☉浙江省象山縣教育局教科研中心 鄔云德

基于過程教育的“一次函數(shù)應用（第2課時）”課例及分析

☉浙江省象山縣教育局教科研中心 鄔云德

一、背景介紹

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“課標（2011年版）”）倡導過程教育以全面發(fā)揮數(shù)學的育人功能.但調研發(fā)現(xiàn)課堂教學普遍與過程教育存在偏差，特別是獲得數(shù)學結果（或解決問題）的認知過程短暫和獲得數(shù)學結果（或解決問題）之后的反思過程缺失，導致不能滿足學生感悟其蘊含的數(shù)學思想方法及發(fā)展能力與個性的需要.基于過程教育的浙教版義務教育教科書數(shù)學八年級上冊第五章第5節(jié)“一次函數(shù)應用（第2課時）”怎樣教學？筆者通過多次螺旋式教學探索與反思基礎上形成的教學經(jīng)驗得到了同仁的認可.現(xiàn)將其整理出來，以饗讀者.

二、教學實錄

環(huán)節(jié)1：經(jīng)歷回顧并提出問題的過程——明確研究的問題

環(huán)節(jié)2：探索解決涉及兩個函數(shù)的問題的方法——體會數(shù)形結合思想方法

師：現(xiàn)在請大家合作解答問題1.

問題1：已知A、B兩地相距120km，甲、乙兩人沿同一條公路從A地出發(fā)到B地，乙騎自行車，甲騎摩托車.圖1中 DE、OC分別表示甲、乙離開A地的路程s（km）與時間t（h）的函數(shù)關系的圖像.問：

圖1

（1）乙先出發(fā)，甲后出發(fā)，相差多少時間？

（2）甲到達B地時，乙在離A地幾千米處？

（3）甲的速度是多少？乙的速度是多少？

（4）何時兩人相遇？相遇地點離開A地幾千米？

（約2分鐘后）

師：誰來回答（1）？

生1：根據(jù)圖像可知：兩人相差1小時.

師：不錯.誰來回答（2）？

生2：甲到達B地時，乙在離A地80千米處.

師：不錯.誰來回答（3）？

師：好的.誰來回答（4）？

生4：通過作圖可得：當乙離開A地1.8小時時兩人相遇，相遇地點離開A地約48千米.

師：不錯.但用作圖法得到的解可能是近似的.有沒有比較可靠的求交點坐標的方法？

生5：有.因為交點坐標應同時滿足涉及的兩個函數(shù)關系式，所以可利用函數(shù)解析式來求其交點坐標.

師：有道理.乙離開A地的路程s1（km）與時間t（h）的函數(shù)表達式是什么？

師：不錯.甲離開A地的路程s2（km）與時間t（h）的函數(shù)表達式是什么？

生6：s2=60t-60.

師：好的.怎樣利用函數(shù)解析式求其交點坐標？

生7：令s1=s2，則t=60t-60，解得t=1.8.當t=1.8時，s1= s2=48，所以其交點坐標是（1.8，48）.師：好的.你用的是函數(shù)觀點.

生8：設交點坐標（t0，s0），則解得

師：好的.你用的是方程思想.

師：求交點坐標有三種方法：“作圖方法”“函數(shù)方法”“方程方法”.

師：“形”方法與“數(shù)”方法的優(yōu)點與缺點分別是什么？

生9：“形”方法的優(yōu)點是直觀且方便，其缺點是得到的解可能是近似的；“數(shù)”方法的優(yōu)點是不需要圖像并能得到準確的解，其缺點是抽象且需要運算.

師：不錯.“形”的方法對畫圖要求較高；“數(shù)”的方法對思維要求較高.因此，一般地，解決這類問題的基本思路是：根據(jù)條件列出涉及的函數(shù)關系式→在同一直角坐標系中畫出其圖像（有時可以是草圖）→用適當?shù)姆椒ǎā皵?shù)”或“形”）解決有關問題.其理論依據(jù)可用圖2表示.

圖2

環(huán)節(jié)3：參與嘗試方法應用的活動——合作解決有代表性的問題

師：現(xiàn)在我們用上述思想方法來解決問題2.

問題2：小聰和小慧去某風景區(qū)游覽，約好在飛瀑見面.上午7：00，小聰乘電動汽車從古剎出發(fā)，沿景區(qū)公路（如圖3）去飛瀑，車速為30km/h.小慧也于上午7：00從塔林出發(fā)，騎電動自行車沿景區(qū)公路去飛瀑，車速為20km/h.問：

（1）當小聰追上小慧時，他們是否已經(jīng)過了草甸？

（2）當小聰?shù)竭_飛瀑時，小慧離飛瀑還有多少千米？

圖3

（稍停頓后）

師：（1）的數(shù)學本質是什么？（2）呢？

生10：（1）的數(shù)學本質是“求兩個函數(shù)圖像的交點坐標”；（2）的數(shù)學本質是“已知一個變量的值求另一個變量的值”.

師：好的.解決（1）有哪些方法？

生11：①列出涉及的兩個函數(shù)關系式，用“方程方法”或“函數(shù)方法”求其交點坐標；②在同一直角坐標系中畫出涉及兩個函數(shù)的圖像，用“作圖方法”求其交點坐標.

師：思路非常清晰.小聰離開古剎的路程s1（km）與時間t（h）的函數(shù)表達式是什么？

生12：s1=30t.

師：好的.小慧離開古剎的路程s2（km）與時間t（h）的函數(shù)表達式是什么？

生13：s2=20t+10.

師：好的.請大家在同一直角坐標系中畫出它們的圖像.

師（待學生完成任務）：誰來解答（1）？

生14：根據(jù)圖4可得：其交點坐標是（1，30），所以他們還沒到草甸.

師：好的.你用的是“作圖方法”.

生15：令s1=s2，則30t=20t+10，解得t=1.當t=1時，s1=s2= 30，所以他們還沒到草甸.

師：好的.你用的是函數(shù)觀點.

生16：設交點坐標（t0，s0），則即他們還沒到草甸.

師：好的.誰來解答（2）？

生17：觀察圖像可得：小慧離飛瀑還有5千米.

師：好的.你用的是“圖像方法”.

生18：將s1=45代入s1=30t，得45=30t，解得t=1.5.將t= 1.5代入s2=20t+10，得s2=20×1.5+10，解得s2=40.所以小慧離飛瀑還有5千米.

師：好的.你用的是“函數(shù)方法”.

師：一般地，求兩個函數(shù)圖像的交點坐標，你會選擇哪種方法？

生19：盡管“形”的方法比較簡單，但“數(shù)”的方法比較可靠，所以一般應選擇“數(shù)”的方法.

師：有道理.已知自變量的值（或范圍）比較兩個函數(shù)值的大小，你會選擇哪種方法？

生20：因為用“形”的方法比較直觀，所以會選擇“形”的方法.

師：有道理.以后解決有關問題時要靈活運用這兩種方法.

（接下來，教師要求學生完成課本中的兩道練習題，并在學生完成任務后組織學生交互反饋與評價）

環(huán)節(jié)4：參與回顧與思考的活動——合作進行反思與總結

師：本節(jié)課主要研究了什么？

生21：本節(jié)課主要研究了解決涉及兩個一次函數(shù)的問題的方法.

師：不錯.我們是怎樣研究的？

生22：先合作解決具體問題并抽象出解決問題的思想方法，再用獲得的思想方法解決具體問題.

師：好的.大家在學習過程中有何感觸？

生23：求兩個圖像的交點坐標有三種方法：“作圖方法”“函數(shù)方法”“方程方法”.

生24：“作圖方法”對畫圖要求較高，“函數(shù)方法”和“方程方法”對思維要求較高.

生25：用“形”的方法得到的解可能是近似的，用“數(shù)”的方法得到的解比較可靠.

生26：形少數(shù)時難入微，數(shù)缺形時不直觀，解題時要善于運用數(shù)形結合的方法.

生27：一次函數(shù)解析式與二元一次方程有一定的關系.

生28：當一次函數(shù)解析式中的變量固定時，它是二元一次方程；當二元一次方程中的未知數(shù)變化時，它是一次函數(shù).

師：大家說得非常到位！圖2揭示了一次函數(shù)圖像、一次函數(shù)解析式和二元一次方程之間的關系，以后要根據(jù)問題的要求，靈活運用“數(shù)”與“形”兩種方法.

三、教學分析

“一次函數(shù)應用（第2課時）”是探索一次函數(shù)實際應用的繼續(xù)——從解決涉及一個一次函數(shù)的問題到解決涉及兩個一次函數(shù)的問題.其數(shù)學本質是求兩個函數(shù)圖像的交點坐標和已知自變量的值（或范圍）比較兩個函數(shù)值的大小.分析并解決有關問題的過程和蘊含的生活常識、變化與對應思想、數(shù)形結合思想、轉化思想、模型化思想等及一次函數(shù)解析式與二元一次方程的關系，這些對發(fā)展學生的智力、能力和個性有積極的影響.“課標（2011年版）”（內容標準）對一次函數(shù)應用的教學要求是會用一次函數(shù)解決簡單的實際問題.本節(jié)課根據(jù)“課標（2011年版）”（內容標準）的教學要求和教材的教學意圖，以兩個學生熟悉的實際問題為載體，從學生已有的知識與經(jīng)驗出發(fā)，運用教師價值引導與學生自主建構相結合的適度開放的方法，引導學生經(jīng)歷了完整的認知過程.在問題1的教學中，既有“看圖說話”的認知過程，以解答給定的問題，也有解答問題之后的反思，以明確求兩個函數(shù)圖像的交點坐標有三種方法，感悟其蘊含的數(shù)學思想及用“數(shù)”的方法求交點坐標的理論依據(jù).在問題2的教學中，既有“分析、列式、畫圖、求解”的認知過程，以再認“作圖方法”、“函數(shù)方法”和“方程方法”，也有解決問題之后的反思，以進一步感悟其蘊含的數(shù)學思想及“形”的方法與“數(shù)”的方法的價值.在“回顧與思考”的教學中，既有教師價值引導下學生思考與交流，也有教師的總結性講解.初步的理論求證與實踐驗證表明，本節(jié)課選用的載體與方法體現(xiàn)了過程教育和以學為中心的思想，也符合問題解決教學的基本規(guī)范，能實現(xiàn)“會綜合運用一次函數(shù)表達式和圖像解決簡單實際問題，會用“作圖方法”、“函數(shù)方法”和“方程方法”求兩個函數(shù)圖像的交點坐標，能感悟其蘊含的轉化思想、數(shù)形結合思想等及一次函數(shù)解析式與二元一次方程的關系”的教學目標.因此，在問題解決教學中要實現(xiàn)知識、技能、能力、態(tài)度的完美統(tǒng)一，需要教師增強揭示問題所蘊含的思維活動過程的自覺性，而引導學生經(jīng)歷實質性思維過程需要教師貫徹啟發(fā)式教學思想——以符合“最近發(fā)展區(qū)”理論的題材為載體，從學生已有的知識與經(jīng)驗出發(fā)，運用教師價值引導與學生自主建構相結合的適度開放的方法，并引導學生經(jīng)歷完整的認知過程.只有這樣，才能使學生經(jīng)歷“過程”中的思維“站點”，從而促進學生全面、和諧發(fā)展.

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.范良火.義務教育教科書·數(shù)學（八年級上冊）［M］.杭州：浙江教育出版社，2013.Z