李生好，伍小兵，黃崇富，范奇恒

(重慶工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院，重慶400037)

1 引 言

近年來，保真度作為來自于量子信息與量子計算領(lǐng)域的基本概念，不但可以來刻畫量子系統(tǒng)的量子相變，而且還可以來描述量子系統(tǒng)的任何內(nèi)部序引起的任何類型的相變，這說明保真度開創(chuàng)了凝聚態(tài)物理學(xué)、量子信息與量子計算理論之間的一個重要的視角［1］. 量子相變包含著豐富的物理信息，怎樣抓住量子相變中最關(guān)鍵的物理信息是凝聚態(tài)物理研究領(lǐng)域的重點和難點，而保真度與序參量恰恰則提供了一個非常簡潔的度量手段，來解決這個問題.

在數(shù)值模擬領(lǐng)域，近年來張量網(wǎng)絡(luò)算法取得了巨大的進(jìn)展. 所謂張量網(wǎng)絡(luò)算法，是指一系列張量乘積態(tài)表示的算法的統(tǒng)稱，包括一維的矩陣乘積態(tài)(iMPS)算法［2］，二維的糾纏投影對態(tài)(iPEPS)算法［3，4］，任意維的多尺度糾纏重整化(MERA)算 法［5，6］，Graded PEPS (gPEPS)算法［7，8］，以及準(zhǔn)一維——自旋梯子量子系統(tǒng)的算法［9］等. 通過將張量網(wǎng)絡(luò)算法與保真度相結(jié)合，能夠研究量子多體系統(tǒng)的量子相變和量子臨界現(xiàn)象.

最近，人們對于量子q 態(tài)Potts 模型比較感興趣［10，11］，其中q =2 時，即為著名的Ising 模型.對于一維量子q 態(tài)Potts 模型來說，當(dāng)q =2 與3時，該模型系統(tǒng)發(fā)生二級相變［12］;當(dāng)q ＞3 時發(fā)生一級相變. 而對于二維量子q 態(tài)Potts 模型來說，當(dāng)q=2 時，毫無疑問，此時即為Ising 模型，系統(tǒng)發(fā)生二級相變;那么當(dāng)q=3 時，即3 態(tài)Potts模型會發(fā)生一級相變或二級相變?下面，基于iPEPS 張量網(wǎng)絡(luò)算法，從基態(tài)保真度、約化保真度、普適序參量和局域序參量的角度，對二維量子3 態(tài)Potts 模型展開研究，該模型在對稱破缺相中存在三個簡并的基態(tài).

2 理論模型和數(shù)值算法

現(xiàn)在考慮無限外加磁場二維正方格子量子3態(tài)Potts 模型的哈密頓量:

在無限大的二維正方格子平面上， ＜i，j ＞表示所有的最近鄰對;i (j)是表示第i (j)個格點;Mi

3 數(shù)值模擬結(jié)果

3.1 基態(tài)保真度

基態(tài)保真度是來自于量子信息與量子計算領(lǐng)域的一個基本概念，它能夠很好地描述任何一個量子多體關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的量子相變，而與這個系統(tǒng)的內(nèi)部序是傳統(tǒng)的對稱破缺序還是新穎的拓?fù)湫颍?3］無關(guān). 在量子信息與量子計算理論中，任何兩種態(tài)的重疊表示一種態(tài)向另一種態(tài)的變化［14，15］，可以用保真度描述這兩種態(tài)的相似程度［16，17］.

對于以外加磁場為控制參量的二維正方格子量子3 態(tài)Potts 模型，運(yùn)用iPEPS 算法來進(jìn)行數(shù)值模擬，能夠得到量子系統(tǒng)的基態(tài)波函數(shù). 對于系統(tǒng)的兩個不同的控制參量λ1 和λ2，分別對應(yīng)的基態(tài)波函數(shù)為| Ψ(λ1)＞和| Ψ(λ2)＞，定義這兩個基態(tài)波函數(shù)的系統(tǒng)基態(tài)保真度為F(λ1，λ2)= | ＜Ψ(λ2)| | Ψ(λ1)＞| . 當(dāng)二維量子系統(tǒng)為有限的N 個格點時，那么平均單點基態(tài)保真度d(λ1，λ2)與系統(tǒng)基態(tài)保真度F(λ1，λ2)的關(guān)系為d(λ1，λ2)= F(λ1，λ2)1/N，也就可以得到Ind(λ1，λ2)=InF(λ1，λ2)/N.

運(yùn)用iPEPS 算法，數(shù)值模擬無限二維量子3態(tài)Potts 模型時，只需每次任意選取初態(tài)就能得到三種不同對稱性的基態(tài)波函數(shù)，就能有效地計算基態(tài)保真度，也由此可以得到基態(tài)保真度在二維平面上的分叉. 如果選擇在Z3群對稱區(qū)的外加磁場λ2 的波函數(shù)| Ψ(λ2)＞作為參考態(tài)，此時單點基態(tài)保真度d(λ1，λ2)是不能區(qū)分在Z3對稱性破缺區(qū)的外加磁場λ1 的三個簡并基態(tài)的. 如果選擇在Z3群對稱破缺區(qū)的外加磁場λ2 的波函數(shù)| Ψ(λ2)＞作為參考態(tài)，此時單點基態(tài)保真度d(λ1，λ2)就能區(qū)分在Z3對稱性破缺區(qū)的外加磁場λ1 的三個簡并基態(tài)的，其中分叉的上支是一個簡并基態(tài)，分叉的下支是兩個簡并基態(tài)的重合.圖1 畫出外加磁場的二維量子3 態(tài)Potts 模型的單點基態(tài)保真度d(λ1，λ2)的分叉. 這里選擇在Z3群對稱破缺區(qū)的外加磁場λ2 =2.1 時的基態(tài)波函數(shù)| Ψ(λ2)＞作為參考態(tài)，單點基態(tài)保真度d(λ1，λ2)通過分叉，是可以區(qū)分三個簡并基態(tài)的，分叉點就是相變點［18］λc≈2.61，在分叉點處基態(tài)保真度不連續(xù)，因而這是一個一級相變點.

這里，系統(tǒng)相變點λc以分叉點［19］的形式表現(xiàn)出來的. 單點基態(tài)保真度分叉使人們探測系統(tǒng)的相變點時，不需要對系統(tǒng)的控制參量進(jìn)行求微分那樣復(fù)雜，其優(yōu)勢在于是普適的，是與模型無關(guān)的，因而更具有實際意義.

圖1 二維量子3 態(tài)Potts 模型單點基態(tài)保真度Fig.1 The ground -state fidelity per lattice site for quantum 3 - state Potts model in two spatial dimensions

3.2 約化保真度

這里分別計算了無限外加磁場二維正方格子3 態(tài)Potts 模型的單點和兩點約化保真度. 圖2 中選取了破缺Z3群對稱的λ2=2.1 處的ρλ2作為參考態(tài)，畫出了無限外加磁場二維正方格子3 態(tài)Potts 模型的單點(紅色三角形表示)與兩點(藍(lán)色空心圓表示)約化保真度F(ρλ1，ρλ2). 很容易看出，單點與兩點約化保真度能夠從三個簡并基態(tài)波函數(shù)中，區(qū)分任意兩個約化密度矩陣所描述的混合態(tài)，其中分叉的上支是一個簡并基態(tài)，分叉的下支是兩個簡并基態(tài)的重合. 單點與兩點約化保真度中的分叉點是一致的，而分叉點就是相變點λc≈2.61. 當(dāng)控制參量外加磁場λ1逐漸增大越過相變點λc時，基態(tài)簡并情況會突然變化，從而表現(xiàn)出系統(tǒng)正經(jīng)歷著一個量子相變. 也很容易得到，分叉點就是相變點，并且在分叉點處約化保真度不連續(xù)，說明這是一個一級相變點.

圖2 二維量子3 態(tài)Potts 模型的單點和兩點約化保真度的分叉Fig.2 The ground - state one - and two - site reduced fidelity for quantum 3 -state Potts model in two spatial dimensions

3.3 普適序參量

對于一個有著對稱群Z3的外加磁場的二維正方格子量子3 態(tài)Potts 系統(tǒng)，在經(jīng)歷一個一級量子相變點中有一個普適序參量［21］. 所謂普適序參量，是一個基態(tài)波函數(shù)| Ψ ＞與這個基態(tài)波函數(shù)的對稱變換g | Ψ ＞之間的距離的某種單點保真度. 普適序參量對于二級相變是連續(xù)的，而對于一級相變是不連續(xù)的和跳躍的. 考慮在二維正方格子量子3 態(tài)Potts 模型系統(tǒng)的任何一個基態(tài)波函數(shù)| Ψ ＞，對于對稱算符z3群中的非零對稱算符g∈{I，ω，ω2}，其中w = exp (i2π/3)，對于這個基態(tài)波函數(shù)| Ψ ＞的對稱變換g | Ψ ＞，有單點保真度fg(λ) | 〈Ψ| g| Ψ〉.

圖3 畫出的是外加磁場λ 為控制參量的無限二維正方格子量子3 態(tài)Potts 模型的的普適序參量Ig(λ). 隨著外加磁場λ 的增大，在λc處，普適序參量Ig(λ)從非零的變?yōu)榱悖貏e是外加磁場λ 變化跨過相變點λc≈2.61 時，普適序參量Ig(λ)是不連續(xù)的，顯示出系統(tǒng)在相變點處經(jīng)歷了一個一級量子相變.

圖3 二維量子3 態(tài)Potts 模型的普適序參量Fig.3 The universal order parameter for quantum 3 -state Potts model in two spatial dimensions

3.4 局域序參量

局域序參量可以用來區(qū)分系統(tǒng)的兩個基態(tài)波函數(shù)的狀態(tài). 一般來說，當(dāng)系統(tǒng)經(jīng)歷量子相變時，其沒有發(fā)生對稱性自發(fā)破缺的這一相的局域序參量一般為零;而發(fā)生了對稱性自發(fā)破缺的這一相的局域序參量一般不為零. 對于不同的系統(tǒng)，局域序參量的結(jié)構(gòu)和含義會有所不同，局域序參量既可以是標(biāo)量或矢量，也可以是實數(shù)或復(fù)數(shù)，局域序參量還可能是多分量的. 這里，對于二維Potts 模型就具有多分量的復(fù)數(shù)局域序參量.

系統(tǒng)基態(tài)波函數(shù)的PEPS 張量網(wǎng)絡(luò)表示可以有效提取某一個局域序參量. 一旦確定了系統(tǒng)的相變點λc，根據(jù)不同區(qū)域的λ ＞λc與λ ＜λc的兩個基態(tài)波函數(shù)，就可以分別得到兩個不同的單點約化密度矩陣ρ. 可以看到，3 態(tài)Potts 模型在λ＞λc與λ ＜λc的這兩個區(qū)域中的單點約化密度矩陣ρ 展現(xiàn)出不同的非零項的結(jié)構(gòu). 在外加磁場λ＞λc的區(qū)域，自發(fā)磁化強(qiáng)度＜＞或＜＞為零;而在外加磁場λ ＜λc的區(qū)域，自發(fā)磁化強(qiáng)度＜＞或＜＞不為零，此時， ＜＞ =＜＞，但＜＞或＜＞可能為復(fù)數(shù). 這意味著外加磁場二維量子3 態(tài)Potts 模型存在著一個局域序參量Sx= ＜＞或Sx= ＜＞，來刻畫在外加磁場變化下量子3 態(tài)Potts 模型有著一級相變. 對于二維量子3 態(tài)Potts 模型，在運(yùn)用iPEPS 算法進(jìn)行數(shù)值模擬時，只需選取任意初態(tài)就很容易得到三個簡并的基態(tài)，從而可以得到自發(fā)磁化強(qiáng)度 (局域序參量)Sx有 | Sx| ，ω| Sx| 與| Sx| 的三個取值，其中ω = exp(i2π/3)，即系統(tǒng)局域序參量有3 個，其中2 個為復(fù)數(shù). 對于外加磁場λ 小于相變點，自發(fā)磁化是一個非零值，一旦外加磁場λ 大于相變點λc，自發(fā)磁化將跳躍為零. 在圖4 中，畫出了不同外加磁場λ 下三個簡并基態(tài)的自發(fā)磁化強(qiáng)度(局域序參量)的實部Re (Sx)與虛部Im (Sx)的三維圖，都說明了在相變點λc≈2.61 處均會發(fā)生一個不連續(xù)的跳躍，這里是一個一級相變點.

圖4 二維量子3 態(tài)Potts 模型的自發(fā)磁化強(qiáng)度(局域序參量)的實部與虛部Fig.4 The real and imaginary part of the magnetization for quantum 3 -state Potts model in two spatial dimensions

4 結(jié) 論

本文主要基于二維量子系統(tǒng)的iPEPS［3，4］算法，從單點基態(tài)保真度、約化保真度、普適序參量和局域序參量的角度，來研究二維正方格子量子3 態(tài)Potts 模型的量子相變和量子臨界現(xiàn)象，均得出系統(tǒng)發(fā)生一級相變，而對于二維量子2 態(tài)Potts 模型，也就是Ising 模型來說，系統(tǒng)發(fā)生二級相變. 也提供了一個思路，基于包含iPEPS 算法在內(nèi)的張量網(wǎng)絡(luò)算法，從單點基態(tài)保真度、約化保真度、普適序參量和局域序參量方面，可能運(yùn)用在不同維數(shù)的量子多體系統(tǒng)，來探測系統(tǒng)任何類型的量子相變.在研究過程中，發(fā)現(xiàn)算法的精度和效率還有待繼續(xù)提高，例如使用二維量子系統(tǒng)的iPEPS 算法對二維量子q 態(tài)Potts 模型進(jìn)行數(shù)值模擬，當(dāng)q＞3 時，普通臺式計算機(jī)將無法進(jìn)行計算模擬或模擬速度非常緩慢. 還有算法模擬的有限截斷維數(shù)也受限于目前計算機(jī)的能力. 下一步從系統(tǒng)的量子相變和量子臨界現(xiàn)象的理解入手，需要進(jìn)一步優(yōu)化和發(fā)展包括iPEPS 在內(nèi)的張量網(wǎng)絡(luò)算法，來提高計算機(jī)模擬的精度和效率.

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