趙澤福

（昭通學(xué)院，云南 昭通 657000）

數(shù)學(xué)作為研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式與數(shù)量關(guān)系的一門科學(xué)，具有很強(qiáng)的邏輯性與抽象性.數(shù)學(xué)知識(shí)賦予了數(shù)學(xué)原型更為深刻的內(nèi)涵，現(xiàn)實(shí)生活中，我們可以找到很多的數(shù)學(xué)原型.在快速發(fā)展的社會(huì)經(jīng)濟(jì)時(shí)代，經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象越來越復(fù)雜，只靠經(jīng)驗(yàn)來認(rèn)識(shí)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，還需要更為科學(xué)的方法對經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象進(jìn)行分析.人們把高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)極值思維應(yīng)用到企業(yè)中，可對企業(yè)營銷中的市場需求、資金投入、最大收益及庫存管理等經(jīng)濟(jì)活動(dòng)進(jìn)行科學(xué)地分析，理清各項(xiàng)參數(shù)間的關(guān)系，根據(jù)已出現(xiàn)的情況進(jìn)行分析，以獲取相關(guān)信息，幫助企業(yè)營銷進(jìn)行最合理的安排.

2 函數(shù)極值的相關(guān)知識(shí)

2.1 函數(shù)極值概念

假設(shè)函數(shù)f(x)在x0某鄰域之內(nèi)有定義，對鄰域中的任一點(diǎn)x且x≠x0，有f(x)＜f(x0)，此時(shí)，稱f(x0)為函數(shù)f(x)中的一個(gè)極大值.若對該鄰域中的任一點(diǎn)x且x≠x0，有f(x)＞f(x0)，那么稱f(x0)為函數(shù)f(x)中一個(gè)極小值.其函數(shù)極小值與極大值可統(tǒng)稱之為函數(shù)極值，讓函數(shù)獲得極值點(diǎn)的x0可稱之為極值點(diǎn).

2.2 函數(shù)極值存在的條件

在函數(shù)極值運(yùn)算中，包含必要條件與充分條件.其中，必要條件為：如果函數(shù)f(x)在鄰域點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并且能取得極值，那么f'(x0)=0.充分條件為：假設(shè)函數(shù)f(x)在鄰域點(diǎn)x0處是連續(xù)的，其左右鄰近是可導(dǎo)的，那么具有下列兩種情況，如果在x0左側(cè)鄰近位置，f'(x0)＜0，而x0右側(cè)鄰近位置，f'(x0)＞0，那么x0可稱為函數(shù)的極小值點(diǎn)；如果在x0左側(cè)鄰近位置，f'(x0)＞0，而x0右側(cè)鄰近位置，f'(x0)＜0，那么x0可稱為函數(shù)的極大值點(diǎn).在實(shí)際問題當(dāng)中，如果已經(jīng)斷定函數(shù)f(x)的定義區(qū)間存在最大值或者最小值，并且f'(x0)=0的定義區(qū)間中，只存在一個(gè)根x0值，則能斷定在x0處，f(x)能獲得最大值或者最小值.通常在企業(yè)營銷中，涉及二元函數(shù)極值思維的問題較多，二元函數(shù)極值通常包含無條件極值與條件極值，其中，無條件極值所指的是二元函數(shù)當(dāng)中的兩變量是互相獨(dú)立的，也就是不受其他條件的約束，其極值可稱為無條件的極值，被簡稱為極值.而條件極值問題所指的是在二元函數(shù)f(x,y)當(dāng)中，自變量x、y間，滿足一定的條件，即函數(shù)ψ(x,y)=0，并且該函數(shù)稱為約束方程或者約束條件，所求極值是條件極值，兩變量間的線性規(guī)劃問題就是條件極值的問題.因此，運(yùn)用函數(shù)C=f(x,y)中的偏導(dǎo)數(shù)及其他方法，可求得函數(shù)極值，解決其最大值及最小值在營銷中的應(yīng)用問題.

2 函數(shù)極值思維在企業(yè)營銷中的應(yīng)用

2.1 市場需求中函數(shù)極值思維的應(yīng)用

通常市場對于企業(yè)商品需求，不僅會(huì)隨著價(jià)格變化而變化，還會(huì)隨著其他因素的變化而發(fā)生變動(dòng)，若將消費(fèi)者收入當(dāng)作主要的因素，將其他因素當(dāng)作固定因素，那么商品的需求量則會(huì)根據(jù)消費(fèi)者的收入變化而發(fā)生變動(dòng)，并呈現(xiàn)出一定的函數(shù)關(guān)系，人們把這種函數(shù)關(guān)系稱為恩格爾函數(shù).在企業(yè)營銷當(dāng)中，若某商品中的恩格爾函數(shù)呈現(xiàn)單調(diào)遞增的趨勢，那么此商品是正常商品；若該商品呈現(xiàn)單調(diào)遞減趨勢，那么該商品則是劣等商品.例如，設(shè)定市場中某商品A和人們收入x之間存在恩格爾函數(shù)關(guān)系，即A(x)=.那么在人們收入x減少時(shí)，產(chǎn)品市場需求有這樣的趨勢：A'(x)=，A'>0,得出產(chǎn)品的市場需求量隨著人們收入的減少而減少，這種產(chǎn)品就屬于正常商品；當(dāng)人們收入x=0時(shí)，產(chǎn)品的市場需求量為零，市場對產(chǎn)品的飽和需求量為5.再比如，某制鞋廠皮鞋的市場需求量B和當(dāng)?shù)厝藗兪杖離之間的恩格爾函數(shù)關(guān)系為B(x)=，那么B'(x)=,B"(x)=<0,B(0)=-6,B(3)=0,當(dāng)人們收入x=0時(shí)，人們不會(huì)購買這種鞋子；當(dāng)人們收入x>3時(shí)，會(huì)有對這種鞋子的需求.通過這樣的恩格爾函數(shù)與極值的分析，可以幫助企業(yè)了解到某種商品在市場需求中的飽和程度，從而調(diào)節(jié)產(chǎn)品的生產(chǎn)線與庫存，更好的促進(jìn)企業(yè)發(fā)展.

2.2 企業(yè)資金投入中的函數(shù)極值思維應(yīng)用

一些企業(yè)與投資商想通過高效率的資源運(yùn)作來獲得最大經(jīng)濟(jì)利潤，在這些企業(yè)與投資商投資之前，需要對將要實(shí)施的投資機(jī)遇進(jìn)行一些論證，這就需要有系統(tǒng)的體系對投資過程的各項(xiàng)參數(shù)進(jìn)行分析，以了解資金投入后可能取得的利益與付出的成本，然后再根據(jù)這些數(shù)據(jù)信息進(jìn)行投資，從而科學(xué)合理地做出投資決策，獲得較高的投資回報(bào)率.

2.3 最大收益問題中的函數(shù)極值思維應(yīng)用

2.3.1 進(jìn)貨量和最大收益間的關(guān)系

隨著我國經(jīng)濟(jì)不斷發(fā)展，企業(yè)的經(jīng)濟(jì)觀念不斷增強(qiáng)，加強(qiáng)成本核算，搞好生產(chǎn)經(jīng)營，并有效提高企業(yè)效益，已成為企業(yè)營銷當(dāng)中必須考慮的問題.在當(dāng)前企業(yè)經(jīng)營當(dāng)中，影響經(jīng)營參數(shù)的因素較多，有些因素對于營銷能否成功是至關(guān)重要的，例如，某商店的進(jìn)貨量問題，因商品存放需要費(fèi)用，若進(jìn)貨量多了，其成本就會(huì)增加，而利潤相應(yīng)減少，并且存在積壓現(xiàn)象.可進(jìn)貨量太少，則需要多次進(jìn)貨，其勞務(wù)費(fèi)就會(huì)增加，因此，尋找恰當(dāng)?shù)呐R界點(diǎn)，才能獲得最大的利潤.

例如：某商店經(jīng)營銷售某品牌的洗衣粉，其年銷售量是6千包，而每包進(jìn)價(jià)為2.8元，但銷售價(jià)為3.4元，若全年分成若干次進(jìn)貨，則每次進(jìn)貨為n包，每次進(jìn)貨的運(yùn)輸勞務(wù)費(fèi)是62.5元，而全年的報(bào)關(guān)費(fèi)用是1.5n元，將此商店?duì)I銷的洗衣粉利潤L表示成每次進(jìn)貨量n的函數(shù)，同時(shí)，指出了函數(shù)定義域，那么為了讓收益最大，其每次進(jìn)貨量為多少包？

解：假設(shè)每次洗衣粉進(jìn)貨為n包，其全年總收益則為L=6000×（3.4-2.8）-(375000/n+3n/2)=-3/2()2+2100，其函數(shù)定義域?yàn)閇0,6000]，并且n為6000約數(shù)，因此，要讓L值最大，也就是n=500時(shí)，Lmax=2100元，為了獲取最大收益2100元，其每次進(jìn)貨量應(yīng)該為5000包.

2.3.2 商品價(jià)格和最大收益間的關(guān)系

商品銷售當(dāng)中，商品的銷售量通常與價(jià)格是緊密聯(lián)系的，如果價(jià)格太高，盡管每件產(chǎn)品利潤較高，但其銷售量卻比較低；若商品價(jià)格定得過低，那么企業(yè)就無利可圖.在這兩者之間存在臨界點(diǎn)，臨界點(diǎn)價(jià)格，能讓企業(yè)獲取最大收益，怎樣找出此臨界點(diǎn)，需要運(yùn)用函數(shù)極值思維的方法進(jìn)行分析處理，對前期銷售的信息進(jìn)行分析，獲取最佳的銷售價(jià)格.收益通常所指的是生產(chǎn)者所出售的商品收入，而總收益則是指一定量的產(chǎn)品出售之后，獲得的全部收入，其總收益可記為Y，總收益Y是銷售數(shù)量x與銷售價(jià)格n的乘積，以營銷量x作為自變量，Y為因變量，那么Y和x間的關(guān)系式為Y=Y(x)=n.x為總收益的函數(shù)，因銷售量越大，其收入就會(huì)越多，因此，最大收益所指的是總收益的函數(shù)Y=Y(x)=n.所求問題為當(dāng)x值是多少的時(shí)候，Y值是最大的.

例如：某商場所批發(fā)的某商品進(jìn)價(jià)是80元/個(gè)，零售價(jià)是100元/個(gè).為了更好地促進(jìn)銷售，嘗試采取買此商品就贈(zèng)送小禮品的方法，一個(gè)商品就贈(zèng)送一個(gè)禮品，通過試驗(yàn)可知，此禮品的價(jià)格是1元時(shí)，其銷售量能增加10%，而且在一定的范圍中，禮品的價(jià)格若每增加1元，其銷售量就能增加10%，假設(shè)沒有贈(zèng)送禮品的時(shí)候，其銷售量是x件.求禮品價(jià)值是m元時(shí)，其所獲收益Y與m之間的函數(shù)式，并求出禮品價(jià)值為多少時(shí)，其獲得的收益最大.

解：所獲收益Y與m之間的函數(shù)式為：Y=x(10%+1)m(20-m).若收益最大，則需要同時(shí)滿足下列關(guān)系式：x·1.1m(20-m)≥x·1.1m+1(20-m-1)，x·1.1m(20-m)≥x·1.1m-1(20-m+1)；通過解兩方程式可知，當(dāng)x=9或者x=10的時(shí)候，其Y值最大，因這是實(shí)際的應(yīng)用問題，因此，其禮品價(jià)值是9元時(shí)，可獲取最大收益.

2.4 庫存管理中函數(shù)極值思維的應(yīng)用

通常企業(yè)為了能完成一定生產(chǎn)任務(wù)，確保生產(chǎn)的正常進(jìn)行，需要準(zhǔn)備一定的材料.當(dāng)總需求量不變的情況下，其訂購的次數(shù)越少，批量越大，訂購的費(fèi)用就會(huì)越小，但保管費(fèi)用就會(huì)相應(yīng)的增加.總需求量不變，訂購的費(fèi)用越大，其報(bào)關(guān)費(fèi)用就會(huì)越小.如何確定訂購的批量，才能讓總費(fèi)用變得最少，這已成為庫存管理中值得商榷的問題.通過對整批間隔的進(jìn)貨狀況進(jìn)行研究，也就是某物質(zhì)庫存量下降至零時(shí)，那其訂購、庫存量與到貨等就會(huì)由零逐漸恢復(fù)至最高的庫存量，同時(shí)每天確保等量供應(yīng)的生產(chǎn)需求，可保證不出現(xiàn)缺貨現(xiàn)象.

例如：某企業(yè)為汽車裝配廠，其輪胎每年需用量是2.4萬個(gè)，單個(gè)輪胎價(jià)格是400元，而平均每次的訂貨費(fèi)用之和是640元，每年的保管費(fèi)用率是12%，求最優(yōu)的訂購批量與訂購次數(shù)，并求出最優(yōu)的訂購周期與最小的總費(fèi)用.

解：假設(shè)訂購批量是Y，訂購的次數(shù)是x，訂購的周期是N，總費(fèi)用是M.那么全年總共的訂購次數(shù)是24000/Y，其訂購的費(fèi)用是24000×640/Y，而全年的平均庫存量是1/2Y，保管費(fèi)用是400×1/2×12%Y=24Y，而總費(fèi)用M=24000×640/Y+24Y，總費(fèi)用M與訂購批量Y之間存在函數(shù)關(guān)系，要讓總費(fèi)用最省，可令dM/dY=0，也就是-24000×640/Y2+24=0，因此，最優(yōu)的訂購批量Y=800個(gè)/批，其最優(yōu)的訂購次數(shù)：x=2.4萬/800=30批；而最優(yōu)的進(jìn)貨周期：N=360/30=12d；所以，最小的費(fèi)用M=24000×640/800+24×800=3.84萬元.

5.生產(chǎn)成本及利潤關(guān)系中的函數(shù)極值思維應(yīng)用

在實(shí)際的生產(chǎn)當(dāng)中，會(huì)遇到此類問題，當(dāng)生產(chǎn)條件一定的情況下，怎樣生產(chǎn)才能讓成本最低，企業(yè)獲取的利潤最大，這也需要用到函數(shù)極值方法.

例：某企業(yè)在生產(chǎn)某產(chǎn)品時(shí)，其固定成本是5千元，每生產(chǎn)百臺(tái)產(chǎn)品所直接消耗的成本會(huì)加大2.5千元，如果市場對此產(chǎn)品年需求量是500臺(tái)，那么銷售收入函數(shù)是Q(n)=5n-1/2n2，且0＜n＜5，n為產(chǎn)品售出數(shù)量，那么Q(n)是收入，將利潤L表示成年產(chǎn)量函數(shù)，那么年產(chǎn)量是多少的時(shí)候，企業(yè)獲得的利潤是最大的？

解：利潤L為生產(chǎn)數(shù)量n售出后的總收入Q(n)和總成本M(n)間的差.它們需要同時(shí)滿足下列兩個(gè)方程式：L=5n-(1/2+1/4n)-1/2n2，且0≤n≤5；L=(5×5-52×1/2)-(1/4n+1/2)，且n＞5.通過解方程式可知，n=b/2a=475臺(tái)時(shí)，Lmax=10.78萬元.因此，當(dāng)企業(yè)生產(chǎn)475臺(tái)的時(shí)候，能夠獲取的利潤是最大的.

3 結(jié)語

在社會(huì)經(jīng)濟(jì)生活當(dāng)中，函數(shù)極值思維應(yīng)用非常廣泛，尤其是在企業(yè)營銷當(dāng)中，函數(shù)極值思維對于資本投資與最大收益獲取等方面具有重要影響作用.通過合理運(yùn)用函數(shù)極值思維，可有效解決企業(yè)資金投入、商品價(jià)格和最大收益、庫存管理及生產(chǎn)成本和利潤之間的關(guān)系等問題，更合理的利用投資數(shù)據(jù)，從而促使企業(yè)獲得良好的投資回報(bào)，做出準(zhǔn)確的投資決策，提高企業(yè)的市場競爭能力.

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