唐 慧,楊秀良
(杭州師范大學(xué)理學(xué)院, 浙江 杭州 310036)
兩個全變換半群之間的同態(tài)I
唐慧,楊秀良
(杭州師范大學(xué)理學(xué)院, 浙江 杭州 310036)
摘要:設(shè)Tn是Xn={1,2,…,n}上的全變換半群.Tm是Xm={1,2,…,m}上的全變換半群,本文刻畫出當n>m時,Tn到Tm的所有同態(tài),且還得到Tm為Tn的同態(tài)像的條件.
關(guān)鍵詞:全變換半群;同態(tài);同余
收稿日期:2015-01-05
通信作者:楊秀良(1963—),男,教授,主要從事半群代數(shù)研究.E-mail:yxl@hznu.edu.cn
doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2015.05.014
中圖分類號:O152.7MSC2010: 43A22
文獻標志碼:A
文章編號:1674-232X(2015)05-0527-04
1引言和結(jié)論
設(shè)Tn是Xn上的全變換半群,它的許多性質(zhì)已經(jīng)被前人研究[1-5].特別的,在1998年Schein.B.M.和Teclezghi.B.[1]刻畫出了Tn的所有自同態(tài).在2012年黃麗麗和楊秀良在文[2]中刻畫出了Tn的奇異部分的自同態(tài).在2013年林雙和楊秀良在文[3]中刻畫出了全變換半群Tn和對稱逆半群ISn之間的同態(tài).接下來我們自然去研究兩個全變換半群Tn和Tm之間的同態(tài).在本文中我們將刻畫出當n>m時,Tn到Tm的所有同態(tài),且還得出Tm為Tn同態(tài)像的條件.
在本文中我們使用的映射為左映射.用Sn,An分別表示n次對稱群和n次交錯群.為完整敘述結(jié)果需引入如下三個映射.
(1)令ε為Tm中的一個冪等元.定義映射Φε:Tn→Tm為:對任意的α∈Tn,Φε(α)=ε.
(2)令ε,δ為Tm中兩個不同的冪等元,且滿足條件εδ=δε=δ.定義映射Ψε,δ:Tn→Tm如下:
我們的主要結(jié)果如下
定理1設(shè)n>m,且令φ是Tn到Tm的任一映射,則φ是同態(tài)當且僅當φ為如下形式之一:
(1)Φε,其中ε為Tm中的一個冪等元;
(2)Ψε,δ,其中ε,δ為Tm中兩個不同的冪等元,且滿足條件εδ=δε=δ;
推論1Tm為Tn的同態(tài)像,則m=n或者m=1.
2結(jié)論的證明
為敘述方便,令α∈Tn,記im(α)={α(x)|x∈Xn},rank(α)=|im(α)|,ker(α)={(x,y)∈Tn×Tn|α(x)=α(y)}.于是全變換半群Tn上的Green[4]關(guān)系如下:任取α,β∈Tn,有
(2)αβ當且僅當ker(α)=ker(β);
為證明我們的結(jié)論,需要引入如下4個引理.
令α,β∈Tn,且α,β有如下形式:
(1)
(1)若rank(α) (2)若rank(α)>k,則α≡Rβ當且僅當α=β; 引理2([4],Lemma7.4.2)n>1,Tn中不包含任何元素α使得對任意的π∈Sn滿足πα=α. 引理3令ε是Tn的一個冪等元.則 (i)Tn的包含ε的一個極大子群Gε為 Gε={α∈Tn|im(α)=im(ε),ker(α)=ker(ε)}. 證明(i)由前面提到的全變換半群上的Green關(guān)系的性質(zhì)直接得到. (ii)令冪等元 其中bi1,bi2,…,bik是b1,b2,…,bk的一個排列.定義映射 便知φ是一個雙射,且易驗證Φ保持運算,因此Φ為同構(gòu). 定理1的證明易證定理1中給出的三種類型的映射都為Tn到Tm的同態(tài),因此只需證明Tn到Tm的所有同態(tài)都具有定理1所給出的三種類型的映射的其中某種形式. 現(xiàn)令φ為Tn到Tm的任一個同態(tài),由于ker(φ)為Tn上的一個同余,于是據(jù)引理1,分兩種情況如下: 情況1ker(φ)是泛同余,則φ把Tn映到Tm中的某個冪等元,令這個冪等元為ε,從而φ為常量同態(tài),且φ為定理1中的形式(1); 綜上,當n≠4時,φ只具有定理1中的三種類型的映射的某種形式. 即Klien四元群.K4在S4中的6個陪集如下 φ(αβ)=φ(α)φ(β)=φ(α)ξ=ξ, 綜上,當n=4時,φ只具有定理1中的三種類型的映射的某種形式. 推論1的證明若φ為Tn到Tm的滿同態(tài),則n≥m,進而如果n=m,則取φ為Tn的自同構(gòu)即可.下面考慮1≤m≤n-1的情況,由定理1的證明知|Tm|≤3,而|T2|=4,則只能取m=1. 參考文獻: [1] Schein B M, Teclezghi B. Endomorphisms of finite full transformation semigroups [J]. Proceedings of the American Mathematical Society, 1998, 126(9):2579-2587. [2] 黃麗麗,楊秀良.全變換半群的奇異部分的自同態(tài)[J].杭州師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2012,11(3):249-253. [3] 林雙,楊秀良.全變換半群Tn與對稱逆半群ISn之間的同態(tài)[J].浙江大學(xué)學(xué)報:理學(xué)版,2013,40(2):123-126. [4] Ganyushkin O, Mazorchuk V. Introduction to Classical Finite Transformation Semigroups [M]. London: Springer Verlag,2009. [5] Howie J M. Fundamentals of semigroups theory[M]. Oxford: Oxford University Press,1995. Homomorphisms of Two Finite Full Transformation Semigroups I TANG Hui, YANG Xiuliang (College of Sciences, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China) Abstract:Let Tnbe the full transformation semigroup on a finite set Xn={1,2,n}. Let Tmbe the full transformation semigroup on a finite set Xm={1,2,m}. This paper describes all homomorphisms from Tnto Tmwhen n>m, and gets the conditions that Tmis the homomorphic image of Tn. Key words:full transformation semigroup; homomorphism; congruences 第14卷第5期2015年9月杭州師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)JournalofHangzhouNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Vol.14No.5Sep.2015