☉江蘇省如東縣馬塘中學(xué) 王孝杰

圖形旋轉(zhuǎn)來探究，構(gòu)造識(shí)別善選用
——2015年河北省第26題思路簡述與回顧反思

☉江蘇省如東縣馬塘中學(xué) 王孝杰

本文擬摘引2015年河北卷最后一道大題，給出思路簡述，進(jìn)一步反思該題的立意與教學(xué)導(dǎo)向，供研討.

一、考題及思路簡述

考題：（2015年河北省中考卷，第26題）平面上，矩形ABCD與直徑為QP的半圓K如圖1所示擺放，分別延長DA和QP交于點(diǎn)O，且∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA= AB=1.讓線段OD及矩形ABCD位置固定，將線段OQ連帶著半圓K一起繞著點(diǎn)O按逆時(shí)針方向開始旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤60°）.

圖1

圖2

圖3

發(fā)現(xiàn)：（1）當(dāng)α=0°，即初始位置時(shí)，點(diǎn)P_______直線AB上.（填“在”或“不在”）求當(dāng)α是多少時(shí)，OQ經(jīng)過點(diǎn)B.

（2）在OQ旋轉(zhuǎn)過程中，簡要說明α是多少時(shí)，點(diǎn)P、A間的距離最小，并指出這個(gè)最小值.

（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P恰好落在BC邊上時(shí)，求α及S陰影.

拓展：如圖3，當(dāng)線段OQ與CB邊交于點(diǎn)M，與BA邊交于點(diǎn)N時(shí)，設(shè)BM=x（x＞0），用含x的代數(shù)式表示BN的長，并求x的取值范圍.

探究：當(dāng)半圓K與矩形ABCD的邊相切時(shí)，求sinα的值.

試題分析：首先要讀懂“題干”所述，明確一些特殊角度和線段之間的數(shù)量關(guān)系，如圖4，延長AB一定交OQ于點(diǎn)P，因?yàn)椤鰽OP是一個(gè)特殊直角三角形（含30°銳角）；連接DQ，則△ODQ是等邊三角形，過點(diǎn)Q作QH⊥OD于H，則△OQH是特殊直三角形（含30°銳角）；如圖5，OA=AB，△AOB是等腰直角三角形，若OQ1恰好經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)，此時(shí)∠AOQ1=45°，旋轉(zhuǎn)角α為15°；當(dāng)點(diǎn)Q2旋轉(zhuǎn)后落在BC邊上時(shí)，構(gòu)造Rt△OQ2M，該三角形的三邊分別為1、等.以上分析雖然不是后續(xù)問題直接需要的，然而對于我們理解題意是有幫助的，當(dāng)然對于后續(xù)求解也是需要的.

圖4

圖5

“發(fā)現(xiàn)”：（1）由前面的讀題分析（如圖4），點(diǎn)P在直線AB上；由圖5的分析，當(dāng)α為15°時(shí)，OQ經(jīng)過點(diǎn)B.

（2）利用圖6幫助分析，連接AP，由OA+AP≥OP，當(dāng)OP過點(diǎn)A，即α=60°時(shí)，等號成立，得：AP≥OP-OA=2-1= 1，當(dāng)α=60°時(shí)，點(diǎn)P落在邊AD上，P、A之間的距離最小，即可求得最小值為1.

圖6

（3）如圖6，設(shè)半圓K與PC的交點(diǎn)為R，連接RK，過點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H，過點(diǎn)R作RE⊥KQ于點(diǎn)E.在Rt△OPH中，PH=AB=1，OP=2，則∠POH=30°，求得α=60°-30°= 30°.由AD∥BC，得∠RPQ=∠POH=30°，則∠RKQ=2×30°則

“拓展”：如圖3，由∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，得△AON∽△BMN，則.如圖7，當(dāng)點(diǎn)Q落在BC上時(shí)，x取最大值，作QF⊥AD于點(diǎn)F，BQ=AF=，求出x的取值范圍是0＜x≤

圖7

探究：半圓K與矩形ABCD的邊相切，分三種情況.①如圖8，半圓K與BC相切于點(diǎn)T，設(shè)直線KT與AD、OQ的初始位置所在的直線分別交于點(diǎn)S、O′.

圖8

于是得到∠KSO=∠KTB=90°.作KG⊥OO′于G.在

②當(dāng)半圓K與AD相切于點(diǎn)T時(shí)，如圖9.

圖9

③當(dāng)半圓K與CD相切時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合，且為切點(diǎn)，得到α=60°，于是結(jié)論可求.

二、回顧反思

1.一題包含眾多常見直角三角形

“考題”對初中幾何核心概念的覆蓋十分廣泛，包括直角三角形、矩形、勾股定理、半圓、直線和圓的位置關(guān)系、相似三角形等知識(shí).特別是對常見的直角三角形考查十分到位，可以發(fā)現(xiàn)，從圖4～8中，分別包含了三邊之比為“13∶4∶5”等的直角三角形，引導(dǎo)學(xué)生熟悉這些常見直角三角形三邊之比對于快速解題、打開思路是很有幫助的.

2.需要靈活地在不同三角形中之間切換

隨著旋轉(zhuǎn)變換后帶來的位置變化，圖形會(huì)變得復(fù)雜，線段也會(huì)增多，這時(shí)構(gòu)造不同直角三角形求解就會(huì)因人而異，能否在不同直角三角形中之間靈活切換成為思路貫通的關(guān)鍵.

三、對解題教學(xué)的導(dǎo)向之思

1.平面幾何教學(xué)應(yīng)該重視核心概念

當(dāng)前，“回到概念去解題”已成為一種命題導(dǎo)向，河北考題也充分體現(xiàn)了這種價(jià)值追求.初中平面幾何教學(xué)，核心概念很多，像“考題”這樣串起這么多幾何核心概念，而且把眾多常見的直角三角形都包含“題”中，確實(shí)是一種十分重要的教學(xué)引領(lǐng).

2.引導(dǎo)學(xué)生積累基本圖形及其性質(zhì)

我們認(rèn)為，重視積累基本圖形是十分關(guān)鍵的，也即羅增儒教授所倡導(dǎo)的“模式識(shí)別”策略.在“考題”中，不僅需要利用基本圖形，特別是特殊直角三角形三邊的關(guān)系求解，而且還要善于構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)闹苯侨切谓鉀Q問題，如果圖形構(gòu)造不當(dāng)，選用不當(dāng)，則會(huì)陷入較為繁雜的運(yùn)算、推理，造成演算過程中的“思維回路”，耗時(shí)費(fèi)力，“隱性失分”.

1.王文清，邢成云.中考命題需要謹(jǐn)慎，一石三鳥當(dāng)思量——以2014年濱州市中考數(shù)學(xué)試題為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（3）.

2.章建躍.理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2015（1）.

3.肖維松.回到概念：解題教學(xué)的一種取向——以2014年江蘇泰州卷第25題教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2014（7）.

4.羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.

5.【美】波利亞.怎樣解題［M］.閻育蘇，譯.北京：科學(xué)出版社，1982.Z