朱全英,王志平
(大連海事大學(xué),遼寧 大連 116026)
基于問題驅(qū)動的高等數(shù)學(xué)教學(xué)模式設(shè)計(jì)
朱全英,王志平
(大連海事大學(xué),遼寧 大連 116026)
討論基于問題驅(qū)動的高等數(shù)學(xué)教學(xué)方法及針對不同教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行問題設(shè)計(jì)的實(shí)踐教學(xué)模式,從啟發(fā)性問題驅(qū)動、橋梁作用的問題驅(qū)動、多角度的問題驅(qū)動、直觀性的問題驅(qū)動和實(shí)踐性的問題驅(qū)動等方面探討相關(guān)教學(xué)模式。
問題驅(qū)動;高等數(shù)學(xué);問題設(shè)計(jì);教學(xué)模式
數(shù)學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和解決問題能力的關(guān)鍵學(xué)科。以建構(gòu)主義理論為基礎(chǔ)和問題驅(qū)動式教學(xué)打破了傳統(tǒng)的“滿堂灌”的課堂模式,以問題為導(dǎo)向,引導(dǎo)學(xué)生參與解決問題,在問題情境中建構(gòu)知識。[1-2]在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中引進(jìn)問題驅(qū)動式教學(xué)模式,有利于激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)和解決問題的能力,增強(qiáng)實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力。
問題驅(qū)動式教學(xué)模式在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用,學(xué)界從方法的適用性和問題設(shè)計(jì)思想[3]等理論以及問題設(shè)計(jì)策略[4]方法等不同角度進(jìn)行了探討。問題驅(qū)動式教學(xué)模式的核心是問題的設(shè)計(jì),設(shè)計(jì)出合理的、有意義的以及學(xué)生感興趣的問題是問題驅(qū)動式教學(xué)中的重要任務(wù)。Barrows和Kelson認(rèn)為,問題導(dǎo)向?qū)W習(xí)必須設(shè)計(jì)出能令人信服的問題真實(shí)情境,能引發(fā)多元的假設(shè),并規(guī)劃出符合課程目標(biāo)的知識概念與技巧,以鍛煉學(xué)習(xí)者的問題解決能力及創(chuàng)造性思維,同時,教學(xué)內(nèi)容能整合、包含一個以上的學(xué)科。[2]可見,在問題驅(qū)動式教學(xué)中,好的問題設(shè)計(jì)是教學(xué)成功的基石。本文著重討論好的問題設(shè)計(jì)應(yīng)該具備的條件。
針對不同的教學(xué)內(nèi)容、不同的教學(xué)目的對問題的設(shè)計(jì)應(yīng)該有不同要求,如有些問題要具有啟發(fā)性,有些問題要具有搭建新舊知識的橋梁作用,提問題的角度要具有多樣性,有些問題要具有直觀性,有些問題要具有實(shí)用性等。
1.啟發(fā)性問題驅(qū)動
建構(gòu)主義理論認(rèn)為,知識不是通過老師教給學(xué)生的,而是在一定的情境(社會文化)中,利用必要的學(xué)習(xí)資料(包括實(shí)踐活動),借助外界(老師、學(xué)習(xí)伙伴或其他相關(guān)人)幫助而進(jìn)行的有意義的建構(gòu)過程。以“問題”為引導(dǎo),學(xué)生為了解決現(xiàn)實(shí)情境中的問題需要自己查閱資料、分工協(xié)作、知識分享來解決問題,并在解決問題的過程中不斷總結(jié)、反思,通過查閱大量資料,從中抽取信息、組建信息,最終建構(gòu)出屬于自己的知識[2]。知識只有通過個體的主動建構(gòu),使其變成認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識,它才能獲得意義。
教師為了充分激發(fā)學(xué)生的主動性、積極性和質(zhì)疑精神,啟發(fā)學(xué)生自主建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu),在學(xué)習(xí)一些數(shù)學(xué)概念時提出具有啟發(fā)性的問題情境顯得尤為重要。數(shù)學(xué)概念是對自然界中蘊(yùn)含的規(guī)律和關(guān)系的高度抽象,因?yàn)槠涑橄笮运詫W(xué)生接受起來難度很大。但是每一個數(shù)學(xué)概念又都是有淵源的,往往是解決某些或某一類問題而產(chǎn)生的。因此通過追本溯源,可以把與概念相關(guān)的背景問題提出來以啟發(fā)學(xué)生,引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)和概括這一概念,實(shí)現(xiàn)知識的建構(gòu)。如學(xué)習(xí)“導(dǎo)數(shù)”概念時,可以提出以下具有啟發(fā)性的引例。
引例:棒球大聯(lián)賽票價的增長率問題。
美國的棒球大聯(lián)賽吸引了大量的觀眾,而大聯(lián)賽的票價也隨之節(jié)節(jié)攀升,假設(shè)票價的變化趨勢符合函數(shù)p(x)=9.41-0.19x+0.09x2,其中x是1990年以后的年數(shù),p是票價,那么在x時刻,票價p的增長率是多少?
分析:從所給的函數(shù)表達(dá)式可知,用之前所學(xué)知識不能求出任一時刻票價的增長率,但是可以求出一段時間內(nèi)票價的平均增長率,即當(dāng)時間由x改變到x+Δx時,票價p在Δx這段時間內(nèi)增長了Δp=p(x+Δx)-p(x),則在Δx這段時間內(nèi)票價的平均增長率為
通過這種問題啟發(fā)把概念的本質(zhì)揭露出來,在引導(dǎo)學(xué)生解決問題的過程中闡明隱藏在問題背后的原理、脈絡(luò)、思想和方法,盡可能地呈現(xiàn)或部分呈現(xiàn)、還原數(shù)學(xué)研究的過程。在這些問題情境下,教師轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)習(xí)的輔導(dǎo)者,解答學(xué)生在解決問題過程中的思考和疑問,幫助學(xué)生肯定正確的思想和方法,否定錯誤的思路方法,實(shí)現(xiàn)有關(guān)該知識點(diǎn)的第一次知識體系構(gòu)建。學(xué)生通過參與問題的解決過程,加強(qiáng)對相關(guān)概念的理解,這種理解不僅包含直觀形象的認(rèn)知,而且通過思考和比較,從理性層面也加深了對知識理論與方法的理解。
2.橋梁作用的問題驅(qū)動
建構(gòu)主義理論指出,學(xué)習(xí)總是與一定的社會文化背景即“情境”相聯(lián)系的,在實(shí)際情境下進(jìn)行學(xué)習(xí),可以使學(xué)習(xí)者能利用自己原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)經(jīng)驗(yàn)去同化和索引當(dāng)前學(xué)習(xí)到的新知識,從而賦予新知識以某種意義。[3]學(xué)習(xí)者通過問題的解決建構(gòu)新知識時,需要不斷激活原有的知識經(jīng)驗(yàn),對當(dāng)前問題做出分析和判斷,對新、舊知識的合理性在問題解決過程中不斷得到檢驗(yàn)。因此,教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生所掌握的知識和新知識的聯(lián)系設(shè)置問題,為學(xué)生搭建知識框架,引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建新知識,從而能夠使學(xué)生實(shí)現(xiàn)由現(xiàn)有認(rèn)知水平向潛在認(rèn)知水平的發(fā)展。如“微分”概念的教學(xué),如果直接給出定義,學(xué)生會覺得很難理解和接受。這時候需要教師提供一些起橋梁作用的問題幫助學(xué)生搭建知識框架,構(gòu)建一系列的知識體系。
問題1:函數(shù)y=x2,當(dāng)x由2變化到2+0.01時,函數(shù)的增量是怎樣的?
問題2:增量的主要部分是什么?函數(shù)y=x2在x=2處的導(dǎo)數(shù)與增量有什么關(guān)系?
問題3:對于函數(shù)y=x3和y=2x同樣的問題如何解決?
通過這些問題引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)微分與增量的關(guān)系、微分和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,進(jìn)一步了解定義微分的意義:微分是用來近似增量的,而且求微分比求增量簡單。在學(xué)生解決這些問題的過程中,教師的作用主要是“布陣設(shè)疑,搭橋鋪路”。不是急于給出答案,而是通過旁敲側(cè)擊、點(diǎn)撥誘導(dǎo),使學(xué)生恍然大悟,讓思維的火花從學(xué)生的腦海里迸發(fā)出來,這對激發(fā)學(xué)生的悟性和創(chuàng)造性思維極為有利。[4]
3.多角度的問題驅(qū)動
數(shù)學(xué)理論的學(xué)習(xí)只有經(jīng)歷了從不同的角度、不同側(cè)面反復(fù)印證的曲折的過程后才能“吃透”理論的本質(zhì)特征。顧泠沅先生認(rèn)為,“在教學(xué)中用不同形式的直觀材料或事例說明事物的本質(zhì)屬性,或變換同類事物的非本質(zhì)特征以突出事物的本質(zhì)特征。目的在于使學(xué)生理解哪些是事物的本質(zhì)特征,哪些是事物的非本質(zhì)特征,從而對這一事物形成科學(xué)概念”。[5]因此,在教學(xué)中圍繞同一概念可以從不同角度和側(cè)面提問題,幫助學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)特征。
比如,“羅爾定理”的教學(xué)中,學(xué)生通過證明過程只能承認(rèn)定理的正確性,并不一定能抓住定理的本質(zhì)特征,因此,教師可以從不同角度提出問題,幫助學(xué)生真正理解其本質(zhì)。在實(shí)際中往往否定條件提出問題:
問題1. “如果函數(shù)在閉區(qū)間上不連續(xù),結(jié)論能不能成立?”舉出反例。
問題2. “如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)不可導(dǎo),結(jié)論能不能成立?”舉出反例。
問題3. “如果兩端點(diǎn)的函數(shù)值不相等,結(jié)論是怎樣的?”
學(xué)生通過自己的觀察、思考和判斷,能夠深刻理解這一定理的實(shí)質(zhì),進(jìn)一步得到微分中值定理的結(jié)論,就像他們自己發(fā)現(xiàn)了定理一樣,這無疑將會增強(qiáng)他們的創(chuàng)新意識。
4. 直觀性的問題驅(qū)動
美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩指出:如果一個特定的問題可以被轉(zhuǎn)化為一個圖形,那么思想就整體地把握了問題,并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法。教師在教學(xué)中盡力做到把問題形象化、直觀化,用圖形來描述問題,從而起到事半功倍的效果。
比如在定義凹弧和凸弧時,直接給出不等式形式的定義,學(xué)生難以接受。教師可以通過圖形刻畫出凹凸弧的特點(diǎn),以問題為驅(qū)動,給學(xué)生一個形象的解釋,學(xué)生易于理解和接受。
問題:從圖形上看,凸弧上的弦在弧的下面,怎樣比較弧的高度和弦的高度?
弧高大于弦高就表示了凸弧,弧高小于弦高就是凹弧。再給出不等式的定義就水到渠成了。
再比如“數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和”總是令人“難以置信”,直觀化的問題驅(qū)動可以幫助學(xué)生更好地理解這一數(shù)學(xué)概念。
這個例子就把看似難以捉摸的概念具體化形象化了。這無疑會激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,更進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性。
通過這一問題的解決,學(xué)生從直觀上得出了此極限的值,后面的推理證明就順理成章,學(xué)生容易接受而且不易忘記。
5.實(shí)踐性問題驅(qū)動
學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的目的不是單一的為專業(yè)課打基礎(chǔ),而是要培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力,學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法解決各種實(shí)際問題。訓(xùn)練學(xué)生解決一些實(shí)際問題,不僅鍛煉學(xué)生解決問題的能力,而且會激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,同時鞏固所學(xué)知識,為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
教師結(jié)合不同專業(yè)學(xué)生的專業(yè)特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)陌咐?,指?dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型并求解。
比如,市場營銷專業(yè)的學(xué)生可以解決這樣的案例:小王手里有200元錢,他需要購買兩種商品:光盤和錄音帶。假設(shè)購買x張光盤和y盒錄音帶的效用函數(shù)為U=U(x,y)=lnx+lny,設(shè)每張光盤8元,每盒錄音帶10元,問如何分配這200元錢,才能達(dá)到最滿意的效果。
這個案例的解決用到多元函數(shù)微分法的應(yīng)用、條件極值的求法等內(nèi)容。通過這一案例的解決,學(xué)生會發(fā)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)并不只是抽象的定理和符號,而是跟日常生活息息相關(guān),因此學(xué)習(xí)高數(shù)的積極性就會大大提高。當(dāng)然很多案例是具有普遍性的,對任何專業(yè)的學(xué)生都適用。
把數(shù)學(xué)實(shí)踐融入問題驅(qū)動式教學(xué),并將一些典型應(yīng)用問題引入教學(xué)內(nèi)容,促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)與現(xiàn)代科技的結(jié)合;數(shù)學(xué)實(shí)踐貫穿了數(shù)學(xué)建模的思想方法,以實(shí)際問題為各教學(xué)案例,能夠提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力。
本文針對不同教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了不同特點(diǎn)的問題設(shè)計(jì),從啟發(fā)性問題驅(qū)動、橋梁作用的問題驅(qū)動、多角度的問題驅(qū)動、直觀性的問題驅(qū)動和實(shí)踐性的問題驅(qū)動等幾個方面來探討在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中問題驅(qū)動式的教學(xué)模式設(shè)計(jì)。在實(shí)際的高等數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中,怎樣靈活應(yīng)用不同特點(diǎn)的問題驅(qū)動以及如何有效地發(fā)揮問題驅(qū)動式教學(xué)的優(yōu)點(diǎn)等方面都需要進(jìn)一步研究并實(shí)踐。
[1] 曹輝.建構(gòu)主義課程理論的“情境”解說[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報,2015(12):6-8.
[2] 吳剛.基于問題式學(xué)習(xí)模式(PBL)的評述[J].陜西教育,2014(4):3-7.
[3] 滕吉紅.問題驅(qū)動式教學(xué)模式在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的探索[J].高等教育研究學(xué)報,2012(12):89-90.
[4] 黃貴.關(guān)于問題驅(qū)動數(shù)學(xué)教學(xué)的幾種策略[J].基礎(chǔ)教學(xué)研究, 2008(3):90-91.
[5] 顧泠沅.華人如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)[M].南京:江蘇教育出版社,2005:247-273.
2014-07-01
遼寧省高等學(xué)校教學(xué)改革項(xiàng)目“基于問題驅(qū)動的高等數(shù)學(xué)教學(xué)方法創(chuàng)新研究與實(shí)踐”
朱全英(1969-),女,講師,主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究。
G642.0 < class="emphasis_bold">文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A
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1006-8724(2015)01-00084-03