董景章（河北省隆堯縣教育局055350）

被除數(shù)與除數(shù)概念混淆的深入探究

董景章（河北省隆堯縣教育局055350）

小學(xué)生認(rèn)知有限，在學(xué)習(xí)除法時(shí)，經(jīng)常出現(xiàn)被除數(shù)與除數(shù)混淆的情況。一字之差，卻反映出概念的本質(zhì)不同，映射出數(shù)學(xué)的科學(xué)與嚴(yán)謹(jǐn)，為避免產(chǎn)生這樣的類似錯(cuò)誤，本文給出了一些啟示與方法，以供參考。

被除數(shù)除數(shù)

在除法運(yùn)算中，被除數(shù)與除數(shù)在除法運(yùn)算中，是不可回避的兩個(gè)重要概念。在除法算式中，由于混淆這兩個(gè)概念，在實(shí)際解題時(shí)常常出現(xiàn)錯(cuò)誤。學(xué)生為什么會(huì)對(duì)看似簡單的概念分辯不清呢？怎樣防止學(xué)生混淆這些概念呢？筆者以下談?wù)勛约旱拇譁\認(rèn)識(shí)。

一、對(duì)比除法與減法，重視類比思想在辨析概念中的作用

小學(xué)數(shù)學(xué)中的概念是小學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識(shí)，必須讓學(xué)生理解和掌握。然而許多概念的含義相近，本質(zhì)屬性又有所不同，既有共同點(diǎn)又有不同點(diǎn)，學(xué)生往往容易混淆。學(xué)習(xí)除法之前，學(xué)生對(duì)減法已經(jīng)有了比較全面的認(rèn)識(shí)，對(duì)被減數(shù)與減數(shù)這兩個(gè)重要的概念能夠理解并加以辨別。學(xué)生在大腦中已經(jīng)建立起“被減數(shù)－減數(shù)＝差”關(guān)系的數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)，甚至部分學(xué)生在回答三者的關(guān)系時(shí)是脫口而出，學(xué)生對(duì)被減數(shù)與減數(shù)的認(rèn)識(shí)，會(huì)遷移到日后對(duì)被除數(shù)與除數(shù)的認(rèn)識(shí)，所以這是一個(gè)重要的時(shí)間節(jié)點(diǎn)，要讓學(xué)生真正理解被減數(shù)與減數(shù)的概念。在學(xué)習(xí)除法時(shí)，隨意列出一個(gè)減法算式，讓學(xué)生辨別出減法中被減數(shù)與減數(shù)，目的是把被除數(shù)與被減數(shù)、除數(shù)與減數(shù)建立起對(duì)應(yīng)的關(guān)系，加強(qiáng)學(xué)生理解被除數(shù)與除數(shù)的關(guān)系是作用與被作用的關(guān)系。被除數(shù)是在除數(shù)這個(gè)條件的作用下，平均分后產(chǎn)生的結(jié)果。

二、提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，建立數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系

小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不是孤立的，學(xué)生的理解能力直接或間接地影響到學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的程度，因此，我們要重視學(xué)生的語文閱讀水平，對(duì)學(xué)生理解概念以及理解數(shù)量之間的關(guān)系帶來極大地促進(jìn)作用。前蘇聯(lián)教育家蘇霍姆林斯基曾經(jīng)說過：“學(xué)生學(xué)習(xí)越感到困難，他在腦力勞動(dòng)中遇到的困難越多，他就越需要多閱讀。（《給教師的建議》第51頁）”。在語文教學(xué)中，把字句與被字句是語文的基本常識(shí)，如果學(xué)生對(duì)被字句中的有關(guān)知識(shí)掌握得好，也會(huì)幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)被除數(shù)與除數(shù)之間的關(guān)系，加深對(duì)被除數(shù)與除數(shù)的概念的理解。例如，漢語中對(duì)被字句的解釋：被字句是現(xiàn)代漢語的一種句式，用介詞“被”構(gòu)成的表示被動(dòng)意義的句子。其陳述的形式一般是:甲被乙怎么樣。被字句的成立條件:（1）主語是受事，“被”字后的名詞是施事。（2）動(dòng)詞必須是及物動(dòng)詞。有時(shí)“被”字直接用在動(dòng)詞之前，即施事者省略，過去被字句一般用于表達(dá)不幸或不愉快的遭遇，后來突破了這種局限?？谡Z中常用“叫”“讓”“給”替代“被”，仍稱被字句。例如，張三被李四打傷了；小飛的衣服被雨水淋濕了等。學(xué)生在學(xué)習(xí)除法時(shí)，如果有了這些知識(shí)基礎(chǔ)，會(huì)對(duì)理解除數(shù)與被除數(shù)的兩個(gè)抽象概念起到潛移默化的作用。

三、揭示概念的本質(zhì)屬性，深刻理解概念的內(nèi)涵

在四則運(yùn)算中，除法的定義是：已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算，叫做除法。換句話說，若ab=c（b≠0）,已知a（或b）與c，求b（或a），這種運(yùn)算就是除法，用算式表示成：c÷a（或c÷b），其中，c叫做被除數(shù)，a（或b）叫做除數(shù)，運(yùn)算的結(jié)果b（或a）叫做商。

如果在除法中被動(dòng)地讓學(xué)生從除法算式中，死記硬背“÷”前的的數(shù)是被除數(shù)，“÷”后的數(shù)是除數(shù)，只是從表面上認(rèn)識(shí)概念，達(dá)不到理解除法概念的的本質(zhì)，日后可能會(huì)造成在認(rèn)識(shí)被除數(shù)與除數(shù)兩個(gè)概念時(shí)的隱患。所以，對(duì)除法要有深刻的理解，強(qiáng)調(diào)除法是建立在平均分的基礎(chǔ)上，除法有兩種情況：一是把一個(gè)數(shù)量等分成若干份數(shù)，求一份是多少；一是把一個(gè)數(shù)量分成若干份，知道其中一份是多少，求分成的份數(shù)。這樣全面、系統(tǒng)、完整地學(xué)習(xí)除法，理解了概念的本質(zhì)屬性，厘清了被除數(shù)與除數(shù)之間的關(guān)系，增強(qiáng)了對(duì)概念的辨析能力。

還應(yīng)該注意，在學(xué)習(xí)除法時(shí)，不能脫離乘法，單純地為學(xué)習(xí)除法而學(xué)習(xí)，除法的概念是建立在乘法的基礎(chǔ)上。我們常說，除法是乘法的逆運(yùn)算。為更進(jìn)一步地增強(qiáng)對(duì)除法的認(rèn)識(shí)，教學(xué)中要抓住除法與乘法之間的關(guān)系，用連線的方法把除法算式中的被除數(shù)、除數(shù)與乘法中的因數(shù)連接起來，讓學(xué)生充分感受到除法中的被除數(shù)、除數(shù)與乘法算式中的的因數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，把新舊知識(shí)連點(diǎn)成線、穿線結(jié)網(wǎng)，從根本上理解除法中被除數(shù)與除數(shù)的概念內(nèi)涵。

四、適時(shí)點(diǎn)撥、引導(dǎo)，提高學(xué)生的科學(xué)認(rèn)知能力

學(xué)生由于受年齡、思維以及所成長的環(huán)境等諸多因素的影響，在認(rèn)識(shí)事物時(shí)往往加入了自己的主觀臆想，造成認(rèn)知的不科學(xué)、不合理或錯(cuò)誤的結(jié)果。例如，在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)1/2+1/3=1/5的笑話等。在除法中，出現(xiàn)被除數(shù)與除數(shù)混淆的原因，其實(shí)并非偶然，也很正常。例如，在25÷5＝5中，在用豎式計(jì)算時(shí)，除數(shù)在除號(hào)的左邊，被除數(shù)在除號(hào)的里邊，學(xué)生往往主觀認(rèn)為：25被5除，被5除，5就是被除數(shù)，25就是除數(shù)。還有相當(dāng)一部分學(xué)生形成錯(cuò)誤的原因是區(qū)分不清“除”與“除以”的區(qū)別，在25÷5＝5中，有兩種讀法，一是25“除以”5，另一種是5“除”25，前一種讀法學(xué)生基本能夠理解其中的含義，而后一種，學(xué)生往往認(rèn)為5是被除數(shù)，25是除數(shù)，除就是除以，所以，教師教學(xué)中，有意識(shí)地加強(qiáng)對(duì)“除”與“除以”的區(qū)別，否則由于學(xué)生的知識(shí)有限，教師說不清，學(xué)生也就囫圇吞棗，想當(dāng)然地把被除數(shù)當(dāng)成了除數(shù)，除數(shù)當(dāng)成了被除數(shù)。所以建議教師在學(xué)生知識(shí)有限的情況下，要么加以強(qiáng)調(diào)，要么用通俗的語言多舉例說明，從而幫助學(xué)生科學(xué)、正確地理解有關(guān)概念，為學(xué)生后續(xù)地學(xué)習(xí)掃清障礙。

（責(zé)編 張景賢）