沈 琦，王奎龍

（杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州310036）

0 引言

由于折射率的橫向變化對(duì)光束將產(chǎn)生波導(dǎo)效應(yīng)以及類透鏡效應(yīng)，非均勻折射率介質(zhì)在光通信、光傳感技術(shù)和光纖熔接等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景［1-4］.在非均勻折射率介質(zhì)中，梯度折射率介質(zhì)的特性及其應(yīng)用得到了廣泛的研究.高斯光束、余弦高斯光束、平頂光束、可控空心光束及洛倫茲-高斯光束在梯度折射率介質(zhì)中的傳輸已得到了研究.近年來(lái)，一類被稱為空心光束的中心光強(qiáng)為零的暗中空心光束，由于在原子光學(xué)、自由光通信、二元光學(xué)、中性原子的激光操控和導(dǎo)向等方面的廣泛應(yīng)用而受到人們的廣泛關(guān)注［5-8］.在理論和實(shí)驗(yàn)上，有多種不同的模型和方法可用來(lái)描述和產(chǎn)生空心光束，如拉蓋爾-高斯模、貝塞耳-高斯光束、高階馬丟光束等.2005年，Wu等在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)了一種新穎的橢圓對(duì)稱的異?？招墓馐?］.異常空心光束與傳統(tǒng)空心光束最大不同是其中心帶有橢圓形的實(shí)心核.隨后Cai提出了描述該光束的理論模型，把異常空心光束看作像散高斯模型和像散圓環(huán)模型的疊加［10］.Cai提出模型后，異?？招墓馐母鞣N傳輸特性得到了較為深入的研究［11-19］，但是異?？招墓馐谔荻日凵渎手械膫鬏斕匦匝芯窟€未見(jiàn)報(bào)道.本文利用廣義惠更斯-菲涅耳衍射（Collins）積分方法，推導(dǎo)出異?？招墓馐谔荻日凵渎式橘|(zhì)中的傳輸解析表達(dá)式，并研究了異?？招墓馐谔荻日凵渎式橘|(zhì)中及穿過(guò)介質(zhì)后的傳輸特性.

1 異?？招墓馐谔荻日凵渎蕪较蚍植冀橘|(zhì)中的傳輸公式

在直角坐標(biāo)系中，z軸為光束傳播方向.在初始平面（z＝0）處，異常空心光束的電場(chǎng)分布可以描述為：

式中，w0x和w0y分別表示像散高斯光束在x和y方向的束腰寬度.

在近軸條件下，異常空心光束通過(guò)一階ABCD光學(xué)系統(tǒng)后出射場(chǎng)的分布可由直角坐標(biāo)下的Collins積分公式得到

其中k＝2π／λ，λ為波長(zhǎng)，A、B、C、D為一階光學(xué)系統(tǒng)變換矩陣元.

把式（1）代入式（2），并使用下面的積分公式

經(jīng)過(guò)復(fù)雜積分運(yùn)算，可得到異?？招墓馐?jīng)過(guò)一階ABCD光學(xué)系統(tǒng)后出射場(chǎng)分布的表達(dá)式

假設(shè)異?？招墓馐ㄟ^(guò)梯度折射率徑向分布的介質(zhì)，其光路圖和梯度折射率在徑向分布情況如圖1所示.

圖1 異?？招墓馐谔荻日凵渎式橘|(zhì)中的傳輸示意圖Fig.1 Scheme of anomalous hollow beam propagation in gradient-index medium

梯度折射率徑向分布介質(zhì)的折射率可表示為

式中，n0為介質(zhì)軸上的折射率，β為梯度折射率系數(shù).梯度折射率介質(zhì)中從源平面到觀察平面z之間的光學(xué)系統(tǒng)傳輸矩陣可表示為

將式（9）代入式（6），可得異?？招墓馐谔荻葟较蚍植嫉奶荻日凵渎式橘|(zhì)中的傳輸表達(dá)式

由I＝E（x，y，z）E＊（x，y，z），可得異常空心光束在梯度折射率介質(zhì)中的光強(qiáng)分布

其中

當(dāng)x＝y(tǒng)＝0時(shí)，由式（12）可得到異?？招墓馐谔荻日凵渎式橘|(zhì)中的軸上光強(qiáng)分布為：

由式（23）可知，軸上光強(qiáng)分布呈周期性變化，相應(yīng)的空間周期為π／β，周期由梯度折射率系數(shù)決定，而與其它因素?zé)o關(guān)，而軸上光強(qiáng)最大值位置為

異?？招墓馐谟^察平面z上二階矩定義下的有效光束寬度為［20］

把式（10）代入式（25），通過(guò)積分可得異?？招墓馐趜平面上的有效光束寬度為

2 數(shù)值計(jì)算和分析

利用以上推導(dǎo)出的公式（12），（23），（26）進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，獲得了異常心光束在梯度折射率介質(zhì)中及介質(zhì)后的傳輸特性，在以下的計(jì)算中，取λ＝632.8 nm，w0x＝2 mm，w0y＝1 mm.在圖2中給出了異?？招墓馐谔荻日凵渎手袀鬏敃r(shí)，軸上歸一化光強(qiáng)隨著傳輸距離的變化.從圖2中可以看出，軸上光強(qiáng)分布呈周期性變化，軸上光強(qiáng)分布周期由Sin2（βz）決定，即βz＝0.5π＋nπ（n＝0，1，2，…）時(shí)，軸上光強(qiáng)達(dá)到最大值.在軸上光強(qiáng)最大值兩側(cè)，軸上光強(qiáng)從最大值快速下降，但下降的快慢與β值有關(guān)，β值越大，軸上光強(qiáng)下降得越快.圖3所示為當(dāng)β＝0.5mm-1時(shí)，在不同傳輸距離處的橫向歸一化光強(qiáng)的三維分布和等高分布圖.從圖3可以看出，在兩個(gè)相鄰的軸上光強(qiáng)最大值空間范圍內(nèi)，隨著傳輸距離的變化，光束橫向分布剖面形狀將發(fā)生變化，光束橫向分布范圍先逐漸增大，再逐漸減小，而中心光強(qiáng)先逐漸減小再逐漸增大，同時(shí)，橢圓對(duì)稱的異?？招墓馐膶?duì)稱性也發(fā)生變化，并隨著傳輸距離的變化，橢圓光束的x和y方向的長(zhǎng)短軸會(huì)發(fā)生交換，其光束形狀在一個(gè)周期內(nèi)的變化過(guò)程類似于自由空間的傳輸變化，但變化速度遠(yuǎn)快于自由空間的傳輸，并且具有周期變化的特性.

圖2 梯度折射率系數(shù)取不同值時(shí)軸上歸一化光強(qiáng)隨傳輸距離的變化Fig.2 Normalized intensity on axis changes with propagation distance for different gradient-index parameters

圖3 不同傳輸距離處橫向歸一化光強(qiáng)分布圖（β＝0.5 mm-1）Fig.3 Normalized intensity distributions with different propagation distances（β＝0.5 mm-1）

圖4給出了在z＝πmm 處，當(dāng)梯度折射率系數(shù)取不同值時(shí)，橫向歸一化光強(qiáng)的三維分布和等高分布圖.從圖4可以看出，在同一傳輸距離處，當(dāng)梯度折射率系數(shù)取不同值時(shí)，光束的分布形狀將發(fā)生類似于改變傳輸距離的變化情況，即會(huì)發(fā)生周期性的變化.當(dāng)z＝πmm，β從0.1增加到0.9時(shí)，光束的橫向分布范圍先逐漸變小，再逐漸增大，光束的形狀也發(fā)生變化，光束形狀的變化周期為β＝0.5＋n（n＝0，1，2，…）.

圖4 不同梯度折射率時(shí)橫向歸一化光強(qiáng)分布（z＝πmm）Fig.4 Normalized intensity distribution with different gradient-index parameters（z＝πmm）

如果式（9）中的矩陣元變?yōu)锳′＝A＋z0C，B′＝B＋z0D，C′＝C和D′＝D，則可以研究異?？招墓馐ㄟ^(guò)梯度折射后在自由空間的傳輸特性，其中A、B、C和D為式（9）中矩陣元值，z0為梯度折射率后自由空間的傳輸距離.通過(guò)數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，通過(guò)梯度折射率介質(zhì)后的傳輸特性與文獻(xiàn)［10］中描述的類似，光束橫向光強(qiáng)的歸一化分布與介質(zhì)的厚度，β參數(shù)，以及自由空間的傳輸距離有關(guān)，實(shí)際中可以通過(guò)改變介質(zhì)的厚度與β參數(shù)來(lái)調(diào)控自由空間某一傳輸面上的光束分布.由于篇幅所限，圖5僅給出了當(dāng)光束通過(guò)厚度為z＝πmm，而β值不同的梯度折射率介質(zhì)后，距離介質(zhì)z0＝1 m 處的橫向歸一化光強(qiáng)分布，從圖5中可以看出，當(dāng)光束通過(guò)不同β值的梯度折射率介質(zhì)后，在介質(zhì)后自由空間1 m 處可以獲得不同的光束形狀和光強(qiáng)分布.

圖5 梯度折射率介質(zhì)后自由空間的橫向歸一化光強(qiáng)分布（z＝πmm，z0＝1m）Fig.5 Normalized intensity distribution in free space after passing through the gradient-index medium（z＝πmm，z0＝1m）

在圖6中給出了，有效光束寬度隨著傳輸距離的變化圖，圖中給出了當(dāng)β分別取0.5和1時(shí)，x方向和y方向有效光束寬度隨傳輸距離的變化.從圖6中可以看出，x和y方向的有效束寬變化規(guī)律是一樣的，都呈周期性的變化，其變化空間周期為π／β，在一個(gè)周期內(nèi)，其中前半個(gè)周期有效束寬從最大值逐漸減小到零，后半個(gè)周期從零逐漸增大到最大值.從圖6（a）和圖6（b）比較可以看出，當(dāng)增大梯度折射率系數(shù)時(shí)，有效束寬變化范圍得到壓縮.

圖6 梯度折射率系數(shù)取不同值時(shí)光束寬度隨傳輸距離的變化Fig.6 Beam width changes with propagation distance for different gradient-index parameters

3 結(jié)論

本文根據(jù)柯林斯積分公式導(dǎo)出了異?？招墓馐谔荻日凵渎式橘|(zhì)中傳輸?shù)慕馕龉剑⒔o出了梯度折射率介質(zhì)中觀察平面上二階矩定義下的光束寬度變化表達(dá)式.通過(guò)數(shù)值計(jì)算分析了異?？招墓馐谔荻日凵渎式橘|(zhì)中及穿過(guò)介質(zhì)后的傳輸規(guī)律.計(jì)算結(jié)果表明，在梯度折射率介質(zhì)中，異常空心光束的軸上光強(qiáng)分布和有效光束寬度都呈周期性變化，折射率系數(shù)越大，軸上光強(qiáng)變化速率越快.異常空心光束在梯度折射率介質(zhì)中的橫向光強(qiáng)分布受折射率影響很大，當(dāng)軸向傳輸距離或折射率系數(shù)變化時(shí)，光束的橫向光強(qiáng)分布呈周期性的變化，而穿過(guò)介質(zhì)后在自由空間的傳輸受介質(zhì)和傳輸距離的影響.本文的研究結(jié)果對(duì)異常空心光束在梯度折射率介質(zhì)中及穿過(guò)介質(zhì)后傳輸?shù)墓鈴?qiáng)和光束形狀控制提供了有意義的參考，可以通過(guò)改變傳輸距離和梯度折射率系數(shù)來(lái)調(diào)整光束的強(qiáng)度和形狀，對(duì)光束形狀有特殊要求場(chǎng)合及光束整形具有潛在的應(yīng)用價(jià)值.

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