米根鎖，梁 利，楊潤(rùn)霞

（蘭州交通大學(xué)自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，甘肅 蘭州730070）

1 引言

公交客流量是公交系統(tǒng)規(guī)劃和發(fā)展的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，由于公交客流量影響因素的隨機(jī)性、不確定性和復(fù)雜性，因此一些傳統(tǒng)的預(yù)測(cè)法預(yù)測(cè)的客流量與實(shí)際客流量之間存在較大的偏差［1～3］?；疑碚撨m合于不確定、隨機(jī)因素影響領(lǐng)域的預(yù)測(cè)，并在這些預(yù)測(cè)領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用［4］。公交客流量的預(yù)測(cè)可看作是個(gè)灰色系統(tǒng)，將灰色理論引入到公交客流量預(yù)測(cè)領(lǐng)域中，運(yùn)用灰色預(yù)測(cè)法來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)的公交客流量［5］。但是，傳統(tǒng)灰色預(yù)測(cè)法在求解模型參數(shù)時(shí)采用最小二乘法，最終建立的模型求得的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值擬合度較差，預(yù)測(cè)結(jié)果誤差較大，預(yù)測(cè)的精度不高［6］。針對(duì)以上問(wèn)題，本文在傳統(tǒng)灰色預(yù)測(cè)法的基礎(chǔ)上，引入變異粒子群算法對(duì)灰色預(yù)測(cè)模型中的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，以提高其預(yù)測(cè)精度，使其能對(duì)公交客流量進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。并選取1987年～1991年及1994年～2003年銅州市公交客流量的實(shí)際數(shù)據(jù)，對(duì)灰色變異粒子群組合預(yù)測(cè)模型的精度和可行性進(jìn)行分析，仿真結(jié)果得出該組合預(yù)測(cè)模型優(yōu)于傳統(tǒng)的（單變量一階灰色預(yù)測(cè)模型）GM（1，1）及其他幾種常用預(yù)測(cè)算法。用此組合預(yù)測(cè)模型來(lái)預(yù)測(cè)公交客流量，能準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)出未來(lái)公交客流量的大小，為公交系統(tǒng)的規(guī)劃與建設(shè)提供準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)，有利于城市公交的快速發(fā)展。

2 傳統(tǒng)的灰色GM（1，1）模型

灰色系統(tǒng)采用將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行直接累加或者移動(dòng)平均加權(quán)累加的方法，生成具有一定規(guī)律的新數(shù)列，且利用特定的曲線逼近其相應(yīng)曲線，以逼近的曲線作為模型，對(duì)待預(yù)測(cè)系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測(cè)。該方法的優(yōu)點(diǎn)是預(yù)測(cè)時(shí)需要的原始數(shù)據(jù)較少，數(shù)據(jù)分布可以隨機(jī)，僅需原始時(shí)間數(shù)據(jù)序列即可［7］。

目前，在灰色系統(tǒng)理論中應(yīng)用最為普遍的一種預(yù)測(cè)模型是GM（1，1），其不受一般統(tǒng)計(jì)模型對(duì)原始數(shù)據(jù)各種要求的約束限制，且考慮影響因素較少，具有較強(qiáng)的有效性和實(shí)用性。在建立GM（1，1）模型時(shí)，首先要對(duì)原始數(shù)據(jù)數(shù)列進(jìn)行處理，構(gòu)造出規(guī)律性較強(qiáng)的新數(shù)列，即對(duì)原始數(shù)列進(jìn)行一次累加，生成新的數(shù)列。其建模過(guò)程如下：

原始數(shù)據(jù)數(shù)列X（0）：

對(duì)式（1）進(jìn)行一次累加生成新數(shù)列X（1）：

由于累加生成的式（2）新數(shù)列能將任意非負(fù)數(shù)列轉(zhuǎn)化為非減的遞增數(shù)列，因此使該數(shù)列減弱了隨機(jī)性，加強(qiáng)了規(guī)律性。

對(duì)式（2）中的X（1）建立其白化方程為：

式（3）是含一個(gè)變量的一階微分方程，記為GM（1，1）。記參數(shù)數(shù)列運(yùn)用最小二乘法求解參數(shù)：

式（4）中矩陣B為：

求得微分方程（3）的響應(yīng)方程為：

3 變異粒子群算法

1995年Kennedy 和Ebehart提出了粒子群PSO（Particle Swarm Optimization）算法，PSO 算法最初的思想源于對(duì)鳥(niǎo)群的群體捕食行為的研究。在群體中，各個(gè)個(gè)體通過(guò)信息共享和交流搜索出食物所在的位置，即待優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解。在該算法中，每個(gè)個(gè)體就是待優(yōu)化問(wèn)題的一個(gè)隨機(jī)解，即被稱(chēng)之為“粒子”。每個(gè)粒子具有各自一個(gè)適應(yīng)值，該適應(yīng)值由待優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)決定，每個(gè)粒子還具有各自的飛行速度和方向。PSO 算法開(kāi)始先隨機(jī)初始化一群粒子（隨機(jī)解）及其速度，然后每個(gè)粒子根據(jù)一定的公式更新自己的位置和速度，迭代直到滿足終止條件為止。每一次迭代過(guò)程中，每個(gè)粒子依據(jù)個(gè)體極值Pi和全局極值Pg來(lái)更新自身的飛行方向（位置）和速度，最終找到全局位置最優(yōu)的那個(gè)粒子（最優(yōu)解），即優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解。每個(gè)粒子更新自己的速度和位置的公式如下：

其中，Vi（t）是粒子i在第t次迭代的速度；Xi（t）是粒子i第t次迭代的位置；rand（）是隨機(jī)數(shù)，取值為（0，1）之間的數(shù)；C1、C2是學(xué)習(xí)因子，一般在（0，2）間取值；W是慣性因子。粒子群算法雖然有很好的魯棒性，但容易陷入局部最優(yōu)。為了克服該算法的缺點(diǎn)，文獻(xiàn)［8］對(duì)該算法進(jìn)行改進(jìn)，避免陷入局部最優(yōu)，使得在優(yōu)化中達(dá)到全局最優(yōu)。本文基于此文獻(xiàn)改進(jìn)PSO 算法，加入變異算子的思想，在粒子群算法中加入變異因子，即在粒子陷入局部最優(yōu)時(shí)，按照一定的擾動(dòng)方式對(duì)部分最優(yōu)解重新初始化，避免了陷入局部最優(yōu)，在全局中搜索出最優(yōu)解。首先判斷粒子的群體適應(yīng)度方差σ2，當(dāng)σ2等于或低于設(shè)定閾值時(shí)，粒子群有可能陷入局部最優(yōu)，粒子找到的解有可能是局部最優(yōu)解［8］，同時(shí)根據(jù)式（10）判定需初始化的粒子數(shù)目是否大于或等于2/n，對(duì)個(gè)體極值遠(yuǎn)離全局極值的粒子重新初始化，跳出在局部范圍搜索，其初始化判斷公式如下：

其中，gbest為當(dāng)前粒子群群體最優(yōu)解；gi為個(gè)體粒子i最優(yōu)解；gmin為非擾動(dòng)下限值；gmax為非擾動(dòng)上限值。若gmin≤p≤gmax則粒子群不初始化，否則初始化。為了表述本文加入變異算子的性能優(yōu)于文獻(xiàn)［8］，以三個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)為測(cè)試對(duì)象，對(duì)本文加入變異因子使粒子群算法跳出局部最優(yōu)的變異算法與帶變異算子的自適應(yīng)粒子群優(yōu)化算法（PSOH）的收斂性能進(jìn)行比較。

求解f1（x）＝x2＋2的最小值，在測(cè)試中學(xué)習(xí)因子采用非對(duì)稱(chēng)形式（提高收斂速度），C1＝0.4，C2＝0.9；慣性權(quán)重為Wmin＝0.2，Wmax＝0.8；種群數(shù)n＝50；最大迭代次數(shù)nmax＝30。兩種算法的性能仿真結(jié)果如圖1所示。

Figure 1 Function f1（x）optimization evolutionary curves圖1 函數(shù)f1（x）尋優(yōu)進(jìn)化曲線

測(cè)試結(jié)果表明，PSO－H 算法在第17次達(dá)到最優(yōu)值2，而本文加入變異因子后，在第12次達(dá)到最優(yōu)解，該算法的性能明顯優(yōu)于PSO－H 算法，避免了PSO 陷入局部收斂，具有良好的性能，同時(shí)也說(shuō)明了加入變異算子改進(jìn)粒子群算法的可行性和優(yōu)越性。

求解f2（x）＝10cos（2πx）＋10的最小值，測(cè)試中C1＝0.4，C2＝0.9；慣性權(quán)重為Wmin＝0.2，Wmax＝0.8；種群數(shù)n＝30；最大迭代次數(shù)nmax＝50。兩種算法的性能仿真結(jié)果如圖2所示。

Figure 2 Function f2（x）optimization evolutionary curves圖2 函數(shù)f2（x）尋優(yōu)進(jìn)化曲線圖

測(cè)試結(jié)果表明，PSO－H 算法在第31次達(dá)到最優(yōu)值0，而本文加入變異因子后，在第16次達(dá)到最優(yōu)解。

求解f3（x）＝5sin（2πx）＋2的最小值，測(cè)試中C1＝0.4，C2＝0.9；慣性權(quán)重為Wmin＝0.2，Wmax＝0.8；種群數(shù)n＝30；最大迭代次數(shù)nmax＝50。兩種算法的性能仿真結(jié)果如圖3所示。

Figure 3 Function f3（x）optimization evolutionary curves圖3 函數(shù)f3（x）尋優(yōu)進(jìn)化曲線圖

通過(guò)圖1～圖3可知，該算法的性能明顯優(yōu)于PSO－H 算法，避免了PSO 陷入局部收斂，具有良好的性能，同時(shí)也說(shuō)明了加入變異算子改進(jìn)粒子群算法的可行性和優(yōu)越性。

4 灰色變異粒子群組合模型的建立

4.1 灰色GM（1，1）模型局限性分析

文獻(xiàn)［6］研究表明，GM（1，1）模型運(yùn)用最小二乘法求解參數(shù)時(shí)，由于式（3）將作為已知條件，因此，所求解的參數(shù)存在較大的系統(tǒng)誤差，無(wú)法滿足擬合條件，求得的預(yù)測(cè)方程不一定是最優(yōu)的預(yù)測(cè)方程，結(jié)果會(huì)影響預(yù)測(cè)的精度，所建立的預(yù)測(cè)模型的精度方差比C及小誤差概率P較差，精度評(píng)價(jià)表如表1所示［9］。由于粒子群算法可以用于參數(shù)優(yōu)化研究中［10］，因此，本文運(yùn)用變異粒子群算法優(yōu)化此模型的參數(shù)a、u，在可行解范圍內(nèi)尋求最優(yōu)參數(shù)解，以最優(yōu)參數(shù)來(lái)建立預(yù)測(cè)模型，提高灰色GM（1，1）的預(yù)測(cè)精度，能準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)未來(lái)公交客流量。

Table 1 Model precision表1 模型精度表

4.2 灰色變異粒子群組合模型建立

由表1 可知，方差比C越小，預(yù)測(cè)的精度越高，本文以方差比為目標(biāo)函數(shù)，在a、u的可行解范圍內(nèi)尋求滿足目標(biāo)函數(shù)最小的最優(yōu)參數(shù)a、u的值，建立精度較高的預(yù)測(cè)模型。

方差比：

其中，S1為原始數(shù)據(jù)的均方差，S2為殘差的均方差。

建立組合預(yù)測(cè)模型的步驟如下：

（1）讀取原始數(shù)據(jù)序列。

（2）t＝1時(shí)，初始化粒子群。隨機(jī)初始化粒子的位置x和速度v；設(shè)定粒子的數(shù)目n；設(shè)定其它參數(shù)值。每個(gè)粒子都是一個(gè)二維向量，分別代表參數(shù)a和u。

（3）設(shè)定非擾動(dòng)下限值gmin及非擾動(dòng)上限值gmax；設(shè)定適應(yīng)度方差閾值。

（4）隨機(jī)初始化全局最優(yōu)解gbest及其局部最優(yōu)gi。

（5）根據(jù)式（9）每個(gè)粒子更新自己的速度和位置，并不斷更新全局最優(yōu)粒子。

（6）求解適應(yīng)度函數(shù)值。每個(gè)粒子依據(jù)式（11）計(jì)算自身的適應(yīng)值。適應(yīng)值是評(píng)價(jià)粒子位置優(yōu)劣的依據(jù)。

（7）每個(gè)粒子更新自己搜索的個(gè)體最優(yōu)值和群體最優(yōu)值。

（8）計(jì)算適應(yīng)度方差值σ2。如果σ2等于零或者低于閾值，則算法可能陷入局部最優(yōu)，且根據(jù)式（10）判斷遠(yuǎn)離全局極值的粒子數(shù)目是否大于或等于2/n，若是則轉(zhuǎn)至步驟（10），否則轉(zhuǎn)至步驟（9）。

（9）判斷是不是達(dá)到最大迭代次數(shù)，若是，則輸出最優(yōu)參數(shù)a、u，否則跳至步驟（5）。

（10）根據(jù)式（10），對(duì)部分粒子進(jìn)行擾動(dòng)變異即重新初始化，轉(zhuǎn)至步驟（6）。

（11）根據(jù)步驟（9）求解的最優(yōu)參數(shù)a和u，建立預(yù)測(cè)模型，計(jì)算出預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)。

5 實(shí)例分析

原始數(shù)據(jù)數(shù)列的選取為1994 年～2003 年銅州市公交客流量的歷史客流量數(shù)據(jù)（1991年、1992年、1993年 歷 史 客 流 分 別 為2 194 萬(wàn) 次、2 130 萬(wàn)次、1 918萬(wàn)次）。在MATLAB R2007b環(huán)境下實(shí)現(xiàn)了傳統(tǒng)單一GM（1，1）灰色預(yù)測(cè)模型和灰色變異粒子群組合預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)公交客流量的仿真。在實(shí)驗(yàn)中學(xué)習(xí)因子C1＝0.4，C2＝0.9；慣性權(quán)重為Wmin＝0.2，Wmax＝0.8；種群數(shù)n＝50；最大迭代次數(shù)nmax＝50。兩種算法的性能仿真結(jié)果如表2所示。

Table 2 Simulation results表2 仿真結(jié)果表

從仿真結(jié)果可以看出，組合模型的預(yù)測(cè)相對(duì)誤差低于GM（1，1）預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差，該組合模型預(yù)測(cè)出的客流量更接近實(shí)際客流量值，誤差相對(duì)較小。因此，將灰色預(yù)測(cè)法與變異粒子群算法相結(jié)合，建立一種組合預(yù)測(cè)模型能很好地預(yù)測(cè)公交客流量，預(yù)測(cè)誤差明顯低于單一GM（1，1）預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)誤差。兩種預(yù)測(cè)模型的C、P精度比較及平均誤差如表3所示。

由表3可知，以方差比為目標(biāo)函數(shù)，運(yùn)用變異粒子群算法搜索最優(yōu)的參數(shù)a、u，建立的預(yù)測(cè)模型平均誤差小于單一傳統(tǒng)的GM（1，1）預(yù)測(cè)模型的平均誤差。兩種模型求解預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的擬合趨勢(shì)如圖4所示。

Table 3 Comparison of Precision表3 精度比較表 %

Figure 4 Fitting between the predicted values and actual values of the two models圖4 兩種模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的擬合趨勢(shì)

由圖4可知，組合預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)的客流量與實(shí)際的客流量擬合較好，更接近實(shí)際數(shù)據(jù)。而單一GM（1，1）預(yù)測(cè)模型所預(yù)測(cè)的客流量與實(shí)際客流量擬合較差，偏差較大。相比灰色變異粒子群組合模型預(yù)測(cè)精度較高，更具有實(shí)用性。

為了進(jìn)一步說(shuō)明組合預(yù)測(cè)模型的優(yōu)越性，選取1987年～1991年銅州市公交客流量為原始數(shù)據(jù)進(jìn)行與隨機(jī)灰色預(yù)測(cè)［11］、遞歸網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)［12］、隨機(jī)灰色蟻群神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合模型預(yù)測(cè)［13］仿真對(duì)比，驗(yàn)證此組合預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)的優(yōu)越性。預(yù)測(cè)值如表4所示，對(duì)比仿真圖如圖5所示，相對(duì)誤差對(duì)比如表5所示。

Figure 5 Simulation of predicted data圖5 預(yù)測(cè)值對(duì)比仿真圖

Table 4 Prediction values（/Ten thousands times）表4 預(yù)測(cè)值表 萬(wàn)次

Table 5 Comparison of relative error表5 相對(duì)誤差對(duì)比表 %

幾種模型的相對(duì)平均誤差對(duì)比如表6所示。

Table 6 Comparison of average error表6 平均誤差對(duì)比表 %

幾種模型的相對(duì)誤差比較如圖6所示。

Figure 6 Relative error figure圖6 相對(duì)誤差圖

本文以1991年的客流量為例，通過(guò)以上幾種算法對(duì)其預(yù)測(cè)，并對(duì)本文算法的收斂性能進(jìn)行分析，仿真圖如圖7所示。

從圖6可知，GM（1，1）算法第33次達(dá)到最優(yōu)值2 143萬(wàn)次，隨機(jī)灰色算法第28 次達(dá)到最優(yōu)值2 130萬(wàn)次，遞歸網(wǎng)絡(luò)算法第25次達(dá)到最優(yōu)值2 135萬(wàn)次，隨機(jī)灰色蟻群神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法第21次達(dá)到最優(yōu)值2 150萬(wàn)次，本文PSO 算法第15次達(dá)到最優(yōu)值2 159萬(wàn)次，由此可知，本文改進(jìn)算法優(yōu)于其他幾種常用預(yù)測(cè)算法，收斂性能較好。

Figure 7 Algorithm optimization evolutionary curves圖7 算法尋優(yōu)進(jìn)化曲線圖

由圖6可知，組合預(yù)測(cè)模型的相對(duì)誤差小于其他幾種預(yù)測(cè)算法的相對(duì)誤差，從圖7可看出，本文改進(jìn)PSO 算法的收斂性能明顯優(yōu)于其他幾種預(yù)測(cè)算法。實(shí)例表明，變異粒子群組合預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度明顯高于單一GM（1，1）預(yù)測(cè)模型及其其他幾種預(yù)測(cè)算法的預(yù)測(cè)精度，預(yù)測(cè)值更接近實(shí)際值，運(yùn)用此組合預(yù)測(cè)模型更能準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)未來(lái)客流量的大小。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文結(jié)合灰色理論與變異粒子群算法建立了一種灰色變異粒子群組合預(yù)測(cè)模型，通過(guò)具體的函數(shù)驗(yàn)證了算法的優(yōu)越性，并通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證分析表明，組合預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度明顯高于單一GM（1，1）預(yù)測(cè)模型及其其他幾種常用預(yù)測(cè)算法。因此，運(yùn)用變異粒子群算法優(yōu)化傳統(tǒng)灰色預(yù)測(cè)模型的參數(shù)，明顯提高了預(yù)測(cè)精度，將此組合模型運(yùn)用到公交客流量預(yù)測(cè)中，預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)擬合較好，能準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)出公交客流量，為公交系統(tǒng)的發(fā)展與規(guī)劃提供科學(xué)的基礎(chǔ)依據(jù)，從而能夠合理地建設(shè)公交系統(tǒng)，促進(jìn)公交系統(tǒng)的快速發(fā)展。

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