有名輝

(浙江機電職業(yè)技術學院人文社科學院，浙江 杭州 310053)

一個多參數(shù)Hardy-Hilbert型不等式及應用

有名輝

(浙江機電職業(yè)技術學院人文社科學院，浙江 杭州 310053)

摘要：建立了一個多參數(shù)的Hardy-Hilbert型不等式，統(tǒng)一了一些已有的結論.作為應用，賦予參數(shù)不同的數(shù)值，文中還建立了若干已有不等式的對偶形式，并給出了一些新的、簡潔的Hilbert型不等式.

關鍵詞：Hardy-Hilbert不等式；多參數(shù)；推廣；β-函數(shù)

收稿日期：2015-01-14

通信作者：有名輝(1982—)，男，碩士，主要從事函數(shù)逼近論及解析不等式研究.E-mail：youminghui1@163.com

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2015.05.015

中圖分類號:O178MSC2010: 26D15

文獻標志碼:A

文章編號:1674-232X(2015)05-0531-06

0引言與預備知識

(1)

不等式(1)是著名的Hardy-Hilbert重級數(shù)不等式[1]，它在分析學及其應用領域有著重要的作用，其等價形式為

(2)

近年來，一些學者給出了不等式(1)的諸多推廣．如2002年,楊必成在文[2]中證明了0<λ≤min{p,q}時：

(3)

2006年，楊又在文[3]中引進了β-函數(shù)，得到2-min{p,q}<λ≤2時：

(4)

2007年，孫保炬[4]證明了當λ>0,且0<α≤min{p,q}時：

(5)

顯然式(5)是式(3)的推廣，但不是式(4)的推廣．2010年，劉瓊等[5]又給出了式(5)的進一步推廣，即α>0,0<λ1α≤min{p,q}，0<λ2α≤min{p,q}時,有

(6)

注1從原文的證明看,條件“0<λ1α≤min{p,q}，0<λ2α≤min{p,q}”應當修正為“0<λ1α≤q，0<λ2α≤p”.

不難發(fā)現(xiàn)，式(6)仍然不是式(4)的推廣形式. 本文的目的是將建立式(6)和式(4)的統(tǒng)一推廣形式, 并給出一些有意義的特殊結果.在此先給出相關引理．

1引理

引理1若α,λ1,λ2,c1,c2>0，0≤β1,β2<1，且λ1(1-β2)+λ2(1-β1)=αλ1λ2, 則

(7)

(8)

(9)

(10)

并且此時,有

令ε→0+，可得

(11)

把式(10)(11)代入到式(9),易知式(8)成立.引理2證畢.

2主要結果及應用

an,bn≥0(n∈N)滿足,則

(12)

其等價形式為

(13)

證明(Ⅰ) 首先證明式(12)成立．由H?lder不等式，可知

(14)

由引理1，可得

(15)

類似地，可算得

(16)

把式(15)(16)代入到式(14)，便得式(12)．

(Ⅱ)以下證明式(12)和式(13)是等價的．

(17)

因此

(18)

要說明式(13)和式(12)等價，以下只需從式(13)證得式(12)．事實上，由H?lder不等式，可知

(19)

因為

所以

(20)

若式(12)中的常數(shù)因子不是最佳的，則存在正實數(shù)k，滿足

使式(12)中的常數(shù)因子換成k后式(12)仍然成立．特別地，我們可以得到

由式(8)和式(20),可知

令ε→0+,則

這與

矛盾.因此式(12)中的常數(shù)因子是最佳的．

(21)

特別地，在推論1中，令λ=2，則式(21)轉化為

(22)

(23)

在定理1，令c1=c2=λ1=λ2=α=1, 則有

(24)

參考文獻:

[1] Hardy G H， Littlewood J E， Polya G． Inequalities [M]. Cambridge: Cambridge University Press,1952．

[2] 楊必成．關于一個推廣的Hardy-Hilbert不等式[J].數(shù)學年刊A輯，2002，23(2)：247-254．

[3] 楊必成．關于Hardy-Hilbert不等式的單參數(shù)推廣[J].數(shù)學的實踐與認識，2006，36(4)：226-231．

[4] 孫保炬．一個推廣的具有最佳常數(shù)的Hardy-Hilbert不等式[J].數(shù)學進展，2007，36(1)：39-46．

[5] 劉瓊，李繼猛．一個具最佳常數(shù)的多參數(shù)Hardy-Hilbert不等式[J].數(shù)學雜志，2010，30(5)：877-882．

A Hardy-Hilbert Type Inequality with Multi-Parameters and its Applications

YOU Minghui

(School of Humanities and Social Sciences, Zhejiang Institute of Mechanical and Electrical Engineering, Hangzhou 310053, China)

Abstract:By establishing a new Hardy-Hilbert type inequality with multi-parameters, this paper unifies some known results. As the application, different values are given for the parameters, the dual form of some known inequalities is established, and some new and concise Hilbert-type inequalities are also presented.

Key words:Hardy-Hilbert’s inequality； multi-parameters； generalization； β-function