反對角算子矩陣及其平方的單值延拓性質

崔苗苗，曹小紅
（陜西師范大學數(shù)學與信息科學學院，西安710119）

本文主要證明了，復無限維可分Hilbert空間上的反對角算子矩陣及其平方具有單值延拓性質的攝動的等價性.

單值延拓性質；緊攝動；反對角算子矩陣

1預備知識

在本文中，H表示一個復無限維可分Hilbert空間.B（H）表示H上有界線性算子的全體，K（H）表示H上所有緊算子構成的雙邊理想.對T∈B（H），令N（T）和R（T）分別表示算子T的零空間和值域.稱算子T為半Fredholm算子，若R（T）閉且n（T）或n（T?）有限，其中n（T）=dimN（T），n（T?）=dimN（T?）且T?表示T的共軛算子.此時T的指標記為ind（T）=n（T）-n（T?）.Wolf譜σSF（T）定義為稱ρSF（T）=CσSF（T）為算子T的半Fredholm預解集.記逼近預解集ρa（T）=｛λ∈ρSF（T）：n（T-λI）=0｝，ρSF+（T）=｛λ∈ρSF（T）：n（T-λI）＜∞｝.若T是半Fredholm算子，當-∞＜ind（T）＜+∞，則稱T是Fredholm算子；當ind（T）=0時則稱T是Weyl算子.算子T的升標asc（T）為滿足N（Tn）=N（Tn+1）的最小的非負整數(shù)，若這樣的整數(shù)不存在，則記asc（T）=∞；算子T的降標des（T）為滿足R（Tn）=R（Tn+1）的最小的非負整數(shù)，同樣當這樣的整數(shù)不存在，則記des（T）=∞.當T為有有限升標和有限降標的Fredholm算子時，稱T為Browder算子.本質譜σe（T），Weyl譜σw（T）分別定義為

2單值延拓性質的攝動

在本文中，將單值延拓性質簡寫為SVEP，T有單值延拓性質記作T∈（SVEP）.算子的單值延拓性質最早是N.Dunford在研究譜算子類的時候提出來的（參見文獻［1-3］等），該性質在Fredholm理論和局部譜理論中都有很重要的地位.近年來，許多作者研究了單值延拓性質的攝動［4-5］.事實上很多重要的算子類的單值延拓性質受到了廣大學者的關注，例如亞正規(guī)算子，可分解的算子［6-8］及加權移位算子［9］等等.與此同時，某些具有特殊性質的算子也滿足單質延拓性質.例如，T滿足intσp（T）=?，或滿足Bishop's（β）性質，或滿足（δ）性質［7］時都滿足單質延拓性質，其中σp（T）表示算子T的點譜.

三角算子矩陣的單值延拓性質的攝動在近幾年得到了學者們的關注.上三角算子矩陣的單值延拓性質的攝動已經(jīng)取得了較好的成果［10-11］，而下三角算子矩陣的單值延拓性質的攝動的相關研究工作至今仍未得到較大的進展.本文研究2×2反對角算子矩陣的單值延拓性質.首先有幾個引理.引理2.1設則以下敘述等價.

（1）AB有單值延拓性質的攝動；

（2）BA有單值延拓性質的攝動；

（3）T2有單值延拓性質的攝動.

證明（1）?（2）.由AB有單值延拓性質的攝動知intσSF（AB）=?且ρSF（AB）連通（文獻［4］，定理1.3）.

1）intσSF（BA）=?.若不然，則存在鄰域Bδ（μ0）?σSF（BA）.由于intσSF（AB）=?，于是存在μ1∈Bδ（μ0）使得AB-μ1I為半Fredholm算子.又由ρSF（AB）連通，則AB-μ1I為Browder算子，故存在μ2/=0且μ2∈Bδ（μ0）使得AB-μ2I可逆，因此BA-μ2I可逆，矛盾.

2）ρSF（BA）連通.斷言：ρSF（BA）=ρ（BA）∪σ0（BA）.只需證ρSF（BA）?ρ（BA）∪σ0（BA）.設μ0∈ρSF（BA），若μ0/∈ρ（BA），則μ0∈ρSF（BA）∩σ（BA），故存在鄰域Bδ（μ0）且當μ∈Bδ（μ0）時BA-μI為半Fredholm算子.由于intσSF（AB）=?，于是存在μ1∈Bδ（μ0）使得AB-μ1I為半Fredholm算子.又由ρSF（AB）連通，則AB-μ1I為Browder算子，故存在μ2/=0且μ2∈Bδ（μ0）使得AB-μ2I可逆.我們知道ρ（AB）和ρ（BA）至多相差零點，于是BA-μ2I可逆，因此μ0∈?σ（BA）.由BA-μ0I為半Fredholm算子知BA-μ0I有n≥d的拓撲一致降標，結合μ0∈?σ（BA），則BA-μ0I為Browder算子（見文獻［12］，推論4.9）.

因為ρSF（AB）連通，所以ρSF（AB）=ρ（AB）∪E，其中E?C為可數(shù)集.我們知道ρ（AB）與ρ（BA）至多相差一個點，于是由ρSF（AB）的連通性知ρSF（BA）連通.

（2）?（3）.由BA有單值延拓性質的攝動知intσSF（BA）=?且ρSF（BA）連通（見文獻［4］，定理1.3）.

1）intσSF（T2）=?.若不然，則存在鄰域Bδ（μ0）?σSF（T2）.由于intσSF（BA）=?，于是存在μ1∈Bδ（μ0）使得BA-μ1I為半Fredholm算子.又由ρSF（BA）連通，則BA-μ1I為Browder算子，故存在μ2/=0且μ2∈Bδ（μ0）使得BA-μ2I可逆.我們知道ρ（AB）和ρ（BA）至多相差一個零點，則AB-μ2I可逆，因此T2-μ2I可逆（文獻［13］，（3.9）），矛盾.

2）ρSF（T2）連通.因為BA有單值延拓性質的攝動，所以同（1）?（2）可證得AB有單值延拓性質的攝動，則intσSF（AB）=?且ρSF（AB）連通（文獻［4］，定理1.3）.由于AB∈（SVEP）且BA∈（SVEP），于是對任意的μ∈C，ind（AB-μI）≤0且ind（BA-μI）≤0，故ρSF（AB）= ρSF+（AB），ρSF（BA）=ρSF+（BA）（文獻［5］，推論11）.又由ρSF（AB）和ρSF（BA）連通，則ρSF（AB）=ρSF+（AB）=ρ（AB）∪E1，ρSF（BA）=ρSF+（BA）=ρ（BA）∪E2，其中E1?C，E2?C均為可數(shù)集.我們知道ρ（AB）和ρ（BA）至多相差一個點，于是由ρSF（AB）和ρSF（BA）的連通性知ρSF（T2）=ρSF（AB）∩ρSF（BA）連通.

（3）?（1）.由于T2有單值延拓性質的攝動，于是對任意的緊算子K，intσSF（T2）= intσSF（T2+K）=?且ρSF（T2）=ρSF（T2+K）連通（文獻［4］，定理1.3）.

1）intσSF（AB）=?.若不然，則存在Bδ（μ0）?σSF（AB）.由于intσSF（T2）=?，于是存在μ1∈Bδ（μ0）使得T2-μ1I為半Fredholm算子.又由ρSF（T2）連通，則T2-μ1I為Browder算子，故存在μ2/=0且μ2∈Bδ（μ0）使得T2-μ2I可逆，因此AB-μ2I可逆（文獻［13］，（3.9）），矛盾.

2）ρSF（AB）連通.若ρSF（AB）不連通，則存在ρSF（AB）的有界連通分支?.令Γ=??.由Γ?σSF（AB），則存在緊算子K1使得，其中N為正規(guī)算子且σ（N）=σSF（N）=Γ（文獻［14］，引理2.10）.對正規(guī)算子N，令Φ為C［σ（N）σ0（N）］的所有有界連通分支的并，由文獻［15，定理3.1］知存在緊算子使得σ（N+）=σ（N）∪Φ=，于

其中K′=為緊算子.由于intσSF（T2+K′）=?，于是存在μ∈?使得T2+K′-μI為半Fredholm算子.又由ρSF（T2+K′）連通，則存在μ0/=0且μ0∈?使得T2+K′-μ0I可逆，故AB+K0-μ0I可逆（文獻［13］，（3.9）），因此N+2-μ0I為下有界算子.因為N+2-μ0I為Weyl算子，則N+2-μ0I可逆，矛盾.

（1）若T-λI為上（下）半Fredholm算子，則AB-λ2I和BA-λ2I均為上（下）半Fredholm算子且ind（AB-λ2I）=ind（BA-λ2I）=ind（T-λI）；

（2）σSF（T）=

斷言2：n（AB-λ2I）=n（T-λI）.設x1,x2,···,xn為N（AB-λ2I）的一組線性無關向量，由斷言1可知為N（T-λI）中一組線性無關向量，即n（AB-λ2I）≤n（T-λI）.

斷言3：R（AB-λ2I）閉.設（AB-λ2I）xn→y（n→∞），則由T-λI為上半Fredholm算子知R（T-λI）閉，因而存在易求得y=（AB-λ2.因此R（AB-λ2I）閉.

同理可證：（I）BA-λ2I為上半Fredholm算子且n（BA-λ2I）=n（T-λI），d（AB-λ2I）= d（BA-λ2I）=d（T-λI）.綜上所述若T-λI為上半Fredholm算子，則AB-λ2I和BA-λ2I都為上半Fredholm算子且ind（AB-λ2I）=ind（BA-λ2I）=ind（T-λI）；（II）若T-λI為下半Fredholm算子，則AB-λ2I，BA-λ2I為下半Fredholm算子且ind（AB-λ2I）=ind（BA-λ2I）=ind（T-λI）.

結合引理2.1和引理2.2不難得出本文中的主要定理.

則有

由于S∈（SVEP），于是f≡0，從而f1≡0，因此S1∈（SVEP）.

下證：1）intσSF（T）=?.若不然，則存在Bε（λ0）?σSF（T）.令Γ=?Bε（λ0）.由Γ?σSF（T），則存在緊算子K1使得,其中N為正規(guī)算子且σ（N）=σSF（N）=Γ（文獻［14］，引理2.10）.對正規(guī)算子N，令Φ為C［σ（N）σ0（N）］的所有有界連通分支的并，由文獻［15，定理3.1］知存在緊算子K2使得σ（N+K2）=σ（N）∪Φ=?，于是??σ（N+

其中K′=TK+KT+K2為緊算子.由于T2有單值延拓性質的攝動，于是由斷言1可知（N+）2∈（SVEP）.又由σ（N）=Γ，則

（I）當λ0=0時，任取0/=λ∈Bε（λ0），都有-λ/∈Γ；

（II）當λ0/=0時，讓ε充分小可使得0/∈Bε（λ0），則對任意的λ/=0且λ∈Bε（λ0），有-λ/∈Γ.故存在λ1∈Bε（λ0）使得-λ1/∈Γ，因而N-λ1I,N+λ1I可逆，故（N+）2-I為Weyl算子.由于（N+）2∈（SVEP），于是（N+）2-λ21I為Browder算子（文獻［4］，定理15），故N+-λ1I為Browder算子，因而存在λ2∈?使得N+K2-λ2I可逆，矛盾.

2）ρSF（T2）連通.反證，若ρSF（T2）不連通，則存在ρSF（T2）的有界連通分支?.令Γ=??.由于Γ?σSF（T），于是存在緊算子K1使得,其中N為正規(guī)算子且σ（N）=σSF（N）=Γ（文獻［14］，引理2.10）.對正規(guī)算子N，令Φ為C［σ（N）σ0（N）］的所有有界連通分支的并，由文獻［15，定理3.1］知存在緊算子K2使得σ（N+K2）=σ（N）∪Φ=?，

其中K′=TK+KT+K2為緊算子.由于T2有單值延拓性質的攝動，于是T2+K′也有單值延拓性質的攝動，則intσSF（T2+K′）=?且（T2+K′）連通（文獻［4］，定理1.3）.任取λ0∈?，有λ0/∈σSF（T）.結合引理2.2知T2+K′-I為半Fredholm算子，又由（T2+K′）連通，則T2+K′-I為Browder算子，因此T+K-λ0I為Browder算子，從而asc（N+-λ0I）＜∞.因為N+K2-λ0I為Weyl算子，故N+-λ0I為Browder算子.同1）知：矛盾.

充分性.先證ρSF（T2）連通.由引理2.2知（T2）=（T）］2.設f（x）=x2，則ρSF（f（T））=（T2）=［ρSF（T）］2=f（T））.若ρSF（T2）不連通，則存在隔離子集A,B?C使得（T2）=A∪B，其中［A∩］∪∩B］=?.

由ρSF（T2）=（T）］2知ρSF（T）=f-1（A∪B），其中f-1（A∪B）表示（A∪B）在映射f下的原像.由于

再證intσSF（T2）=?.若不然，則存在Bδ（μ0）?σSF（T2）.設μ0=，由引理2.2知λ0∈σSF（T）.因為intσSF（T）=?，則存在λn→λ0使得T-λnI可逆，于是T+λnI可逆且→（文獻［13］，（3.10）和（4.3）），因此T2-可逆，這與μ0∈in（T2）矛盾.

（1）T有單值延拓性質的攝動時推不出A和B有單值延拓性質的攝動.例如，設

（2）A和B有單值延拓性質的攝動時推不出T有單值延拓性質的攝動.

例如，設

且令A,B∈B（?2⊕?2）,T∈B（?2⊕?2⊕?2⊕?2）分別定義為

其中

由上述可知：

1）σ（A1B2）=D，故σ（T2）=σSF（T2）=D.因此T2沒有單值延拓性質的攝動（文獻［4］，定理1.3），由定理2.1知T沒有單值延拓性質的攝動.

2）σ（A1A2）=σ（B1B2）=｛0,1｝，則σ（A）=σ（B）=｛0,1,-1｝，因此A和B有單值延拓性質的攝動（文獻［4］，定理1.3）.

（1）若A∈（SVEP），B為代數(shù)算子且AB=BA，則BA∈（SVEP）.

（2）若A有單值延拓性質的攝動，B為代數(shù)算子，則對任意滿足BK=KB的緊算子K，BA+K∈（SVEP）.

證明（1）對任意一個開集U?C，設f：U→H為解析函數(shù)且滿足（BA-λI）f（λ）= 0，下證f≡0.

因為B為代數(shù)算子，所以存在復數(shù)γ1,γ2,···,γk使得（B-γ1）（B-γ2）···（B-γk）=0，其中k為固定的正整數(shù).令pj（λ）=（λ-γ1）（λ-γ2）···（λ-γj）,j=1,2,···,k.斷言：pj（B）f（λ）=0,j=1,2,···,k.

由于（BA-λI）f（λ）=0，于是（B-γk）Af（λ）+（γkA-λ）f（λ）=0.又由AB=BA，則pk（B）Af（λ）+（γkA-λ）pk-1（B）f（λ）=0，故（γkA-λ）pk-1（B）f（λ）=0.因為A∈（SVEP），因此pk-1（B）f（λ）=0.依此類推可證得pj（B）f（λ）=0,j=1,2,···,k，從而p1（B）f（λ）=（B-γ1）f（λ）=0，則（B-γ1）Af（λ）=0.由于（BA-λI）f（λ）=0，于是（B-γ1）Af（λ）+（γ1A-λ）f（λ）=0，故（γ1A-λ）f（λ）=0.又由A∈（SVEP），則f≡0.

綜上所述：BA∈（SVEP）.

（2）若對任意滿足BK=KB的緊算子K，對任意一個開集U?C，設f：U→H為解析函數(shù)且滿足（BA+K-λI）f（λ）=0，下證f≡0.

由于B為代數(shù)算子，于是存在復數(shù)γ1,γ2,···,γk使得（B-γ1）（B-γ2）···（B-γk）=0，其中k為固定的正整數(shù).令pj（λ）=（λ-γ1）（λ-γ2）···（λ-γj）,j=1,2,···,k.斷言：pj（B）f（λ）=0,j=1,2,···,k.

由（BA+K-λI）f（λ）=0可知（B-γk）Af（λ）+（γkA+K-λ）f（λ）=0，且由AB=BA可得pk（B）Af（λ）+（γkA+K-λ）pk-1（B）f（λ）=0，從而（γkA+K-λ）pk-1（B）f（λ）=0.因為A有單值延拓性質的攝動，所以pk-1（B）f（λ）=0.依此類推可證得pj（B）f（λ）=0,j=1,2,···,k，從而p1（B）f（λ）=（B-γ1）f（λ）=0，則（B-γ1）Af（λ）=0.由于（BA+K-λI）f（λ）=0，于是（B-γ1）Af（λ）+（γ1A+K-λ）f（λ）=0，故（γ1A+K-λ）f（λ）=0.又由A有單值延拓性質的攝動，則f≡0.

由引理2.1和定理2.1，自然提出問題：對反對角算子矩陣，在什么條件下A和B滿足單值延拓性質的攝動當且僅當T滿足單值延拓性質的攝動？目前對該問題，我們還沒有找到答案.

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（責任編輯王善平）

Single-value extension property for anti-diagonal operator matrices and their square

CUI Miao-miao，CAO Xiao-hong
（Department of Mathematics and Information Science，Shaanxi Normal University，Xi'an710119，China）

In this paper，we mainly proved the equivalence of the perturbation of single-value extension property for anti-diagonal operator matrices and their square on an infinite dimensional separable Hilbert space.

single-value extension property；compact perturbations；anti-diagonal operator matrices

O177.2

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2015.01.011

1000-5641（2015）01-0095-08

2014-01

國家自然科學基金（11471200，11371012）；中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項基金（GK201301007）

崔苗苗，女，在讀碩士，研究方向為算子理論.E-mail address：cuiye@snnu.edu.cn.

曹小紅，女，博士，教授，研究方向為算子理論.E-mail address：xiaohongcao@snnu.edu.cn.