王　敏

(東北師范大學(xué) 物理學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024)

雙相干點(diǎn)光源的空間干涉

王敏

(東北師范大學(xué) 物理學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024)

摘要：為深入研究雙相干點(diǎn)光源空間干涉的光場(chǎng)分布情況，通過(guò)理論推導(dǎo)給出了三維坐標(biāo)空間下光場(chǎng)的一般數(shù)學(xué)展開式及各個(gè)形狀干涉條紋的成因，并給出了實(shí)驗(yàn)不易觀察的干涉條紋的原因和強(qiáng)度分布的計(jì)算機(jī)模擬圖.

關(guān)鍵詞：邁克耳孫干涉儀；點(diǎn)光源；干涉條紋

1引言

邁克耳孫干涉實(shí)驗(yàn)是一個(gè)重要的大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，通過(guò)該實(shí)驗(yàn)，學(xué)生對(duì)非定域干涉及等厚和等傾干涉現(xiàn)象有了進(jìn)一步的理解和掌握. 隨著邁克耳孫干涉用途的不斷擴(kuò)展，許多關(guān)于邁克耳孫干涉實(shí)驗(yàn)的現(xiàn)象和問(wèn)題引起了更深入地關(guān)注和探討. 本文對(duì)邁克耳孫干涉實(shí)驗(yàn)背后的雙相干點(diǎn)光源空間干涉問(wèn)題進(jìn)行了分析[1-2].

2理論分析

2.1　邁克耳孫干涉實(shí)驗(yàn)

在邁克耳孫的非定域干涉實(shí)驗(yàn)中是讓激光束經(jīng)短焦距透鏡射向分光板，調(diào)整干涉儀即可在光屏上得到干涉條紋. 實(shí)驗(yàn)中采用激光光源實(shí)現(xiàn)光波干涉的方法是分振幅法. 其原理是從入射透明板的激光光束中，經(jīng)過(guò)板的2個(gè)界面多次反射和折射，得到1組反射相干光束和1組透射相干光束[3]. 實(shí)驗(yàn)光路圖如圖1，激光經(jīng)透鏡會(huì)聚后可看成透鏡焦點(diǎn)S的點(diǎn)光源，分別經(jīng)分光板G1、補(bǔ)償板G2、平面反射鏡M1和M2，在平面光屏上呈干涉條紋. 干涉條紋實(shí)際上是虛光源S1和S2(S分別在M1和M2中的像)在空間干涉的結(jié)果. S1和S2相對(duì)空間位置決定著平面光屏上條墳的形狀，實(shí)驗(yàn)調(diào)整M1和M2的相對(duì)空間位置，實(shí)際上改變的是點(diǎn)光源S1和S2的相對(duì)空間位置[4]. 雙相干點(diǎn)光源(S1，S2)在均勻介質(zhì)中的全空間干涉曲面和空間任意平面的交線即光屏上所觀察到的條紋，所以光屏上干涉條紋是S1和S2全空間干涉的局部.

圖1　邁克耳孫干儀上的光路圖

2.2　相干點(diǎn)光源S1和S2全空間干涉曲面方程

圖2　雙相干點(diǎn)光源干涉的幾何關(guān)系

(1)

(2)

將式(1)~(2)代入Δ=|S1P|-|S2P|=r1-r2中，整理可得

4(d2-Δ2)z2-4Δ2(x2+y2)=Δ2(d2-Δ2) .

(3)

對(duì)式(3)進(jìn)一步分析:

1)當(dāng)d2=Δ2時(shí)，式(3)可簡(jiǎn)化為x2+y2=0，即x=0，y=0，z為任意取值，即d為波長(zhǎng)整數(shù)倍時(shí)，z在軸上除線段S1S2外所有點(diǎn)滿足相干相長(zhǎng)；當(dāng)d為半波長(zhǎng)奇數(shù)倍時(shí)，滿足相干相消.

2)當(dāng)d2≠Δ2，以干涉相長(zhǎng)為例，即d≠Δ(Δ=jλ)由上述式(3)可以得

(4)

圖3　雙點(diǎn)光源全空間干涉的干涉場(chǎng)

2.3　光屏處顯示的干涉條紋——干涉場(chǎng)在平面上的分布

雙相干點(diǎn)光源全空間干涉的旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面和某一平面相交的交線即為實(shí)驗(yàn)所觀察到的干涉條紋. 干涉曲面方程和觀察平面方程聯(lián)立得到的是干涉條紋的數(shù)學(xué)表達(dá)式，即平面曲線方程的平面曲線的形狀就是干涉條紋的形狀. 取不同位置處的觀察平面，進(jìn)一步分析得到如下的平面干涉條紋.

1)圓干涉條紋的成因

屏幕處于z=z0處的截面處時(shí)(以亮條紋為例),代入式(4)得

(5)

則干涉條紋為圓條紋，其半徑為

(6)

從式(6)看出，隨j增大，rj減小. 對(duì)式(6)兩邊平方得

(7)

對(duì)式(6)兩邊取微分

(8)

由此，當(dāng)屏幕在z=z0截面上時(shí)是同心圓，條紋間距與d,z0,j,λ相關(guān).

2)直線干涉條紋的成因

屏幕處于x=x0或y=y0的截面處時(shí),(以亮條紋為例)將條件代入式(4)得

(9)

由式(9)知這是1組雙曲線，若干涉級(jí)別很小，即d?jλ時(shí)

(10)

若是觀察視場(chǎng)很小，即d?y0，則由式(10)可得

(11)

式(11)即教材中楊氏雙縫干涉條紋間距的公式，此時(shí)屏幕上呈現(xiàn)直條紋.

3)橢圓和雙曲線干涉條紋的成因

若光屏不在上述2種位置上面時(shí)，則可得到橢圓或雙曲線干涉條紋. 如圖4所示，若觀察屏的法線位于平面內(nèi)，且與屏交于(0,y0,z0)點(diǎn)處，設(shè)屏所在位置上的點(diǎn)到該點(diǎn)的距離為p，與y軸的夾角為θ，則屏上空間所在的點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x,y0+psinθ,z0-pcosθ)，將其代入式(5)得

(12)

圖4　光屏的法線位于zOy平面內(nèi)的幾何關(guān)系

整理得

Δ=jλ,

(13)

式(13)可以看做是變量p和x的二次曲線. 當(dāng)p2和x2前面的系數(shù)同號(hào)時(shí)，曲線為橢圓；當(dāng)p2和x2前面的系數(shù)異號(hào)時(shí)，曲線為雙曲線.

由式(13)可知，出現(xiàn)橢圓條紋的條件為：

即

(14)

若此條件不具備，則將出現(xiàn)雙曲線. 分析式(14)可知，當(dāng)d一定時(shí)，θ越大，則干涉級(jí)次越高，得到的條紋為橢圓[5].

3理論情況與實(shí)際觀測(cè)的對(duì)比分析

3.1　實(shí)際觀測(cè)情況及分析

在實(shí)驗(yàn)中，直條紋和圓條紋都可以在理論分析的平面內(nèi)清晰地觀測(cè)到，如圖5所示. 當(dāng)S1和S2的連線與接收屏垂直時(shí)，觀察到同心圓條紋. 當(dāng)S1和S2的連線與接收屏平行時(shí)， 觀察到直條

紋. 依據(jù)理論分析，該截面的條紋形狀實(shí)際為雙曲線，但是當(dāng)z=0時(shí)，條紋間距符合楊氏干涉條紋間距，而且實(shí)際的光屏很小，屏上雙曲線的曲率很小，故觀察到近乎直線的條紋.

圖5　實(shí)際觀測(cè)的條紋形狀隨位置的變化

實(shí)驗(yàn)中，在理論分析的zOy平面上，無(wú)論光屏如何放置，都觀測(cè)不到橢圓和雙曲線干涉條紋. 對(duì)其進(jìn)行原因分析，實(shí)際情況中因?yàn)楦缮鎯x中的接收屏視場(chǎng)很小，所以觀察到的最多只是橢圓或雙曲線的一部分，也就是弧狀條紋[6]. 用光闌來(lái)解釋，由于干涉區(qū)域受到邁克耳孫干涉儀上的分束板和反射鏡的限制，等效于在點(diǎn)光源和光屏之間加一大小與分束板和反射鏡相同(以最小尺寸為準(zhǔn))的光闌，導(dǎo)致在光屏上觀察到的是有限大小的干涉圖樣,而非雙點(diǎn)光源形成的全空間非定域干涉. 用鏡像法理論解釋，2個(gè)等效的點(diǎn)光源為虛像，從它們發(fā)射出來(lái)的光具有方向性(只朝向光屏方向)，再加上等效光闌的作用，實(shí)際空間中只存在雙點(diǎn)光源模型所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面族的一部分[7]. 所以實(shí)驗(yàn)中無(wú)法在zOy平面上觀察到完整的橢圓和雙曲線.

3.2　利用Matlab軟件模擬驗(yàn)證干涉場(chǎng)在平面上的分布

雖然實(shí)驗(yàn)中很難觀測(cè)到橢圓和雙曲線條紋，但是可以用計(jì)算機(jī)模擬看清這2類條紋. 利用Matlab對(duì)點(diǎn)光源干涉數(shù)學(xué)模型進(jìn)行模擬，根據(jù)點(diǎn)光源空間干涉光強(qiáng)分布公式(假定從2個(gè)點(diǎn)光源發(fā)出的是簡(jiǎn)諧波，且光強(qiáng)不隨著傳播距離增大而減小)，計(jì)算出光強(qiáng)值，再用Colormap和Gray函數(shù)轉(zhuǎn)化為灰度值(灰度值可以代表干涉條紋亮暗，比較直觀),得到的模擬橢圓和雙曲線干涉條紋如圖6所示，模擬圖樣完全符合理論推導(dǎo).

(a)橢圓條紋

(b)雙曲線條紋圖6　雙相干點(diǎn)光源干涉的計(jì)算機(jī)模擬圖

4結(jié)論

雙相干點(diǎn)光源模型所產(chǎn)生的干涉場(chǎng)為旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面族，接收屏所處的位置不同，觀察到的條紋形狀也不同. 理論情況下，條紋形狀有同心圓環(huán)、直線、橢圓、雙曲線. 但是實(shí)際觀測(cè)中，受接收屏視場(chǎng)大小的影響，干涉場(chǎng)在特殊位置的條紋為直線和同心圓環(huán),一般位置為拋物線型二次曲線族.

參考文獻(xiàn)：

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[責(zé)任編輯：郭偉]

Analysis on spatial interference of two coherent point light sources

WANG Min

(School of Physics, Northeast Normal University, Changchun 130024, China)

Abstract:In order to further study the field distribution of spatial interference of two coherent point sources, a generally expanded mathematical formula of light field and the origins of interference fringes in various shapes were given theoretically. The reasons of why the interference fringes were hard to be observed was provided and the computer simulated figures of the intensity distribution was drawn.

Key words:Michelson interferometer; point sources; interference pattern

中圖分類號(hào)：O436.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1005-4642(2015)05-0043-04

作者簡(jiǎn)介：王敏(1992-)，女，內(nèi)蒙古包頭人，東北師范大學(xué)物理學(xué)院2011級(jí)本科生.

收稿日期：2014-06-05；修改日期：2014-10-09