.

由于表示的是圖像在曲線內(nèi)外部的全局信息，因此模型處理非同質(zhì)圖像的結(jié)果不理想.

1.3 LBF模型

(4)

該能量泛函可表示為

(5)

式中，λ1,λ2>0是固定參數(shù)，Kσ是帶有標(biāo)準(zhǔn)差σ的高斯核，f1,f2分別表示逼近曲線內(nèi)、外部區(qū)域圖像局部強(qiáng)度的光滑函數(shù)，此時(shí)其代替了CV模型中的常數(shù)值.相應(yīng)的水平集函數(shù)的演化方程為：

(6)

其中，μ,ν是權(quán)系數(shù)，其余系數(shù)同CV模型.本模型的計(jì)算量主要在于-δE(φ)(λ1e1-λ2e2)，其中

(7)

(8)

在模型(6)中，Kσ,μ,ν參數(shù)等采用了固定的選取模式.然而大量實(shí)驗(yàn)表明，這些參數(shù)的改變在很大程度上會影響模型演化的時(shí)間以及最后的分割效果，特別對不同類型圖像的情況.文獻(xiàn)[12]對的選取進(jìn)行了研究，給出了相應(yīng)的選擇方案.而對于參數(shù)μ,ν，目前還僅限于通過大量實(shí)驗(yàn)進(jìn)行人工統(tǒng)計(jì)來確定.

1.4 分析與討論

Mumford-Shah模型通過對圖像中邊緣跳躍部分進(jìn)行幾何測度予以控制，加之在低維測度下的多個(gè)未知數(shù)，使數(shù)值求解變得比較棘手； CV模型假定圖像是由目標(biāo)和背景兩個(gè)同質(zhì)區(qū)域組成的，故而將目標(biāo)和背景看作常數(shù)，這樣利用分段常數(shù)函數(shù)來擬合圖像.而LBF模型主要是在CV模型的基礎(chǔ)上引入了高斯核函數(shù)，在一定程度上彌補(bǔ)了CV模型處理非同質(zhì)區(qū)域的不足，除此之外，模型中功能項(xiàng)權(quán)重選擇對圖像的非自適應(yīng)性，會進(jìn)一步影響分割的精度和速度.

2 新模型的提出

2.1 水平集函數(shù)偏離符號距離函數(shù)分析

在原始的幾何活動(dòng)輪廓模型中，水平集函數(shù)在演化過程中必須始終保持近似于符號距離函數(shù)，這樣才能保證水平集演化的穩(wěn)定性和結(jié)果的有效性.

距離保持水平集方法是在傳統(tǒng)CV模型的能量泛函中添加了一項(xiàng)內(nèi)部能量泛函(也叫糾正項(xiàng))，用以糾正水平集函數(shù)與符號距離函數(shù)的偏差.如文獻(xiàn)[10，13]引入了

(9)

作為水平集函數(shù)的內(nèi)部能量泛函，用于表示水平集函數(shù)偏離符號距離函數(shù)的程度，用以糾正水平集函數(shù)與符號距離函數(shù)的偏差.

符號距離函數(shù)有如下性質(zhì)[14]：1)滿足|φ|=1；2)滿足|φ|的函數(shù)φ一定可以表示為一個(gè)符號距離函數(shù)與一個(gè)常數(shù)之和.因此對糾正函數(shù)進(jìn)行極小化可以有效防止水平集函數(shù)偏離符號距離函數(shù).在新模型繼續(xù)沿用此項(xiàng).

2.2 模型的建立

本文建立的模型為：

(10)

式中,第一項(xiàng)為糾正項(xiàng)，用以糾正水平集函數(shù)的誤差；第二項(xiàng)是Euclidean長度項(xiàng)，用以控制演化曲線的長度來使零水平集逐漸變得平滑，從而減少尖點(diǎn)、角點(diǎn)、奇異點(diǎn)；第三項(xiàng)是面積項(xiàng)，用以控制演化曲線的面積，這樣可以使零水平集收縮自如，以實(shí)現(xiàn)圖像的快速分割；第四項(xiàng)是局部演化擬合項(xiàng).

具體求解過程：在水平集方法中，C?Ω用Lipschitz函數(shù)的零水平集表示：

(11)

引進(jìn)Heaviside算子H和一維Dirac函數(shù)δ(z)，則有：

糾正項(xiàng)：

(12)

Euclidean長度項(xiàng)：

(13)

面積項(xiàng)：

Area(inside(C))=Area(φ≥0)=

?ΩH(φ)dxdy，

(14)

局部演化擬合項(xiàng)：

(15)

新模型的能量泛函E′(f1，f2，φ)表示成：

(16)

固定φ，關(guān)于f1,f2極小化能量泛函E′(f1,f2,φ)，根據(jù)Euler-Lagrange方程得到：

(17)

在f1和f2固定的條件下，根據(jù)Euler-Lagrange方程相對于做E′(f1，f2，φ)的最小化，從而得到新模型的水平集演化方程：

(18)

其中,μ,λ1,λ2是常量權(quán)系數(shù)，

(19)

定理1模型(10)收斂并存在極小解.

下面證明存在一個(gè)收斂的子序列In收斂到I，即In→I.

另外，由高斯核函數(shù)的性質(zhì)有：

0

在Ω1中，

?Ω1Kσ(x-y)|In-f1(x)|2H(φ)dxdy

在Ω2中，

?Ω2Kσ(x-y)|In-f2(x)|2H(φ)dxdy

其中，Mi,j=1,2,3,4,5都是常數(shù).

綜上，可以得到如下結(jié)論：

(20)

其中,ν(In)，γ(In)也有界，N為常數(shù).

通過均值不等式：|In|≤|In-I|+|I|，其中|I|為常數(shù)，可知|In|是有界的.

所以In在Sobolev里是有界且收斂的，那么E肯定存在一個(gè)極小解.從而本文所建立的模型存在極小解.

1)長度項(xiàng)與面積項(xiàng)的權(quán)重函數(shù)

為了減少實(shí)際誤差，模型中對長度項(xiàng)和面積項(xiàng)增加了自適應(yīng)特性的權(quán)系數(shù)函數(shù)ν(I)和γ(I)：

(21)

其中，I表示當(dāng)前圖像，sign(·)為符號函數(shù)，Gσ是標(biāo)準(zhǔn)差為σ的高斯濾波器，Gσ*I表示對圖像I做高斯濾波，Δ為Laplace算子，為梯度算子.

分析：

①針對圖像的現(xiàn)行狀態(tài)和當(dāng)前特性，需要自適應(yīng)的控制長度項(xiàng)的大小，而圖像信息中的梯度恰恰能反映圖像邊緣的變化，這樣就采用高斯核卷積作為長度項(xiàng)的權(quán)重函數(shù)，一方面降低了將噪聲作為假邊緣的可能性，另一方面當(dāng)零水平集運(yùn)動(dòng)到目標(biāo)邊緣附近時(shí)，梯度值較大，從而使|(Gσ*I)|的值也較大，這極大地提高了零水平集檢驗(yàn)物體多層輪廓的可能性，同時(shí)也提高了對深度凹陷區(qū)域與多目標(biāo)物體邊緣的捕獲能力.

②也需要自適應(yīng)的控制面積項(xiàng)大小和方向的變化.這里利用權(quán)重函數(shù)γ(I)[15]從>0和<0兩個(gè)方向使水平集向目標(biāo)邊緣靠近，以降低演化曲線對初始位置的依賴.

2)δε(φ)函數(shù)的選取

文獻(xiàn)[16]和文獻(xiàn)[13]采用的正則化Dirac 函數(shù)δε(φ)是具有緊支集的函數(shù)，函數(shù)通過限制圖像邊緣檢測的全局性，從而使演化曲線約束在局部.本文提出的模型采用正則化Heaviside和Dirac函數(shù)[12]：

(22)

2.3 模型的計(jì)算

新模型的計(jì)算成本主要在e1,e2中的f1,f2，我們可以通過變形(8)減少計(jì)算量，改變形式如下[17]：

(23)

f2的卷積項(xiàng)Kσ*I(x)與Kσ*I是常數(shù)，整個(gè)演化過程只需計(jì)算一次；f1,f2共用Kσ*[Hε(φ)I(x)]與Kσ*Hε(φ)，在每次演化中只需計(jì)算一次.這樣雖然f1,f2的計(jì)算量遠(yuǎn)小于LBF模型中的(λ1e1-λ2e2)，但分割效果卻是相同的.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了檢驗(yàn)本文所提出模型的有效性，實(shí)驗(yàn)各種圖像，并將結(jié)果與CV模型、LBF模型進(jìn)行了比較.LBF模型[17]主要參數(shù)的取值為μ=1.0，σ=3.0，ε=1.0，時(shí)間步長為τ=0.1；本文算法的參數(shù)主要為μ=1.0，ε=1.0，τ=0.1.

3.1 多目標(biāo)圖像情況

圖1給出了不同算法對多目標(biāo)Rice圖像的分割結(jié)果，其中，LBF模型中ν=0.002×255×255，本文模型中選取σ=3.0.從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看到，本文方法對初始曲線的選取具有很好的魯棒性，無論選在何處都能很好的分割出米粒，并且從表1中可以明顯看出，本文的分割時(shí)間與CV模型接近，大大優(yōu)于LBF模型；而LBF模型則在所選取的不同初始位置分割米粒的效果都很差；CV模型對左下米粒的分割效果不好，初始位置影響了演化曲線的選取，并且受限于局部最小，導(dǎo)致有時(shí)不能實(shí)現(xiàn)分割，分割結(jié)果可見圖1中的CV模型的第3和第4張分割圖.

圖1 對多目標(biāo)Rice 圖像(128×128)的分割結(jié)果對比Fig.1 The multi object Rice image (128 × 128) comparison of segmentation results

表1 圖1所對應(yīng)的分割效率

3.2 內(nèi)外輪廓情況

圖2給出了不同算法對細(xì)胞圖像的分割結(jié)果.其中，圖2的LBF模型中ν=0.003×255×255，模型選取σ=4.0.從分割后的圖像可以看出：本文所提出的模型能很好將細(xì)胞的內(nèi)外輪廓分割出來，那怕是細(xì)胞外部細(xì)微的結(jié)構(gòu)也能很好的分割，對不同的初始輪廓進(jìn)行分割，也能得到較好的分割效果.而在CV模型下，細(xì)胞部分實(shí)現(xiàn)了較好分割，但有些卻陷入局部極小無法分割，細(xì)微結(jié)構(gòu)的處理上也不盡人意.從表2分割效率上看，新模型的分割時(shí)間優(yōu)于LBF模型.

圖2 對細(xì)胞圖像(62×50)的分割結(jié)果對比Fig.2 The cell image (62 × 50) comparison of segmentation results

表2 圖2所對應(yīng)的分割效率

3.3 異質(zhì)圖像情況

圖3是不同算法對異質(zhì)圖像的分割結(jié)果，其中在LBF模型中選取ν=0.003×255×255，本文模型中選取σ=10.0.可以看出，本文模型對于所選取的不同的初始輪廓均取得了比較滿意的分割結(jié)果；而LBF模型和CV模型的分割結(jié)果不能令人滿意，CV模型的全局性錯(cuò)把部分背景當(dāng)成目標(biāo)，出現(xiàn)分割偏差；LBF模型與初始位置有關(guān)，只有在正確的位置才能實(shí)現(xiàn)較好分割，此外，從表3中可以看出，本文的分割效率總體上要好于LBF模型.

圖3 對異質(zhì)圖像(127×96)的分割結(jié)果對比Fig.3 The heterogeneous image (127 × 96) comparison of segmentation results

表3 圖3所對應(yīng)的分割效率

4 結(jié)論

本文在對CV模型和LBF模型分析和討論的基礎(chǔ)上，提出了提出了一種演化曲線自適應(yīng)驅(qū)動(dòng)的圖像分割水平集模型， 模型借鑒了LBF模型中的糾正項(xiàng)，避免了水平集函數(shù)重新初始化，同時(shí)通過調(diào)整演化曲線長度項(xiàng)和面積項(xiàng)的權(quán)重函數(shù)，使演化曲線能夠根據(jù)圖像當(dāng)前的狀態(tài)自適應(yīng)的調(diào)整演化幅度和方向，大大降低了分割所需時(shí)間；此外，模型在利用圖像局部區(qū)域信息的同時(shí)，也利用全局化的正則函數(shù)來兼顧模型能量泛函的全局性，使模型有了對異質(zhì)區(qū)域邊界的捕捉能力.多次試驗(yàn)結(jié)果可以得出，新模型分割圖像的效果比CV模型更加細(xì)膩、準(zhǔn)確，相比LBF模型，分割效果更好更穩(wěn)定，并且在分割效率上明顯優(yōu)于LBF模型.

[1] 段瑞玲， 李慶祥， 李玉和. 圖像邊緣檢測方法研究綜述[J].光學(xué)技術(shù)，2010， 31 (3):415-419．

[2]ZiouD，TabboneS.Edgedetectiontechniques-anoverview[J].InternationalJournalofPatternRecognitionandImageAnalysis， 2008， 8(4):537-559．

[3] 管宏蕊， 丁 輝. 圖像邊緣檢測經(jīng)典算法研究綜述[J].首都師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版， 2009， 30(10):66-69．

[4]KassM，WitkinA，TerzopoulosD.Snakes:activecontourmodels[J].InternationalJournalofComputerVision， 2011， 1(4): 21-331．

[5]ChanTF，VeseLA.Activecontourswithoutedges[J].IEEETransactionsonImageProcessing， 2011， 10(2): 266-277．

[6]QiGe，LiangXiao，JunZhang，etal.Animprovedregion-basedmodelwithlocalstatisticalfeaturesforimagesegmentation[J].PatternRecognition， 2012， 45(4): 1578-1590．

[7]QiGe，LiangXiao，JunZhang，etal.Arobustpatch-statisticalactivecontourmodelforimagesegmentation[J].PatternRecognitionLetters， 2012， 33(12): 1549-1557．

[8]VeseLA，ChanTF.Amultiphaselevelsetframeworkforimagesegmentationusingthemumford-shahmodel[J].InternationalJournalofComputerVision， 2012， 50(3): 271-293．

[9]TsaiA，YezziA，WillskyAS.Curveevoluationimplementationofthemumford-shahfunctionalforimagesegmentation，denoising，interpolation，andmagnification[J].IEEETransactionsonImageProcessing， 2011， 10(8): 1169-1186．

[10]LiCM，KaoCR，GoreJ，etal.Implicitactivecontoursdrivenbylocalbinaryfittingenergy[C]//ProceedingsofIEEEConferenceonComputerVisionandPatternRecognition.Minneapolis，MN，USA:IEEE， 2007: 1～7．

[11]MumfordD，ShahJ.Optimalapproximationsbypiecewisesmoothfunctionsandassociatedvariationalproblems[J].Commun.PureApplMath， 2009， 42(5): 577-685．

[12] 原 野， 何傳江.LBF活動(dòng)輪廓模型的改進(jìn)[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用， 2009， 45(15):177-180．

[13]LiC，XuC，GuiC，etal.Levelsetevolutionwithoutre-initialization;anewvariationalformulation[C]//ProcoftheIEEEComputerSocietyConfoncomputerVisionandPatternRecognition.NewYork, 2010:430-436．

[14]OsherS，F(xiàn)edkiwR.LevelSetMethodsAndDynamicImplicitSurface[M].NewYork:Springer-Verlag， 2012．

[15] 何傳江， 李 夢， 詹 毅. 用于圖像分割的自適應(yīng)距離保持水平集演化[J].軟件學(xué)報(bào)， 2008， 19(12): 3161-3169．

[16]HONG-KaiZhao，ChanT，MerrimanB，etal.Avariationallevelsetapproachtomultiphasemotion[J].JournalofComputationalPhysics， 1996， 127(1):179-195．

[17]LiCM，KaoCY，GoreJ，etal.Minimizationofregion-scalablefittingenergyforimagesegmentation[J].IEEETransactionsonImageProcessing， 2011， 17(10): 1940-1949．

A level-set model for image segmentation with adaptively driven evolutional curve

SONG Lingyi

(Department of Computer Science， Sichuan University for Nationalities，Kangding，Sichuan 626001)

Image segmentation model based on partial differential equation is widely concerned， because it can accurately locate the edge of object by directly using image’s geometric information such as gradient， curvature， and etc. In this study， we first discuss the effectiveness and disadvantages of state-of-the-art variational models for image segmentation. Based on our analysis， we subsequently propose a novel level-set model for image segmentation with adaptively driven evolutional curve. The features of the proposed model are as follows. According to current state of the image， the evolutional curve is able to adaptively adjust evolution amplitude and direction by introducing a weighting function of length and area terms. This both improves segmentation accuracy and reduces time to obtain ideal segmentation results， While depending on the local image information， a global regular function is employed to balance the global feature of energy functional so as to enhance the model’s ability to capture edges of heterogeneous area. Experimental results verify the effectiveness of the proposed model．

image segmentation; evolution curve; adaptive weighting function; level set function; energy function

2014-09-22.

1000-1190(2015)02-0195-06

TP391

A

*E-mail: Gslyst5201@163.com.