林 勝 強(qiáng)

（四川師范大學(xué)政治教育學(xué)院，成都610066）

廣義量詞的現(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣研究

林 勝 強(qiáng)

（四川師范大學(xué)政治教育學(xué)院，成都610066）

在現(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣中，邏輯規(guī)律具有一致性。對(duì)一個(gè)現(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣中的任意一個(gè)廣義量詞施加任意多次的三種形式的否定運(yùn)算，得到的廣義量詞仍然是原來(lái)的現(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣中的廣義量詞。在〈1，1〉類型的廣義量詞所對(duì)應(yīng)的現(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣中，不但廣義量詞與其三個(gè)否定量詞的單調(diào)性之間具有可轉(zhuǎn)換關(guān)系；而且它們所對(duì)應(yīng)的廣義三段論之間具有可化歸關(guān)系。由于〈1，1〉類型廣義量詞在自然語(yǔ)言中普遍存在，所以，此研究對(duì)計(jì)算機(jī)科學(xué)中的知識(shí)表示和知識(shí)推理具有重要的意義。

廣義量詞；對(duì)當(dāng)方陣；單調(diào)性；廣義三段論

20世紀(jì)中期，人們發(fā)現(xiàn)：（1）自然語(yǔ)言中存在很多不能夠用一階邏輯中的標(biāo)準(zhǔn)量詞?和?來(lái)加以定義的，但卻具有非常有趣的數(shù)學(xué)推理性質(zhì)的量詞［1］；（2）自然語(yǔ)言中還存在亞里斯多德三段論以外的大量有效推理［2］，這些推理就是基于廣義量詞的擴(kuò)展三段論的推理。這孕育了廣義量詞理論（generalized quantifier theory）的誕生。廣義量詞包括：（1）一階邏輯的全稱量詞和存在量詞；（2）限定詞；（3）由限定詞a，an，the或其他量化關(guān)系所組成的所有名詞短語(yǔ)。在這里，限定詞是指能夠修飾名詞的語(yǔ)詞，比如：這個(gè)、那個(gè)、紅色的、至少三分之二的，四個(gè)，等等。20世紀(jì)80年代以來(lái)，在Barwise和Cooper［3］、 Keenan［4］、 Van Eijck［5］、 Peters 和Westerst?hl［6］、Szymanik［7］、Chow Ka Fat［8］等人工作的基礎(chǔ)上，廣義量詞理論得到了大力發(fā)展。廣義量詞理論的表達(dá)力就于一階邏輯的表達(dá)力。

廣義量詞理論以集合論為基礎(chǔ)，通過(guò)模型論對(duì)廣義量詞進(jìn)行形式化的解釋，其基本思想就是：根據(jù)廣義量詞的論元所涉及的集合的性質(zhì)，或者集合之間的關(guān)系來(lái)解釋廣義量詞的普遍語(yǔ)義特征［9］。廣義量詞理論處理問(wèn)題的方式直觀簡(jiǎn)潔，其成果普適性很強(qiáng)，便于對(duì)自然語(yǔ)言的信息處理，其研究成果對(duì)于邏輯學(xué)、理論語(yǔ)言學(xué)、計(jì)算語(yǔ)言學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等交叉領(lǐng)域都有著重要的意義。在本文中：用A、B、C表示廣義量詞所涉及的論元所組成的集合，用E、F表示所討論的論域；廣義量詞用其對(duì)應(yīng)的英語(yǔ)來(lái)表示；若無(wú)特別說(shuō)明，量詞都是指廣義量詞。

需要特別說(shuō)明的是，廣義量詞理論和本文中研究的“量詞”都是指“廣義量詞”，它們與漢語(yǔ)語(yǔ)言學(xué)中的“量詞”是完全不同的兩個(gè)概念。按張曉君的觀點(diǎn)：大致說(shuō)來(lái)，漢語(yǔ)語(yǔ)言學(xué)家認(rèn)為的“表示事物或動(dòng)作單位”的“量詞”與數(shù)詞、指代詞組成的量詞短語(yǔ)，就相當(dāng)于英語(yǔ)語(yǔ)言中指稱名詞短語(yǔ)中的量化詞項(xiàng)的“限定詞”；對(duì)漢語(yǔ)語(yǔ)言中的量詞短語(yǔ)或名詞短語(yǔ)進(jìn)行語(yǔ)義解釋后就得到了集合論中的廣義量詞，漢語(yǔ)中的“專有名詞”，如張三、李四也是廣義量詞。自然語(yǔ)言中的限定性詞語(yǔ)和已經(jīng)名詞化的詞語(yǔ)也是廣義量詞，自然語(yǔ)言中的一些副詞性詞語(yǔ)，比如：“常常、經(jīng)常、很少、有時(shí)、從不”也是廣義量詞［10］。

一 問(wèn)題的提出

在自然語(yǔ)言中，最為普遍存在的是〈1〉類型量詞和〈1，1〉類型量詞。〈1〉類型量詞表示其論元所組成集合的性質(zhì)，常見(jiàn)名詞短語(yǔ)對(duì)應(yīng)〈1〉類型量詞?！?，1〉類型量詞表示廣義量詞左論元和右論元所涉及的集合之間的二元關(guān)系，絕大多數(shù)限定詞對(duì)應(yīng)〈1，1〉類型量詞。對(duì)〈1〉類型量詞的研究常常可以轉(zhuǎn)化為對(duì)其〈1，1〉類型的親緣量詞的研究，因而本文重點(diǎn)研究〈1，1〉類型量詞。比如“最多五分之一的少年有網(wǎng)癮”這一語(yǔ)句中的名詞短語(yǔ)“最多五分之一的少年”就是〈1〉類型量詞，該量詞表示“最多五分之一的少年”組成的集合具有“有網(wǎng)癮”的性質(zhì)。而這一語(yǔ)句中的限定詞“最多五分之一的”就是〈1，1〉類型量詞，“最多五分之一的”就是“最多五分之一的少年”的親緣量詞。在自然語(yǔ)言中，任何含有〈1，1〉類型量詞Q的量化語(yǔ)句都可以表示為Q（A，B）這樣的三分結(jié)構(gòu)，其中A表示量詞左論元所組成的集合，B表示量詞的右論元所組成的集合。比如“最多五分之一的少年有網(wǎng)癮”可用Q（A，B）表示，其中“最多五分之一的”對(duì)應(yīng)的是〈1，1〉類型量詞Q，A表示論域中所有的少年組成的集合，B表示有網(wǎng)癮的少年組成的集合。在廣義量詞理論中，“最多五分之一的”的真值定義是：（at most 1/5 of the）E（A，B）?｜A∩B｜≤1/5｜A｜，這里的E表示論域，即“最多五分之一的”的語(yǔ)義就是通過(guò)“A與B交集的基數(shù)小于或等于A的基數(shù)的五分之一”來(lái)刻畫的。類似地，語(yǔ)句“所有的人都渴望得到幸?！笨梢员硎緸閍ll（A，B），量詞“所有的”的真值定義是all（A，B）?A?B。

如果一個(gè)量詞在某個(gè)論域上的任意關(guān)系是全關(guān)系（universal relation），這種量詞叫作全量詞，我們用粗體1來(lái)表示。如果一個(gè)量詞在某個(gè)論域上的任意關(guān)系是空關(guān)系（empty relation）時(shí)，這種量詞叫做空量詞，我們用粗體0來(lái)表示。這兩種量詞是非足道（trivial）量詞，其他量詞則是足道（non-trivial）量詞。廣義量詞的主要性質(zhì)有：同構(gòu)閉包性、擴(kuò)展性、駐留性、單調(diào)性、對(duì)稱性、相交性等等。單調(diào)性則是廣義量詞最重要的語(yǔ)義性質(zhì)。由于〈1，1〉類型量詞有兩個(gè)論元，故其單調(diào)性有左右之分。下面定義1中前四種單調(diào)性是廣義量詞的基本單調(diào)性，后四種單調(diào)性叫做斜向單調(diào)性。

定義1［11］47-52：令Q是一個(gè)〈1，1〉類型量詞，對(duì)任意集合A、B、C和論域E、F而言：

（1）Q是右單調(diào)遞增的（記作Mon↑），當(dāng)且僅當(dāng)：若 B?C?E，則 QE（A，B）?QE（A，C）；

（2）Q是右單調(diào)遞減的（記作Mon↓），當(dāng)且僅當(dāng)：若 B?C?E，則 QE（A，C）?QE（A，B）；

（3）Q是左單調(diào)遞增的（記作↑Mon），當(dāng)且僅當(dāng)：若B?C?E，則QE（B，A）?QE（C，A）；

（4）Q是左單調(diào)遞減的（記作↓Mon），當(dāng)且僅當(dāng)：若B?C?E，則QE（C，A）?QE（B，A）。

（5）QE是東南方向單調(diào)遞增的（記作↑SEMon），當(dāng)且僅當(dāng)：若QE（B，A）且B?C?E且B-A＝C-A，則QE（C，A）；

（6）QE是西南方向單調(diào)遞增的（記作↑SWMon），當(dāng)且僅當(dāng)：若QE（B，A）且B?C?E且B∩A＝C∩A，則QE（C，A）；

（7）QE是西北方向單調(diào)遞減的（記作↓NWMon），當(dāng)且僅當(dāng)：若QE（C，A）且B?C?E且B -A＝C-A，則QE（B，A）；

（8）QE是東北方向單調(diào)遞減的（記作↓NEMon），當(dāng)且僅當(dāng)：若QE（C，A）且B?C?E且B∩A＝C∩A，則QE（B，A）。

二 古典對(duì)當(dāng)方陣與現(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣之異同

早在2300多年前，亞里斯多德就對(duì)all、some、no、not all這四個(gè)亞氏量詞有所研究。亞氏三段論可以看作是這四個(gè)〈1，1〉類型量詞的推理性質(zhì)的形式化解釋。一個(gè)三段論具有這樣的形式：

在亞里斯多德工作的基礎(chǔ)上，大家認(rèn)為：一個(gè)有效的三段論可以有假前提，如若前提真而結(jié)論假，那么該三段論就是無(wú)效的，否則，就是有效的三段論。后來(lái)，一些學(xué)者使用對(duì)角線的形式把這些亞氏量詞表示在古典對(duì)當(dāng)方陣中（見(jiàn)下頁(yè)圖1）。

19世紀(jì)末以來(lái)，一些學(xué)者發(fā)現(xiàn)古典對(duì)當(dāng)方陣所描述的邏輯規(guī)律有沖突的地方［12］。例如，no（A，B）不能蘊(yùn)涵現(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣（見(jiàn)下頁(yè)圖2）中的not all（A，B），這是因?yàn)樵诂F(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣中，all沒(méi)有假定主項(xiàng)一定存在，而not all則假定了主項(xiàng)一定存在。但是 no（A，B）確實(shí)蘊(yùn)涵古典意義的 not allei（A，B），這是因?yàn)樵诠诺鋵?duì)當(dāng)方陣中，allei假定了主項(xiàng)一定存在，而not allei沒(méi)有假定主項(xiàng)一定存在。這一假定與現(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣正好相反［6］22-26。此外，古典對(duì)當(dāng)方陣對(duì)指稱空集的表達(dá)式的空詞項(xiàng)的處理不夠充分［13］220-224。然而，古典對(duì)當(dāng)方陣對(duì)于像all、every這些詞的解釋，還是很大程度上達(dá)到了邏輯學(xué)和語(yǔ)言學(xué)的目的。從19世紀(jì)末以來(lái)，現(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣規(guī)定量詞all不假定主項(xiàng)一定存在，而not all則假定主項(xiàng)一定存在?；谝陨线@些原因，為了與現(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣中的all與not all區(qū)分開(kāi)來(lái)，我們?cè)诠诺鋵?duì)當(dāng)方陣中的all與not all都加上了下標(biāo)ei。與古典對(duì)當(dāng)方陣相比較，現(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣的主要優(yōu)點(diǎn)是：一是沒(méi)有邏輯規(guī)律上的沖突，二是能夠揭示出自然語(yǔ)言和邏輯語(yǔ)言中的三種重要的否定形式（即外否定、內(nèi)否定、對(duì)偶否定）之間的相互關(guān)系［14］。

圖1.古典對(duì)當(dāng)方陣

圖2.現(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣

在現(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣中，對(duì)角線兩端的量詞互為外否定（outer negation）量詞，水平線兩端的量詞互為內(nèi)否定（inner negation）量詞，鉛垂直線兩端的量詞則互為對(duì)偶（dual）否定量詞。對(duì)〈1，1〉類型廣義量詞Q而言，令?Q表示其外否定量詞、Q?表示其內(nèi)否定量詞、Qd表示其對(duì)偶否定量詞，則其三種否定量詞的定義［6］92-93是：

定義2：〈1，1〉類型量詞的三種否定運(yùn)算：

Q的對(duì)偶否定就是Q的內(nèi)否定的外否定，或Q的對(duì)偶否定就是Q的外否定的內(nèi)否定。

三 廣義量詞的現(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣研究

在之前論述的基礎(chǔ)上，現(xiàn)在我們就可以給出廣義量詞的現(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣的定義［6］133。

定義3：現(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣：

對(duì)一個(gè)對(duì)〈1，1〉類型或〈1〉類型的廣義量詞Q而言，Q的對(duì)當(dāng)方陣簡(jiǎn)記為square（Q），而且square（Q）＝ ｛Q，?Q，Q?，Qd｝

例如，圖2中的現(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣可以記作square（all）＝ ｛all，not all，no，some｝。每一個(gè)廣義量詞都可以生成一個(gè)現(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣。例如：square（at most n）＝｛at most n，more than n，all but at most n，less than n｝，其中的n為自然數(shù)。因?yàn)椋篴t most n是〈1，1〉類型量詞，令Q＝at most n，根據(jù)定義2（1），得：（?Q）E（A，B）?并非QE（A，B）?并非（at most n）（A，B）?more than n（A，B），所以，?Q＝more than n。根據(jù)定義2（2），得：（Q?）E（A，B）?QE（A，E-B）?（at most n）（A，E-B）?（all but at most n）（A，B），所以 Q?＝ all but at most n。根據(jù)定義 2（3），得：（Qd）E（A，B）??（（Q?）E（A，B））??（all but at most n）（A，B）?less than n（A，B），所以Qd＝less than n。

在現(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣中，對(duì)一個(gè)廣義量詞進(jìn)行這三種形式的否定運(yùn)算，其結(jié)果是封閉的。也就是說(shuō)，對(duì)一個(gè)現(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣中的任意一個(gè)廣義量詞施加任意多次的這三種形式的否定運(yùn)算，得到的廣義量詞仍然是原來(lái)的現(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣中的廣義量詞［6］24-26。例如：在現(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣 square（all）中，???（somed）??＝?（somed）??＝?（somed）＝?all＝not all。

后來(lái)的學(xué)者研究表明，這三種形式的否定在自然語(yǔ)言中都是大量存在的，而且任意一個(gè)廣義量詞都可以產(chǎn)生一個(gè)現(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣。這一點(diǎn)對(duì)古典對(duì)當(dāng)方陣而言是不成立的，因?yàn)橹挥鞋F(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣中的量詞的外否定在古典對(duì)當(dāng)方陣中，而量詞的其他兩種形式的否定形式都不在古典對(duì)當(dāng)方陣中。如果沒(méi)有特殊說(shuō)明，以下的對(duì)當(dāng)方陣都是指現(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣。對(duì)現(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣而言，有如下事實(shí)成立：

事實(shí) 1［6］133-134：

（1）空量詞0與全量詞1所對(duì)應(yīng)的對(duì)當(dāng)方陣相同，即square（0）＝square（1）＝｛0，1｝；

（2）如果Q既不是空量詞，也不是全量詞，那么在Q的對(duì)當(dāng)方陣中的其他三個(gè)否定量詞也既不是空量詞，也不是全量詞；

（3）一個(gè)對(duì)當(dāng)方陣中的每一個(gè)量詞生成的對(duì)當(dāng)方陣都是一樣的。即：如果 Q′∈ square（Q），那么square（Q）＝square（Q′）。

（4）任何一個(gè)對(duì)當(dāng)方陣square（Q），要么有兩個(gè)成員，要么有四個(gè)成員。

文獻(xiàn)［6］僅僅給出了事實(shí)1的（2）（3）（4）的簡(jiǎn)略證明。在此，我們可以給出以下完整的證明。

（1）當(dāng)Q是空量詞時(shí)，即有Q＝0，那么?Q＝?0＝1，Q?＝0?＝1-0＝1，這時(shí)?Q＝Q?＝1；而Qd＝?（Q ?）＝?1＝0，這時(shí) Q＝Qd＝0，所以 square（0）＝｛0，1｝。類似地，當(dāng)Q是全量詞時(shí)，即有Q＝1，則?Q＝?1＝0，Q?＝1?＝1-1＝0，這時(shí)?Q＝Q?＝0，而 Qd＝?（Q?）＝?0＝1，這時(shí) Q＝Qd＝1，所以 square（1）＝｛0，1｝。故，square（0）＝square（1）＝｛0，1｝，即空量詞0與全量詞1所對(duì)應(yīng)的對(duì)當(dāng)方陣相同。

（2）假設(shè)Q既不是空量詞，也不是全量詞，那么就存在論域E，A、B?E，使得QE（A，B），而且存在E′，A′、B′?E′使得，并非QE′（A′，B′）；這對(duì)于對(duì)當(dāng)方陣中的其它量詞也是一樣的。例如，令B1＝E-B，且B2＝E′-B′，則QE（A，E-B1），并非QE′（A′，E′-B2），即（Q?）E（A，B1），并非（Q?）E′（A′，B2），因此Q?也既不是空量詞，也不是全量詞。

（3）這里需要考慮（a）與（b）兩種情況。（a）如果Q是非足道量詞0或1，那么事實(shí)1（1）已經(jīng)證明square（0）＝square（1），故結(jié)論成立。（b）如果Q是足道量詞。例如，我們可以證明 square（Q?）＝square（Qd）。 根據(jù)定義2有：?（Q?）＝Qd，（Q?）?＝Q，（Q?）d＝?（Q?）?＝?Q，所以square（Q?）＝｛Q?，Qd，Q，?Q｝；再根據(jù)定義2有：?（Qd）＝?（?Q?）?＝Q?，（Qd）?＝（?Q?）?＝?Q，（Qd）d＝?（?Q?）?＝Q，square（Qd）＝｛Qd，Q?，?Q，Q｝，可見(jiàn)square（Q ?）＝square（Qd）｛Q?，Qd，Q，?Q｝＝ square（Q）。其他情況證明與此類似。

（4）由于任意廣義量詞與它的外否定量詞是不同的，因而在對(duì)當(dāng)方陣中最少存在兩個(gè)量詞?，F(xiàn)在只需要考慮（a）與（b）兩種情況：（a）當(dāng)?Q≠Q(mào)?時(shí)，Qd＝?Q?，即Qd是Q?的外否定，那么Qd≠Q(mào)?，即此時(shí)Q≠?Q≠Q(mào)?≠Q(mào)d，這時(shí)對(duì)當(dāng)方陣中就有四個(gè)成員。（b）當(dāng)?Q＝Q?時(shí)，Qd＝?Q?＝Q??＝Q，這時(shí)對(duì)當(dāng)方陣就只有兩個(gè)成員。根據(jù)（1）的證明可知，這種情況是存在的。因此，對(duì)當(dāng)方陣中要么有兩個(gè)成員，要么有四個(gè)成員。結(jié)論得證。

四 同一個(gè)對(duì)當(dāng)方陣中的廣義量詞之間的關(guān)系

在文獻(xiàn)［6］［8］和［13-15］的基礎(chǔ)上，張曉君發(fā)現(xiàn)：在同一個(gè)對(duì)當(dāng)方陣中，不同廣義量詞的單調(diào)性之間有著密切的關(guān)系。例如：對(duì)〈1，1〉類型的廣義量詞而言，在同一個(gè)對(duì)當(dāng)方陣中，不同廣義量詞的單調(diào)性之間具有可轉(zhuǎn)換關(guān)系，即：互為外否定的兩個(gè)量詞的左右單調(diào)性完全相反；互為內(nèi)否定的兩個(gè)量詞的左單調(diào)性相同，右單調(diào)性相反；互為對(duì)偶否定的兩個(gè)量詞的左單調(diào)性相反，右單調(diào)性相同。這一可轉(zhuǎn)換關(guān)系可概括成“外否左右反，內(nèi)否左同右反，對(duì)偶左反右同”［15］673-678。 例如，四個(gè)〈1，1〉類型的亞氏量詞就存在這樣的轉(zhuǎn)換關(guān)系，請(qǐng)參見(jiàn)圖3、圖4。

圖3.“all”的現(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣中量詞的單調(diào)性及其相互關(guān)系

圖4.“most”的現(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣中量詞的單調(diào)性及其相互關(guān)系

在圖3中，↓all↑表示all是右單調(diào)遞增且左單調(diào)遞減的量詞，其外否定量詞not all的左右單調(diào)性正好與它相反，是右單調(diào)遞減且左單調(diào)遞增的，即：↑not all↓，其他與此類似。圖4中的〈1，1〉類型量詞“most”的基本單調(diào)性也滿足這樣的轉(zhuǎn)換關(guān)系；而其斜向單調(diào)性之間也具有一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系，具體地說(shuō)：互為外否定的量詞的東與西、南與北、遞增與遞減正好相反；互為內(nèi)否定的量詞同增同減，只是東與西正好相反；互為對(duì)偶否定的量詞也同增同減，只是南與北正好相反。

正如廣義量詞是亞氏量詞的擴(kuò)展一樣，廣義三段論是亞氏三段論的擴(kuò)展，廣義三段論是指涉及廣義量詞的三段論，也叫擴(kuò)展三段論［16］。經(jīng)過(guò)深入研究，我們發(fā)現(xiàn)：正是由于在同一個(gè)對(duì)當(dāng)方陣中，不同廣義量詞的單調(diào)性之間具有可轉(zhuǎn)換關(guān)系，決定了在同一個(gè)對(duì)當(dāng)方陣中，不同廣義量詞所對(duì)應(yīng)的有效廣義三段論之間具有可化歸關(guān)系。我們還是以自然語(yǔ)言中占絕大多數(shù)的〈1，1〉類型的廣義量詞為例。在此，筆者提出事實(shí)2，并給出其詳細(xì)證明。

事實(shí)2：對(duì)一個(gè)〈1，1〉類型的廣義量詞Q而言，Q是右單調(diào)遞增的，當(dāng)且僅當(dāng)all（B，C）＆Q（A，B）?Q（A，C），當(dāng)且僅當(dāng)all（B，C）＆?Q（A，C）??Q（A，B），當(dāng)且僅當(dāng)all（B，C）＆Q?（A，C）?Q ?（A，B），當(dāng)且僅當(dāng) all（B，C）＆ Qd（A，B）?Qd（A，C）。

證明：先從左到右證明。此證明分（a）（b）（c）（d）四個(gè)步驟。（a）對(duì)一個(gè)〈1，1〉類型量詞 Q而言，假設(shè)Q是右單調(diào)遞增的，根據(jù)定義1（1）右單調(diào)遞增的定義可知，對(duì)于任意的論域E和集合B與C，如果B?C?E，那么QE（A，B）?QE（A，C）。再根據(jù)廣義量詞理論給出的all的真值定義可知，對(duì)于任意的論域E，allE（B，C）?B?C?E。故，此時(shí)有：all（B，C）＆Q（A，B）?Q（A，C）。（b）此時(shí)，繼續(xù)假設(shè)語(yǔ)句all（B，C）成立，對(duì)Q（A，B）?Q（A，C）的兩邊取否定運(yùn)算，可得：?Q（A，C）??Q（A，B），此時(shí)就證明了 all（B，C）＆ ?Q（A，C）??Q（A，B）。（c）又由于Q是右單調(diào)遞增的，根據(jù)其定義可知，對(duì)所有的B?C?E，那么QE（A，B）?QE（A，C）。根據(jù)定義2（2）內(nèi)否定的定義可知，（Q?）E（A，C）?QE（A，E-C），（Q?）E（A，B）?QE（A，E-B）。也就是說(shuō)，內(nèi)否定只對(duì)其右論元取補(bǔ)運(yùn)算，對(duì)左論元沒(méi)有影響，這就相當(dāng)于僅僅對(duì)右論元取外否定運(yùn)算，故由QE（A，B）?QE（A，C），可得QE（A，E-C）?QE（A，E-B），即Q?（A，C）?Q?（A，B），此時(shí)就證明了all（B，C）＆Q?（A，C）?Q?（A，B）。（d）此時(shí)，繼續(xù)假設(shè)語(yǔ)句all（B，C）成立，對(duì)Q?（A，C）?Q?（A，B）的兩邊取否定運(yùn)算，可得：?Q?（A，B）??Q?（A，C），再根據(jù)Qd＝?Q?這一定義可知，Qd（A，B）?Qd（A，C），此時(shí)就證明了all（B，C）＆Qd（A，B）?Qd（A，C）。反方向的證明與此類似。證畢。

例如，由于more than 2/3 of是右單調(diào)遞增的量詞，若令Q＝more than 2/3 of，則?Q＝at most 2/3 of，Q?＝less than 1/3 of，Qd＝at least 1/3 of，根據(jù)事實(shí)2可得：

推論1：more than 2/3 of是右單調(diào)遞增的，當(dāng)且僅當(dāng)all（B，C）＆more than 2/3 of（A，B）?more than 2/3 of（A，C），當(dāng)且僅當(dāng) all（B，C）＆ at most 2/3 of（A，C）?at most 2/3 of（A，B），當(dāng)且僅當(dāng)all（B，C）＆less than 1/3 of（A，C）?less than 1/3 of（A，B），當(dāng)且僅當(dāng)all（B，C）＆ at least 1/3 of（A，B）?at least 1/3 of（A，C）。

也就是說(shuō)，這四個(gè)廣義三段論都是有效推理，而且它們之間具有可化歸關(guān)系。對(duì)此，我們舉一個(gè)自然語(yǔ)言的例子來(lái)加以說(shuō)明。例如，廣義三段論實(shí)例［1］有效，當(dāng)且僅當(dāng)廣義三段論實(shí)例［2］有效，當(dāng)且僅當(dāng)廣義三段論實(shí)例［3］有效，當(dāng)且僅當(dāng)廣義三段論實(shí)例［4］有效：

［1］前提1：所有渴望得到愛(ài)情的人都是心智健全的人。

前提2：超過(guò)三分之二的人都渴望得到愛(ài)情。

結(jié) 論：超過(guò)三分之二的人都是心智健全的人。

［2］前提1：所有渴望得到愛(ài)情的人都是心智健全的人。

前提2：最多三分之二的人是心智健全的人。

結(jié) 論：最多三分之二的人渴望得到愛(ài)情。

［3］前提1：所有渴望得到愛(ài)情的人都是心智健全的人。

前提2：不到三分之一的人是心智健全的人。

結(jié) 論：不到三分之一的人渴望得到愛(ài)情。

［4］前提1：所有渴望得到愛(ài)情的人都是心智健全的人。

前提2：最少三分之一的人渴望得到愛(ài)情。

結(jié) 論：最少三分之一的人是心智健全的人。

綜上所述，廣義量詞的現(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣具有邏輯一致性。對(duì)一個(gè)現(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣中的任意一個(gè)廣義量詞施加任意多次的三種形式的否定運(yùn)算，得到的廣義量詞仍然是原來(lái)的現(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣中的廣義量詞。對(duì)自然語(yǔ)言中占絕大多數(shù)的〈1，1〉類型的廣義量詞而言，在同一個(gè)對(duì)當(dāng)方陣中，不僅不同廣義量詞的單調(diào)性之間具有可轉(zhuǎn)換關(guān)系，而且不同廣義量詞所對(duì)應(yīng)的有效廣義三段論之間具有可化歸關(guān)系。由于廣義量詞理論進(jìn)行自然語(yǔ)言信息處理的方式直觀簡(jiǎn)潔，其研究成果有利于計(jì)算機(jī)的知識(shí)表示和知識(shí)推理，因此我們有必要加強(qiáng)研究。

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［責(zé)任編輯：張 卉］

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1000-5315（2015）01-0015-06

2014-08-12

國(guó)家社科基金重大項(xiàng)目“應(yīng)用邏輯與邏輯應(yīng)用研究”（14ZDB014）。

林勝?gòu)?qiáng)（1963—），男，四川隆昌人，四川師范大學(xué)政治教育學(xué)院副教授，主要從事語(yǔ)言邏輯和哲學(xué)邏輯的研究。