艾芳洋，畢勝山，吳江濤

(西安交通大學(xué) 熱流科學(xué)與工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710049)

全輪廓擬合懸滴法表面張力實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

艾芳洋，畢勝山，吳江濤

(西安交通大學(xué) 熱流科學(xué)與工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710049)

摘要：研制了懸滴法表面張力實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，溫度測量范圍為283.15~323.15 K，溫度測量誤差不超過±0.5 K. 采用輪廓擬合法對表面張力進(jìn)行計(jì)算，在VC++環(huán)境下分別用坐標(biāo)輪換法和Nelder-Mead單純形法進(jìn)行了編程實(shí)現(xiàn). 利用正庚烷和乙醇對實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)進(jìn)行校驗(yàn),結(jié)果表明：2種物質(zhì)的表面張力實(shí)驗(yàn)值與文獻(xiàn)值偏差在±0.2 mN·m-1以內(nèi)，坐標(biāo)輪換法和Nelder-Mead單純形法的計(jì)算結(jié)果一致.

關(guān)鍵詞：懸滴法；輪廓擬合；表面張力

1引言

表面張力是流體的重要熱物理性質(zhì)之一，也是描述表面現(xiàn)象的最主要的物理量. 由于表面現(xiàn)象在石油化工、能源動(dòng)力及生命科學(xué)等領(lǐng)域的廣泛存在，準(zhǔn)確的表面張力數(shù)據(jù)已經(jīng)成為在這些領(lǐng)域開展研究工作必不可少的基礎(chǔ)數(shù)據(jù). 在表面張力的諸多實(shí)驗(yàn)測量方法中，懸滴法具有測量精度高、浸潤性要求低、樣品用量少、適用溫度及壓力范圍大等諸多優(yōu)點(diǎn).

懸滴法測量表面張力的理論基礎(chǔ)是Young-Laplace方程[1-2]，它描述了被界面分開的2種均質(zhì)流體所處的靜力平衡關(guān)系. 1883年，Bashforth和Adams推導(dǎo)出了處于表面張力和重力平衡時(shí)的懸滴輪廓外形的理論方程[3]. 基于此方程，Andreas于1938年提出了選擇平面法[4]，這一方法通過選擇懸滴的特征平面來定義形狀因子，并通過查表的方法得到相關(guān)參量，最終計(jì)算出表面張力. 選擇平面法只需要2個(gè)特征平面的尺寸，操作簡單，但精度較差. 隨著數(shù)字計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，全輪廓擬合懸滴法得到快速發(fā)展. 1969年，Maze和Burnet[5]開發(fā)了用于計(jì)算座滴的表面張力和接觸角的數(shù)值算法，并通過定義目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行參量的尋優(yōu)，這一處理思路被廣泛借鑒. 1983年，Rotenberg等[6]提出了軸對稱液滴形狀分析法(ADSA)，對圖像處理方法及優(yōu)化算法都進(jìn)行了改進(jìn)，使用C語言編寫的計(jì)算程序具有良好的操作性和可移植性，使得該方法的應(yīng)用成果十分豐富. 此外，懸滴法的處理方法還有基于有限元分析的γ-PD-FEM算法[7]以及Song和Springer[8]、Thiessen[9]等人提出的算法. 國內(nèi)有關(guān)懸滴法表面張力測量的研究與國際水平有著一定的差距，且主要集中在對商業(yè)懸滴法表面張力設(shè)備的應(yīng)用上. 高樹棠等[10]利用微懸滴法測定了某些體系的低界面張力，吳愛民等[11]利用懸滴法對高分子熔體界面張力進(jìn)行了測量，宋瑛等[12]利用懸滴法對8個(gè)二元液液系統(tǒng)的表面張力進(jìn)行了研究，討論了界面張力與溫度之間的關(guān)系.

本文在對懸滴法表面張力實(shí)驗(yàn)原理進(jìn)行研究的基礎(chǔ)上，在C++語言平臺，開發(fā)了全輪廓擬合法表面張力算法程序，研制了懸滴法表面張力實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，對實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)進(jìn)行了檢驗(yàn)和誤差分析.

2實(shí)驗(yàn)原理

經(jīng)典的Young-Laplace方程給出了被一界面分開的2種均質(zhì)流體所處的靜力平衡關(guān)系，即

(1)

在表面張力和重力作用下，液滴成拉伸狀態(tài)，如圖1所示. 對懸滴輪廓線上任意一點(diǎn)，由曲率半徑幾何和靜力平衡關(guān)系，推導(dǎo)得到Bashforth-Adams方程：

(2)

其中，x和z分別為橫縱坐標(biāo)，s為弧長，Δρ為懸滴界面密度差，θ為懸滴表面某點(diǎn)切線與X軸的夾角，R0為懸滴端點(diǎn)處的曲率半徑，g為重力加速度.

圖1　懸滴外形幾何示意圖

用R0對x，z和θ進(jìn)行無量綱化，即

(3)

代入式(2)，可得：

(4)

其中β為定義的懸滴形狀因子，表示為

(5)

由圖1又可以得到幾何關(guān)系：

(6)

式(4)和式(6)組成了關(guān)于輪廓點(diǎn)無量綱坐標(biāo)的方程組，對于給定的R0和β，求解方程組，可以得出懸滴的理論曲線. 對式(5)變形可以得到表面張力γ的計(jì)算式：

總之，在網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的驅(qū)動(dòng)下，實(shí)現(xiàn)倒逼新聞傳播教育的轉(zhuǎn)型與創(chuàng)新，無論從培養(yǎng)目標(biāo)的設(shè)定，還是從教學(xué)體系的構(gòu)成和具體教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)上，抑或是在實(shí)踐教學(xué)條件的建設(shè)和教學(xué)方法的更新上，都需要摒棄老觀念老方法，要有“壯士斷腕”的氣概，才能讓我們的教育不負(fù)時(shí)代，不負(fù)使命。

(7)

式中，Δρ和g視為已知參量，R0和β通過全輪廓擬合獲得，從而獲得表面張力.

3全輪廓擬合法

對于式(4)和式(6)組成的方程組，目前并沒有方法可以求得其解析解，本文采用四階Runge-Kutta法進(jìn)行數(shù)值求解，所得數(shù)值解即為懸滴的理論輪廓曲線[13]. 另一方面，將實(shí)驗(yàn)所得的懸滴圖像進(jìn)行圖像處理，提取邊緣之后便得到懸滴的實(shí)際輪廓曲線. 懸滴理論輪廓曲線與實(shí)際輪廓曲線不是完全重合的，將二者的差值定義為目標(biāo)函數(shù)，對此目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求出最優(yōu)的R0和β參量值，代入式(7)中便可求得表面張力值. 目標(biāo)函數(shù)的定義是選用懸滴全輪廓上的數(shù)據(jù)點(diǎn)，區(qū)別于選擇平面法選取某幾個(gè)特殊點(diǎn)的處理方法，因而本文的處理方法稱為全輪廓擬合法，其處理流程如圖2所示，下面將分步驟介紹.

3.1　圖像處理

獲得懸滴圖像之后需要通過圖像處理來獲取實(shí)際輪廓曲線. 圖像處理過程分為：平滑濾波、邊緣檢測、邊緣銳化以及坐標(biāo)提取與變換. 其中，平滑濾波用于去除噪點(diǎn)；邊緣檢測使用Canny算子[14]，Canny算子能夠很好地兼顧抑制噪聲和邊緣的精確定位；邊緣銳化使得邊緣更加規(guī)整、清晰. 如圖3所示.

由于所得到的邊緣圖像是數(shù)字圖像，數(shù)字圖像的處理是從圖像的左上角開始，并逐行逐像素進(jìn)行，也就是說數(shù)字圖像的坐標(biāo)原點(diǎn)位于圖像的左上角. 要便于下一步的目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造及擬合計(jì)算，必須得到以液滴端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)并按逆時(shí)針次序排列的輪廓坐標(biāo)，于是便需要進(jìn)行輪廓坐標(biāo)的排序與變換. 此外，所得數(shù)字圖像的坐標(biāo)值為像素坐標(biāo)(pixel)，必須通過設(shè)定以中間標(biāo)尺來進(jìn)行坐標(biāo)尺度變換，將像素坐標(biāo)變換為實(shí)際尺寸坐標(biāo)(mm). 最后，將經(jīng)過以上處理所得的實(shí)際輪廓坐標(biāo)存儲在預(yù)先定義好的數(shù)組中. 輪廓坐標(biāo)的排序與變換過程如圖4所示.

3.2　目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造

通過解方程組得到懸滴的理論輪廓曲線u(xi，zi)，通過圖像處理得到了懸滴的實(shí)際輪廓U(Xi，Zi)，如圖5所示，u(s)與U(s)并不重合. 定義ei為單個(gè)點(diǎn)的誤差函數(shù)：

圖2　懸滴法的處理流程

(a)原圖　　　　　　　(b)平滑濾波圖

(c)邊緣檢測圖　　　　(d)邊緣銳化圖圖3　懸滴的邊緣檢測

(a)　　　　　　　　　　(b)

(c)　　　　　　　　　　(d)圖4　輪廓坐標(biāo)的排序與變換

圖5　理論曲線與實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的關(guān)系

(8)

于是，全輪廓的誤差函數(shù)為

(9)

其中，wi為權(quán)重因子，一般設(shè)定為1. E是關(guān)于形狀因子β、端點(diǎn)曲率半徑R0、端點(diǎn)坐標(biāo)(x0,z0)及圖像偏轉(zhuǎn)角α的函數(shù). 以E為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行的優(yōu)化是5參量優(yōu)化，且由于包含輪廓的全部坐標(biāo)點(diǎn)，計(jì)算量較大. 本文通過對端點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行準(zhǔn)確定位，能夠在優(yōu)化計(jì)算之前將(x0,z0)設(shè)為常量，通過設(shè)置鉛垂線進(jìn)行角度校準(zhǔn)，將偏轉(zhuǎn)角α設(shè)為0°，因而本文的目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于β和R0的函數(shù)，即

(10)

由于懸滴輪廓的對稱性，一般選取右半輪廓上的點(diǎn)進(jìn)行目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)造，這一處理不會(huì)影響最終的計(jì)算結(jié)果，且能將計(jì)算效率提高1倍以上.

3.3　優(yōu)化算法

目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問題是多維無約束最優(yōu)化問題，解決這一類問題的方法主要有直接法和間接法2類. 直接法直接用函數(shù)值來確定搜索方向；間接法需要通過計(jì)算函數(shù)的一階或二階導(dǎo)數(shù)值來確定搜索方向. 直接法不需要對導(dǎo)數(shù)和Hessian矩陣進(jìn)行求解，因而具有更強(qiáng)的適應(yīng)性，但是維數(shù)較高時(shí)其收斂速度相對較慢. 本文目標(biāo)函數(shù)是二維函數(shù)，使用直接法計(jì)算是完全適用的. 本文使用坐標(biāo)輪換法及Nelder-Mead單純形法來進(jìn)行優(yōu)化求解，對2種算法都在VC++環(huán)境下進(jìn)行了編程實(shí)現(xiàn).

3.3.1坐標(biāo)輪換法

坐標(biāo)輪換法，就是把對n個(gè)變量進(jìn)行尋優(yōu)轉(zhuǎn)化為交替輪換地進(jìn)行單變量尋優(yōu). 選擇初始點(diǎn)X0作為搜索的起點(diǎn)，依次在各個(gè)維度進(jìn)行搜索，每次都設(shè)定1個(gè)參量為變量，其他各個(gè)參量均為常量. 一輪循環(huán)結(jié)束后，判斷是否滿足設(shè)定的收斂條件，若滿足則輸出并結(jié)束循環(huán)，不滿足則以本輪的搜索結(jié)果為起點(diǎn)開始下一輪的循環(huán)，直至滿足收斂條件為止.

3.3.2Nelder-Mead單純形法

1個(gè)單純形就是1個(gè)幾何體，在二維情況下的單純形就是1個(gè)三角形[15]. 單純形法就是通過反射、擴(kuò)張、收縮和多維收縮這幾個(gè)基本步驟不斷地對初始單純形進(jìn)行處理，直至滿足設(shè)定的收斂條件. 迭代的終止條件是單純形各個(gè)頂點(diǎn)函數(shù)值的離差是否小于某一設(shè)定的極小值ε，即

(11)

坐標(biāo)輪換法與Nelder-Mead單純形法的參量預(yù)估值均由選擇平面法計(jì)算得到，選擇平面法是懸滴法的一種非擬合算法，具體計(jì)算過程可參見相關(guān)文獻(xiàn)[4].

4實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

圖6所示為懸滴法實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的基本組成，包括實(shí)驗(yàn)平臺、光源、散光片、懸滴形成裝置、鏡頭、相機(jī)和計(jì)算機(jī)等.

圖6　懸滴法實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

實(shí)驗(yàn)平臺是整個(gè)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的基座，一般由表面平整度高且可準(zhǔn)確調(diào)節(jié)水平度的光學(xué)平臺充當(dāng).

自然光照條件下所拍攝的液滴一般不夠清晰，光源與散光片共同為懸滴提供背景光，使得拍攝到的液滴圖像與背景具有強(qiáng)烈的對比度，便于之后的圖像處理. 光源由艾菲特光電技術(shù)有限公司提供，型號為AFT-BL50.

鏡頭與相機(jī)作為整體，用來進(jìn)行液滴圖像的采集. 相機(jī)與計(jì)算機(jī)相連接，計(jì)算機(jī)上安裝有與相機(jī)相配的圖像采集卡及采集軟件. 使用的相機(jī)為最大可達(dá)1 400萬像素的CMOS相機(jī)MV-1400UC，由維視數(shù)字圖像技術(shù)有限公司提供.

液滴形成部分的裝置包括注射器、平頭針、石英比色皿等，這一部分集成在恒溫室中. 液滴在不銹鋼平頭針針口處形成，平頭針插入密封的石英比色皿中，而比色皿則置于恒溫室的中心. 恒溫室由內(nèi)至外分別是循環(huán)液回路、保溫材料和外殼，其中循環(huán)液回路由導(dǎo)熱性能良好的銅管構(gòu)成，循環(huán)液通過導(dǎo)管由外接的恒溫槽導(dǎo)入并進(jìn)行循環(huán)以控制整個(gè)恒溫室的溫度. 外循環(huán)采用上海衡平儀器儀表廠生產(chǎn)的低溫恒溫槽進(jìn)行控溫，型號DC-4006，溫度波動(dòng)度±0.05 K. 采用銅-康銅溫差電偶作為測溫元件，以Agilent 34970A數(shù)據(jù)采集器作為測溫儀器，溫度測點(diǎn)布置在最接近懸滴溫度的不銹鋼針針口處. 實(shí)驗(yàn)前，對銅-康銅溫差電偶和Agilent 34970A組成測溫系統(tǒng)在Fluke 7073型恒溫槽中在10~80 ℃溫度范圍內(nèi)進(jìn)行了標(biāo)定，標(biāo)定后的溫度測量不確定度小于±0.5 K.

5系統(tǒng)校驗(yàn)與誤差分析

5.1　系統(tǒng)校驗(yàn)

利用正庚烷和乙醇進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的校驗(yàn)，分別用坐標(biāo)輪換法和單純形法進(jìn)行計(jì)算. 計(jì)算結(jié)果如表1所示. 表中的γexp代表實(shí)驗(yàn)中各種方法的計(jì)算值，γref代表作為參考的實(shí)驗(yàn)值，通過NIST REFPROP 9.0[16]獲得. 用于計(jì)算的密度數(shù)據(jù)同樣來源于NIST REFPROP 9.0.

表1　正庚烷及乙醇的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

5.2　誤差分析

DC-4006低溫恒溫槽的溫度波動(dòng)度為±0.05 K，銅-康銅溫差電偶與Agilent 34970A數(shù)據(jù)采集器組成的測溫系統(tǒng)的測溫不確定度為±0.5 K. 對于一般的待測物質(zhì)，溫度變化1 K所引起的表面張力變化小于0.2 mN·m-1，故因溫度測量引起的誤差應(yīng)小于0.11 mN·m-1. 對于本文所測量物質(zhì)的表面張力范圍(γ<50 mN·m-1)，此項(xiàng)的相對誤差小于0.3%.

根據(jù)表面張力的計(jì)算式(7)和誤差傳遞原理[17]可以得到表面張力的相對誤差公式：

(12)

6結(jié)論

研究了懸滴法表面張力的測量方法，確定了懸滴法中的平滑濾波-Canny算子邊緣檢測-邊緣銳化的圖像處理過程以及邊緣坐標(biāo)提取方法以及目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)造方法. 利用坐標(biāo)輪換法和單純形法2種輪廓擬合算法實(shí)現(xiàn)了對目標(biāo)函數(shù)的尋優(yōu). 正庚烷與乙醇的實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，2種方法的計(jì)算結(jié)果具有較好的一致性，單純形法的計(jì)算效率更高. 設(shè)計(jì)了懸滴法表面張力實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，系統(tǒng)的溫度測量范圍是283.15~323.15 K，溫度測量誤差不超過±0.5 K. 通過誤差分析確定實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)測量的相對誤差小于±1.2%. 用正庚烷和乙醇對實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)進(jìn)行了校驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示：系統(tǒng)具有較好的穩(wěn)定性，測量的正庚烷及乙醇表面張力值與文獻(xiàn)值偏差均在0.2 mN·m-1以內(nèi).

參考文獻(xiàn)：

[1]Young T. An essay on the cohesion of fluids [J]. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1805,95:65-87.

[2]Laplace P S. Traité de mécanique céleste [M]. Paris: Courcier, 1805：1-79.

[3]Bashforth F, Adams J C. An attempt to test the theories of capillary action: by comparing the theoretical and measured forms of drops of fluid [M]. London: Cambridge University Press, 1883.

[4]Andreas J M, Hauser E A, Tucker W B. Boundary tension by pendant drops [J]. Journal of Physical Chemistry, 1938,42(8):1001-1019.

[5]Maze C, Burnet G. A non-linear regression method for calculating surface tension and contact angle from the shape of a sessile drop [J]. Surface Science,1969,13(2):451-470.

[6]Rotenberg Y, Boruvka L, Neumann A W. Determination of surface tension and contact angle from the shapes of axisymmetric fluid interfaces [J]. Journal of Colloid and Interface Science, 1983,93(1):169-183.

[7]Dingle N M, Tjiptowidjojo K, Basaran O A, et al. A finite element based algorithm for determining interfacial tension (γ) from pendant drop profiles [J]. Journal of Colloid and Interface Science, 2005,286(2):647-660.

[8]Song B, Springer J. Determination of interfacial tension from the profile of a pendant drop using computer-aided image processing: 1. Theoretical [J]. Journal of Colloid and Interface Science, 1996,184(1):64-76.

[9]Thiessen D B, Chione D J, Mccreary C B, et al. Robust digital image analysis of pendant drop shapes [J]. Journal of Colloid and Interface Science, 1996,177(2):658-665.

[10]高樹棠,張啟桓. 應(yīng)用微懸滴法測定低界面張力[J]. 化學(xué)通報(bào),1983(6):25-31.

[11]吳愛民，孫載堅(jiān). 懸滴法高分子熔體界面張力測量儀[J]. 中國塑料,1994(2):47-52.

[12]宋瑛，田宜靈，肖衍繁，等. 二元液液系統(tǒng)界面張力[J]. 化工學(xué)報(bào),1999(5):620-628.

[13]Neumann A W. Applied surface thermodynamics [M]. New York: CRC Press, 2010.

[14]Canny J. A computational approach to edge detection [J]. Pattern Analysis and Machine Intelligence, IEEE Transactions on, 1986(6): 679-698.

[15]普雷斯，胡健偉. C++ 數(shù)值算法[M]. 北京:電子工業(yè)出版社,2005.

[16]Lemmon E W, Huber M L, McLinden M O. REFPROP 9.0[CP].Boulder, Colorado: NIST, 2010.

[17]楊旭武. 實(shí)驗(yàn)誤差原理與數(shù)據(jù)處理[M]. 北京:科學(xué)出版社,2009.

[責(zé)任編輯：任德香]

Surface tension experiment system with full-profile fitting pendent drop method

AI Fang-yang, BI Sheng-shan, WU Jiang-tao

(Key Laboratory of Thermal Fluid Science and Engineering of Ministry of Education, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

Abstract:A surface tension experiment system using full-profile fitting pendent drop method was built. The system could work at temperatures ranging from 283.15 to 323.15 K and its uncertainty of temperature measurement was better than ±0.5 K. The full-profile fitting was implemented with coordinate alternation method and Nelder-Mead simplex method with VC++. The surface tensions of n-heptane and ethanol were measured with this system. The deviations between experimental data and literature data were less than 0.2 mN·m-1, which proved the reliability and stability of the system. Besides, the analysis of experimental data suggested that both coordinate alternation method and Nelder-Mead simplex method had good convergence and the latter was more computationally efficient.

Key words:pendent drop method; full-profile fitting; surface tension

中圖分類號：O552.421

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1005-4642(2015)05-0001-06

作者簡介：艾芳洋(1989-)，男，湖北崇陽人，西安交通大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院碩士研究生,研究方向?yàn)楸砻鎻埩?通訊聯(lián)系人：畢勝山(1978-)，男，遼寧興城人，西安交通大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院副教授，博士，主要從事熱力學(xué)及流體熱物性研究.

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(No.51276142)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金(No.08143036)

收稿日期：2014-09-16；修改日期：2015-03-20