盧家寬，梁美花，王鳳娟，吳開迅

(廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣西 桂林 541004)

線性代數(shù)是研究有限維線性空間的理論與方法的一門學(xué)科，是高等院校里理工農(nóng)醫(yī)等專業(yè)最為重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程之一，也是數(shù)學(xué)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程，是考研必考科目之一。瑞典數(shù)學(xué)家戈丁在其名著《數(shù)學(xué)概觀》中說:“如果不熟悉線性代數(shù)的概念，要去學(xué)習(xí)自然科學(xué)，現(xiàn)在看來就和文盲差不多?！保?］

線性空間與線性變換是線性代數(shù)的主要研究對象，而矩陣是線性代數(shù)的重要工具和核心思想。線性代數(shù)的許多問題都可以用矩陣的語言來描述，并轉(zhuǎn)化為矩陣的運算，也只有如此，才能達到最為有效的處理。例如文獻［2－3］對此都有體現(xiàn)。

設(shè)矩陣A，B∈Mn(K)，如果存在可逆矩陣P∈Mn(K)，使得B=P－1AP則稱矩陣B與A相似。記作A～B.矩陣的相似關(guān)系是矩陣間的一種重要關(guān)系，在矩陣理論和其他學(xué)科有許多應(yīng)用，許多學(xué)者對相關(guān)問題進行了研究。例如，R.Bhatia［4］研究了兩個n階方陣A，B的乘積AB和BA的許多相同的重要性質(zhì)，比如它們的特征值、特征多項式以及秩和行列式相同。我們自然地考慮AB和BA是否相似的問題，事實上，已經(jīng)有人討論了該問題，但未給出完整的解答［5］。李亦芳等［6］討論了相似矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用，而丁春榮等［7－8］研究了相似關(guān)系在計算機理論中的應(yīng)用。

由線性代數(shù)的理論，我們知道:取定線性空間的一個基，那么線性變換在該基之下對應(yīng)唯一的矩陣。受此啟發(fā)，本文定義線性變換的相似關(guān)系:

定義1.1 設(shè)σ，τ∈HomK(V)，如果存在可逆的 ρ∈HomK(V)，使得τ=ρ－1σρ，則稱 τ與 σ 相似，記作σ ～τ.

本文首先給出相似線性變換的一些基本性質(zhì)，然后討論線性變換的特征定理和相似不變量。

本文使用到主要符號約定:設(shè)K為數(shù)域，數(shù)域K上所有n階矩陣的全體記為Mn(K).令V為數(shù)域K上的n維線性空間，V的所有線性變換的全體記為HomK(V).由線性代數(shù)的理論，我們知Mn(K)?HomK(V).在本文里，除非有特別說明，所考慮的線性空間都是n維的，方陣都是n階的。

1 相似線性變換的性質(zhì)

這一節(jié)給出相似線性變換的若干基本性質(zhì)。首先，線性變換的相似關(guān)系是一種等價關(guān)系，即具有以下性質(zhì):

(1)自反性:對任意σ∈HomK(V)，σ與它自己相似，即σ～σ，這是因為σ=ι－1σι，其中ι是V的恒等變換;

(2)對稱性:對任意 σ，τ∈HomK(V)，如果 σ ～τ，那么 τ～σ，這是因為 τ =ρ－1σρ蘊含 σ =(ρ－1)－1τρ－1，其中ρ是V的可逆變換;

(3)傳遞性:對任意 σ，τ，φ∈HomK(V)，如果 τ～σ，σ ～φ，那么 σ ～φ. 事實上，由 τ=ρ－1σρ，σ =φ－1φφ，有 τ=(φρ)－1φφρ.

關(guān)于相似線性變換，還有以下性質(zhì)。

命題2.1 若σ～τ，則αm～τm，其中m是非負整數(shù)。

證明:設(shè) σ ～ τ，則存在可逆的 ρ，使得 τ=ρ－1σρ. 于是

故 αm～τm.證畢。

命題2.2 若σ～τ，則kα～kτ，其中k是非負整數(shù)。

證明:設(shè) σ ～ τ，則存在可逆 ρ，使得 τ=ρ－1σρ. 于是

故kσ ～kτ.證畢。

更一般地，有如下結(jié)論。

命題2.3 設(shè) σ ～τ，f(x)∈K［x］，則有f(σ)～f(τ).

證明:因為 σ ～ τ，所以存在可逆線性變換 ρ，使得 τ=ρ－1σρ. 則有 τi=(ρ－1σρ)i=ρ－1σiρ.

設(shè)f(x)=a0+a1x+…+anxn.于是，

即f(σ)～f(τ).證畢。

注記2.4 設(shè) σ ～τ，f(x)，g(x)∈K［x］，則f(σ)與g(τ)不一定相似。

取f(x)=a0+a1x+ … +anxn，g(x)=b0+b1x+… +bnxn.

取a0=a1=…=an=0，即f(x)=0，于是f(σ)=0.任取一個可逆線性變換φ，則φ－1f(σ)φ=0.

當b0，b1，…，bn不全為零時，有g(shù)(x)≠0，使得g(τ)≠0. 即任取 φ，都有 φ－1f(σ)φ≠g(τ).所以f(σ)與g(τ)不相似。

2 相似線性變換的特征定理

下面的定理指出兩個線性變換相似當且僅當它們在線性空間的某個基之下的矩陣相似。這為后面討論線性變換的相似不變量提供了工具。

定理3.1 設(shè)σ，τ是n維線性空間V上的兩個線性變換，且它們在V的基α1，α2，…，αn下的矩陣分別為 A，B，則A～B的充分必要條件是σ～τ.

證明:如果τ與σ 相似，則存在可逆的ρ∈HomK(V)，使得τ =ρ－1σρ. 設(shè)ρ在基α1，α2，…，αn之下的矩陣為P.則有B=P－1AP，即A與B相似。

反之，設(shè) A ～B，即存在可逆n階矩陣 P，使得 P－1AP=B.對V的任意向量 α=(α1，α2，…，αn)x，令

ρ(α)=(α1，α2，…，αn)Px，其中x是 α 在 α1，α2，…，αn之下的坐標列。則易檢驗:ρ是V的線性變換，且 ρ在α1，α2，…，αn之下的矩陣為 P. 進一步，我們有故 ρ－1σρ=τ，即 τ與 σ 相似。證畢。

由線性代數(shù)的知識知:數(shù)域K上兩個矩陣A，B相似當且僅當存在線性空間的線性變換σ以及兩個基，使得σ在這兩個基之下的矩陣分別為A，B(例如，見參考文獻［9］)。對線性變換的相似關(guān)系也有類似的結(jié)論。

定理3.2 設(shè) σ，τ∈HomK(V)，若 τ與 σ 分別在V的基 α1，α2，…，αn和 β1，β2，…，βn之下的矩陣相同，則σ與τ相似。

證明:設(shè) τ 與 σ 分別在V的基 α1，α2，…，αn和 β1，β2，…，βn之下的矩陣都為 A，且

則σ在β1，β2，…，βn之下的矩陣為B=P－1AP.由定理3.1知，σ與τ相似。證畢。

定理3.2的逆命題也成立。

定理3.3 設(shè) σ，τ∈HomK(V)，若 τ與 σ 相似，則存在V的基 α1，α2，…，αn和 β1，β2，…，βn，使得 σ 在α1，α2，…，αn之下的矩陣恰好等于 τ在 β1，β2，…，βn之下的矩陣。

證明:任取V的基 α1，α2，…，αn.設(shè) σ 在 α1，α2，…，αn之下的矩陣為 A.由于 τ 與 σ 相似，故可設(shè) τ=ρ－1σρ，其中，ρ∈HomK(V). 令 ρ在 α1，α2，…，αn之下的矩陣為 P. 則 P 可逆。令

則 β1，β2，…，βn是V的基，且 ρ在 β1，β2，…，βn之下的矩陣也為 P. 于是

即 σ 在 β1，β2，…，βn之下的矩陣為 A. 證畢。

定理3.2和3.3合起來敘述成:

定理3.3 兩個線性變換相似的充分必要條件為它們在線性空間的兩個基下的矩陣相同。

3 線性變換的相似不變量

由線性代數(shù)理論知:設(shè)σ∈HomK(V).如果存在V的非零向量ξ，使得σ(ξ)=λξ，則稱λ為σ的一個特征值，而非零向量ξ稱為σ的屬于特征值λ的一個特征向量。規(guī)定:Vλ={ξ∈V|σ(ξ)=λξ}，則易見Vλ是V的子空間，稱為V的屬于λ的特征子空間。

特征值、特征向量是數(shù)學(xué)里非常重要的概念之一，不少文獻對此有討論，如文獻［10］。下面討論相似線性變換的特征值、特征向量之間的聯(lián)系。

定理4.1 設(shè)σ，τ為n維線性空間V上的線性變換，且有σ～τ，那么σ，τ有相同的特征值。

證明:如果σ與τ相似，則由定理3.1知，σ與τ在V的某個基α1，α2，…，αn之下的矩陣相似。而相似的矩陣有相同的特征值，故σ與τ有相同的特征值。證畢。

另證:如果τ與σ相似，則存在可逆的ρ∈HomK(V)，使得τ=ρ－1σρ.設(shè)λ是σ的任意特征值，α是σ的屬于 λ 的特征向量，即 σ(α)=λα，0≠α∈V. 則 ρτρ－1(α)= λα，即 τρ－1(α)= λρ－1(α). 由于 α≠0，所以ρ－1(α)≠0.這說明λ是τ的特征值，ρ－1(α)是τ的屬于λ的特征向量。反之亦然。證畢。

第二種證明方法略顯繁雜，但從中可以看到:

注記4.2 若σ～τ，則它們的特征向量不一定相同。由于σ～τ，則存在可逆ρ，使得τ=ρ－1σρ.設(shè)σ，τ有相同的特征值 λ。故存在V的非零向量 β，使得 τ(β)=λβ.于是 ρ－1σρ(β)=λβ，即 σ(ρ(β))=λ(ρ(β)).于是ρ(β)≠0是σ的屬于λ的特征向量。取ρ為位似變換，則ρ(β)=kβ，其中k≠0.即得kβ=α.當k≠1時，α≠β.所以σ～τ時，它們的特征向量并不一定相同。

定理4.3 設(shè)σ，τ為n維線性空間V上的線性變換，且α～τ，則它們屬于同一特征值的特征子空間同構(gòu)。

證明:由于σ～τ，則存在可逆ρ，使得τ=ρ－1σρ.設(shè)σ，τ有相同的特征值λ.故存在V的非零向量β，使得 τ(β)=λβ. 于是 ρ－1σρ(β)=λβ，即σ(ρ(β))=λ(ρ(β)). 于是 ρ(β)≠0 是 σ 的屬于 λ 的特征向量。因為ρ可逆，故ρ為雙射線性變換。于是ρ為α的特征子空間到τ的特征子空間的同構(gòu)映射，所以α的特征子空間與τ的特征子空間同構(gòu)。

［1］戈丁.數(shù)學(xué)概觀［M］.胡作玄，譯.北京:科學(xué)出版社，2001.

［2］王卿文.線性代數(shù)核心思想及應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，2013.

［3］Sheldon Axler.Linear algebra done right［M］.New York:Springer－ Verlag Inc，1997.

［4］R Bhatia.Eigenvalues ofABandBA［J］.Resonance，2002(7):88 －90.

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［6］李亦芳，張環(huán)理，張丹.相似矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用［J］.河南教育學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2005，14:11－12.

［7］丁春榮，李龍澎.基于相似關(guān)系向量的改進ROUSTIDA算法［J］.計算機工程與應(yīng)用，2014，50:133－136.

［8］鄒萬杰，陸國東，陸進.基于殘余力向量的框架損傷直接識別法［J］.廣西科技大學(xué)學(xué)報，2014，25:21－30.

［9］易忠.高等代數(shù)與解析幾何［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2007.

［10］趙展輝.分塊三角矩陣的一類特征子空間［J］.廣西工學(xué)院學(xué)院，1995，6:1－4.