☉江蘇省南京市第三十九中學 夏鳴

HPM視角下的初中函數(shù)概念教學設計

☉江蘇省南京市第三十九中學 夏鳴

一、背景

1972年第二屆國際數(shù)學教育會議中成立了一個數(shù)學史與數(shù)學教學關系國際研究小組（簡稱HPM），它標志著數(shù)學史與數(shù)學教學關系已作為一個學術研究領域而出現(xiàn).在數(shù)學教學中運用數(shù)學史有三種方式：一是提供直接的歷史信息；二是借鑒歷史進行教學；三是開放對數(shù)學及其社會文化背景的深刻覺悟.［1］HPM視角下的數(shù)學教學通常采用的是第二種方式，即發(fā)生教學法，也就是把數(shù)學史作為教學線索，不明確地談論數(shù)學史，用數(shù)學史來啟示教學.［2］本文在HPM的視角下，以函數(shù)概念的教學為例，試圖探索符合學生認知發(fā)展水平且順應函數(shù)歷史發(fā)展規(guī)律的教學設計，為今后教師在教學中融入數(shù)學史提供參考.

二、“函數(shù)概念”發(fā)展簡史

函數(shù)一詞，最初是在德國數(shù)學家萊布尼茨（1646～1716年）1673年的一篇手稿里使用的，但它僅表示關于曲線上點的橫坐標與縱坐標，以及一些線段（如弦、切線、法線等）的長.［3］在17世紀，大部分函數(shù)都是被當做曲線來研究的，這是函數(shù)思想的最初萌芽.

1718年瑞士數(shù)學家約翰·伯努利（1667～1748年）把函數(shù)定義為“由任一變量和常數(shù)的任何形式構成的量”.［4］他強調(diào)函數(shù)要用公式來表示.

18世紀中期著名數(shù)學家歐拉（1707～1783年）在著作《無窮小分析引論》中指出“常量是指永遠保持同一值的確定的量”，“變量是指不取定值的量或者說通用的量，它本身蘊含了一切通用的值”，“一個變量的函數(shù)是由該變量和一些數(shù)或常量以任何一種方式構成的解析表達式”.［5］歐拉用“解析表達式”表述變量之間互相依賴的變化關系，這使人們對函數(shù)概念的認識前進了一大步.

1797年法國數(shù)學家拉格朗日（1736～1813年）進一步給出了函數(shù)的一個定義：“所謂一個或幾個量的函數(shù)是指任意一個適于計算的表達式，這些量以任意方式出現(xiàn)于表達式中，表達式中可以有（也可以沒有）其他一些被稱為具有給定和不變值的量，而函數(shù)的量值可以取所有可能的量值.因此在函數(shù)中，我們僅考慮那些假定是變化的量而不去關心可能包含在其中的常數(shù)”.［6］直到18世紀后半期，人們?nèi)匀徽J為函數(shù)必須要有解析表達式.

1821年法國數(shù)學家柯西（1789～1857年）給出函數(shù)的定義：“當給定了變量中的一個值，就可以決定所有其他變量的值的時候，人們通常想象這些量是用其中的一個來表示的，這時這個量就取名為自變量，而由這個自變量表示的其他量就叫做這個自變量的函數(shù)”.［4］在柯西的定義中，首先出現(xiàn)了自變量一詞，同時指出對函數(shù)來說不一定要有解析表達式.

1837年德國數(shù)學家狄利克雷（1805-1859年）指出：“如果對于給定區(qū)間上的每一個x的值有唯一的y值同它對應，那么y就是x的一個函數(shù)，至于在整個區(qū)間上y是否按照一種或多種規(guī)律依賴于x，或者y依賴于x是否可用數(shù)學運算來表示，那都無關緊要”.［7］這個定義與現(xiàn)行初中教科書中的函數(shù)定義很接近.它指出函數(shù)的本質(zhì)就是“單值對應”，并且說明函數(shù)關系不一定需要用解析式表示.這是人們對函數(shù)概念認識上的一次飛躍.

20世紀初誕生的集合論被人們接受之后，函數(shù)概念再次發(fā)展.1939年布爾巴基學派用集合論的語言重新敘述了函數(shù)的定義：“設E和F是兩個集合，它們可以不同，也可以相同.E中的一個變量x和F中的變量y之間的一個關系稱為一個函數(shù)，如果對每一個x∈E，都存在唯一的y∈F，它滿足跟x的給定關系，那么我們稱這樣的‘關系’為函數(shù)”.［4］這個定義與現(xiàn)行高中教科書中的函數(shù)定義很接近.它是從集合論的角度闡述，用數(shù)學自身的邏輯及其特有的抽象，使函數(shù)概念更加嚴密.

縱觀函數(shù)概念的發(fā)展歷程，人們先后經(jīng)歷了“幾何說”、“代數(shù)說”、“對應說”、“集合說”四個階段，才逐步完善了函數(shù)概念，其中從“代數(shù)說”到“對應說”是關鍵，也是最困難的.在初中階段的函數(shù)概念教學中，我們可以適當?shù)亟梃b函數(shù)概念發(fā)展史，改善教學，幫助學生更好地理解函數(shù).

三、“函數(shù)概念”教學設計

1.引言

生活中萬物皆變，有位置的變化，也有量的變化.如何把握這些量之間的變化規(guī)律呢？我們就需要學習新的知識：函數(shù).你們知道歷史上數(shù)學家對函數(shù)概念的研究都經(jīng)歷了哪些階段？今天我們就沿著數(shù)學家的足跡去探究函數(shù)的概念.

預設意圖：通過引言教學，回顧前面所學知識，提出本節(jié)課需要學習的內(nèi)容，并有機融入函數(shù)概念的數(shù)學史，激發(fā)學生的學習興趣.

2.函數(shù)概念的第一次抽象認識——“代數(shù)說”

問題1：列車以200km/h的速度勻速從甲地駛往乙地.當行駛的時間為t h時，行駛的路程為s km.

（1）變量s與變量t之間有怎樣的關系？

預設：s＝200t，s隨t的增大而增大.

（2）s是怎樣隨著t的變化而變化的？能用數(shù)值加以說明嗎？

預設：如表1.

表1

（3）當t取定一個值時，s的值會怎樣？你是怎么知道的？

預設意圖：以學生熟悉的行程問題為背景，引導學生感受問題中兩個變量之間的依賴關系，啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)該問題中的兩個變量，當給定一個變量的值時，另一個變量就能用解析式確定唯一的值與其對應，初步體會函數(shù)的意義.

問題2：仿照問題1中分析變量關系的過程，分析（1）、（2）中變量之間各有怎樣的關系？

（1）某種礦泉水，每瓶價格為1.2元，當銷售量為x瓶時，銷售金額為y元；

（2）把水滴激起的波紋看成一個不斷向外擴展的圓，當它的半徑為R時，它的面積為S.

問題3：上述問題中變量之間的關系有何共同特點？

預設意圖：解決問題1后，引導學生獨立對問題2中（1）、（2）變量之間的對應關系進行分析，同時發(fā)現(xiàn)這些實例中的兩個變量都能用解析式表示其對應關系，再啟發(fā)學生對函數(shù)概念進行第一次抽象認識.

3.函數(shù)概念的第二次抽象認識——“對應說”

瑞士數(shù)學家約翰·伯努利認為函數(shù)必須要用數(shù)學關系式來表示.但是大數(shù)學家柯西卻提出了質(zhì)疑：

問題4：下列問題中的變量之間的關系是否具有上述特點？有什么異同？

（1）某廠某種產(chǎn)品的月產(chǎn)量統(tǒng)計如表2.

表2

圖1

預設意圖：此教學環(huán)節(jié)為學生提供了兩個不能用解析式表示變量之間對應關系的實例，并引導學生體會當給定一個變量的值時，除了借助解析式，通過表格或圖像也可以唯一確定另一個變量的值，凸出函數(shù)本質(zhì)屬性，剝離“用解析式表示變量關系”這一非本質(zhì)屬性，并對函數(shù)概念進行第二次抽象認識.

問題5：德國數(shù)學家狄利克雷也認為函數(shù)關系不一定需要用數(shù)學關系式表示.他還舉出了一個例子：y＝人們稱之為狄利克雷函數(shù).在實際生活中，存在著大量的函數(shù)例子，請你舉出一些例子.

預設意圖：學生通過自己身邊的例子，再次感受函數(shù)概念的意義，在不同之中尋找相同，經(jīng)歷從特殊到一般、從具體到抽象、從分散到概括的過程，為最終概括函數(shù)概念作進一步準備.

問題6：再次歸納上述所有例子中變量之間的關系具有什么共同特點？

預設意圖：在上述活動的基礎上，引導學生分步概括、逐步抽象出函數(shù)的本質(zhì)屬性，形成函數(shù)概念.

4.函數(shù)概念的辨析

問題7：下列問題中，兩個變量之間是函數(shù)關系嗎？

（1）用一根2m的鐵絲圍成一個長方形，當它的寬為x m時，其長為y m；

（2）如圖2，搭1條小魚需要8根火柴棒，每多搭1條小魚就要增加6根火柴棒.如果搭n條小魚時，則需要火柴棒S根；

圖3

圖2

（3）兩個變量x、y滿足關系式y(tǒng)2=x；

（4）變量y與變量x的關系如圖3.

預設意圖：通過一些簡單的實例，鞏固函數(shù)概念的學習，規(guī)范數(shù)學語言的書寫與表達.解決問題（3）、（4）時，追問y是x的函數(shù)嗎？x是y的函數(shù)嗎？通過正反兩方面的例子，深化對函數(shù)概念的理解.

問題8：如圖4，已知B中的實數(shù)與A中的實數(shù)之間有著某種對應關系.如果用y表示B中的實數(shù)，用x表示A中的實數(shù)，那么y是x的函數(shù)嗎？為什么？

預設意圖：一方面幫助學生更深層次地理解函數(shù)概念中單值對應的含義，另一方面有意滲透函數(shù)概念的“集合說”，為后續(xù)函數(shù)概念的學習作鋪墊.

5.小結

本節(jié)課我們模擬了數(shù)學史上函數(shù)概念發(fā)展的過程，分步概括、逐步抽象出函數(shù)的概念.

（1）舉例說明什么是函數(shù)？

（2）你認為函數(shù)概念中最關鍵的語句是什么？并說說對它的理解.

預設意圖：回顧函數(shù)概念，并引導學生舉例說明函數(shù)概念的意義.

四、兩點感悟

1.以史為鑒，重構課堂

每位學生的認知發(fā)展可能各有不同，但總體上都遵循人類認知的一般規(guī)律.教學中，我們可以借鑒數(shù)學史，啟示教學，優(yōu)化教學.但有時學生對歷史上的問題可能會感到陌生與困難，就需要我們重構歷史順序，從學生現(xiàn)有的知識與經(jīng)驗出發(fā)，由簡單到復雜對問題進行編排.比如，在歷史上人們最先認為函數(shù)就是一條曲線.但學生在學習函數(shù)之前沒有接觸過圖像，他們熟悉的是用字母表示數(shù)、公式、方程等.于是教學中，筆者調(diào)整了順序，先引導學生認識函數(shù)的“代數(shù)說”，再逐步介紹圖像確定函數(shù)關系的方法.這樣的調(diào)整不僅遵循學生的認知發(fā)展水平，也符合學生學習數(shù)學的心理規(guī)律.

2.以史為鑒，提升教學

作為數(shù)學教師，應該具有一定的數(shù)學史知識，了解一些核心知識的起源與發(fā)展.在了解歷史的過程中，我們會清楚知道數(shù)學家們曾遇到哪些困難，犯過怎樣的錯誤.這些都有利于我們了解學生的學習狀況，有利于我們在教學中抓住重點、突破難點.比如，函數(shù)概念從“代數(shù)說”到“對應說”經(jīng)歷了百年之久，數(shù)學家們通過一次又一次的修正才得以完善.由此可知，本節(jié)課的重點與難點都應該是對函數(shù)概念中單值對應含義的理解.教學中，筆者先提供大量正面的實例，通過解析式、表格、圖像幫助學生發(fā)現(xiàn)變量之間“一對一”、“多對一”的對應關系，再結合一些反例深化學生對函數(shù)概念的理解，逐步從“代數(shù)說”過渡到“對應說”，并有意滲透“集合說”，最終完善對函數(shù)概念的認識.

1.Fauvel J，Van Maanen J.History in Mathematics Education［M］.Dordrecht：Kluwer Academic Publishers，2000.

2.張俊忠.初中數(shù)學發(fā)生教學法的策略與應用——以北師大版“字母表示數(shù)”為例［J］.中學數(shù)學（下），2015（3）.

3.林永偉，葉立軍，編著.數(shù)學史與數(shù)學教育［M］.杭州：浙江大學出版社，2004.

4.莫里斯·克萊因.古今數(shù)學思想（第3、4冊）［M］.上海：上?？茖W技術出版社，1979.

5.萊昂哈德·歐拉.無窮小分析引論（上下）［M］.太原：山西教育出版社，1997.

6.Dieter Ruthing.函數(shù)概念的一些定義——從Jon. Bernoulli到N.Bourbaki［J］.數(shù)學譯林，1986（1）.

7.A.吉特爾曼.數(shù)學史［M］.北京：科學普及出版社，1987.H