張 波， 曾 京， 董 浩

(西南交通大學牽引動力國家重點實驗室 成都，610031)

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非線性輪對陀螺系統(tǒng)的穩(wěn)定性及分叉研究*

張 波， 曾 京， 董 浩

(西南交通大學牽引動力國家重點實驗室 成都，610031)

針對輪對陀螺效應，運用能量法分析了輪對蛇形運動機理，建立了蛇形運動能量流；基于打靶法分析了非線性輪對陀螺系統(tǒng)的Hopf分叉，并對比分析了陀螺系統(tǒng)和非陀螺系統(tǒng)的分叉解；最后，引入穩(wěn)定性系數(shù)和陀螺力貢獻率，定量分析了陀螺力對蛇形運動穩(wěn)定性的影響。研究結(jié)果表明，在輪對陀螺系統(tǒng)中，陀螺力不做功，但具有增穩(wěn)功能。陀螺力對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響隨速度的增大顯著變大，當輪對高速運行時，陀螺力影響較為顯著。因此，在高速列車穩(wěn)定性分析中應將陀螺力作為一個重點分析對象。

陀螺效應； 蛇形運動能量流； 打靶法； Hopf分叉； 穩(wěn)定性系數(shù)； 陀螺力貢獻率

引 言

隨著高速列車速度的提高出現(xiàn)了一系列的問題，車輛蛇行失穩(wěn)就是其中的一個重要問題。蛇行穩(wěn)定性是鐵路車輛系統(tǒng)輪軌關系本身的固有特性，直接決定了車輛能否高速安全運行。較高的蛇形臨界速度是高速列車必須的前提，否則將會對車輛的安全性和運行平穩(wěn)性造成嚴重影響，甚至導致脫軌等安全事故。同時，劇烈的蛇行失穩(wěn)時輪對的大幅橫向振動產(chǎn)生巨大的輪軌橫向力，造成線路破壞。

車輛系統(tǒng)的蛇行運動現(xiàn)象最初由英國的Stephenson等[1]發(fā)現(xiàn)，并進而對蛇形運動進行了初步研究。DePater[2]率先將車輛的蛇行運動創(chuàng)新性地考慮成動力學的運動穩(wěn)定性問題。Wickens[3-4]引入了重力剛度并詳細研究了考慮重力剛度作用下磨耗型輪對和轉(zhuǎn)向架的線性穩(wěn)定性，研究發(fā)現(xiàn)蠕滑力和車輪錐度是造成車輛系統(tǒng)不穩(wěn)定的主要原因。Cooperider[5]引入縱向和橫向非線性蠕滑力，對車輛系統(tǒng)進行了非線性動力學行為研究。丹麥Trued[6]教授用延續(xù)算法對非線性車輛系統(tǒng)分岔問題進行了分析。Polach[7]總結(jié)出車輛系統(tǒng)非線性穩(wěn)定性的分析方法和標準，討論了極限環(huán)的各種影響因素，全面分析了車輛系統(tǒng)的運動分岔特性。

國內(nèi)，曾京[8]采用打靶法研究了車輛系統(tǒng)的Hopf分叉及極限環(huán)。孫桐林等[9]采用了非線性控制方法，將車輛系統(tǒng)的亞臨界Hopf分岔轉(zhuǎn)換為超臨界Hopf分岔，更有利于對車輛的失穩(wěn)狀態(tài)進行預警、控制，保障行車安全。董浩等[10]通過范式方法建立了判斷系統(tǒng)的Hopf分叉類型的判別式，很好地區(qū)分了亞臨界與超臨界分叉。

關于陀螺穩(wěn)定性，在機械領域已有很多研究[11-12]，但車輛系統(tǒng)陀螺穩(wěn)定性研究則相對較少。黃世凱[13]研究輪對線性系統(tǒng)的陀螺力影響，并定義了陀螺力貢獻率，研究發(fā)現(xiàn)當速度低于300 km/h時，陀螺力影響較小可忽略，當高于300 km/h時陀螺力影響較大，不可忽略，但是沒有考慮非線性陀螺系統(tǒng)的分叉問題。筆者在此基礎上，考慮非線性輪對陀螺系統(tǒng)的分叉問題，重點研究陀螺力對系統(tǒng)穩(wěn)定性及分叉的影響，對比分析陀螺力存在與否對系統(tǒng)分叉的影響。通過能量法定性闡述輪對蛇行運動的能量流，通過能量機理解釋陀螺力對穩(wěn)定性的作用；最后引用陀螺力貢獻率對陀螺力的影響進行定量分析。

1 模型建立

高速列車具有陀螺效應，其陀螺效應的根源在于輪對的錐形踏面，故文中考慮簡單懸掛輪對系統(tǒng)，并考慮橫移y、搖頭φ運動和一系懸掛約束。假設輪對沿平直軌道以速度v運行，輪對做微幅振動，輪軌蠕滑較小，蠕滑率與蠕滑力規(guī)律可等效為線性關系，在此采用Kalker線性輪軌蠕滑理論[14]?？紤]非線性輪軌接觸幾何關系，為了方便進行理論推導和解析求解，采用非線性函數(shù)擬合，α1和α2為非線性參數(shù)，α1和α2取值參考文獻[15]，圖1為輪對系統(tǒng)的幾何模型。

圖1 非線性輪對陀螺系統(tǒng)幾何模型Fig.1 The model of nonlinear gyroscopic wheelset system

若記x=(y,φ)T，則系統(tǒng)的運動方程為

(1)

其中

m為輪對質(zhì)量；I，Iy分別為輪對搖頭和自旋轉(zhuǎn)動慣量；r0為滾動圓半徑；a為兩滾動圓間的距離之半；l為左右懸掛跨距之半；λe為踏面等效錐度；kx和ky為輪對橫向和縱向定位剛度；cx和cy為輪對橫向和縱向阻尼；f11為縱向蠕滑系數(shù)；f22為橫向蠕滑系數(shù)；f23為橫向自旋蠕滑系數(shù)；f33為自旋蠕滑系數(shù)；W為軸重。

各參數(shù)取值詳見表1。

表1 輪對參數(shù)表

由矩陣理論可知，對于任意矩陣A，有

A=(A+AT)/2+(A-AT)/2

(2)

令A1=(A+AT)/2,A2=(A-AT)/2，則有A=A1+A2，且A1為對稱陣，A2為反對稱陣。對方程(1)做上述變換，得到如下形式

(3)

D,K為對稱矩陣，G,E為反對稱矩陣。由于D和E不同時為零，則系統(tǒng)是非保守系統(tǒng)[16]。

2 基于能量觀點的穩(wěn)定性分析

輪對蛇行運動過程中，能量的輸入會引起和加劇蛇形運動，輸入的能量一部分被阻尼元件轉(zhuǎn)化為熱能耗散掉，另一部分被存儲為機械能，即動能和勢能。依據(jù)能量法原理，如果在振動過程中系統(tǒng)的機械能不斷減小，那么系統(tǒng)振動最終將會收斂。如果系統(tǒng)的機械能不斷增加，系統(tǒng)振動將會加劇，振動幅度會變大，系統(tǒng)機械能儲能能力會隨之提高，阻尼器耗散功也會增加，系統(tǒng)會尋找到另外一個平衡點，即更大的極限環(huán)。但是如果這樣的點不存在，系統(tǒng)振動將會發(fā)散。如果系統(tǒng)機械能維持不變，系統(tǒng)將會維持一種持續(xù)穩(wěn)定的周期振動。

現(xiàn)從能量的角度分析輪對蛇形運動時系統(tǒng)能量轉(zhuǎn)化關系，進行系統(tǒng)穩(wěn)定性的定性分析，研究失穩(wěn)機理。為便于分析，將阻尼矩陣D剖分為減振器阻尼DF和輪軌蠕滑部分DR兩個部分，剛度矩陣K剖分為懸掛剛度KF和輪軌蠕滑部分KR兩個部分，即

D=DF+DR

K=KF+KR

(4)

方程(3)可寫成如下形式

F(x)=0

(5)

(6)

對式(6)在t=0到τ積分可得

(7)

即

(8)

首先對系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運動狀態(tài)做如下假設

(9)

分別分析減震器阻尼項DF、陀螺項G、蠕滑部分的阻尼項DR、蠕滑部分的剛度項KR和循環(huán)矩陣E以及非線性項F(x)對系統(tǒng)的影響，積分時間取一個蛇行運動周期，即τ=2π/ω，則有

(10)

減震器阻尼項DF做負功，耗散能量；陀螺項G不做功，既不消耗系統(tǒng)的能量，也不向系統(tǒng)提供能量；蠕滑部分的阻尼項DR做負功，耗散能量；蠕滑部分的剛度項KR和循環(huán)矩陣E做正功，輸入能量；非線性項F(x)做負功，耗散能量。

當在一個蛇行運動周期內(nèi)輸入能量小于耗散能量的時候，蠕滑力的輸入功小于系統(tǒng)的耗散功，系統(tǒng)總能量逐漸減小，運動狀態(tài)趨于穩(wěn)定。

在一個蛇行運動周期內(nèi)，當輸入能量大于耗散能量的時候，系統(tǒng)總能量開始增加，此時通過阻尼和彈簧力的作用一部分能量會轉(zhuǎn)移到構架和車體，使得構架、車體的振動幅度變大動能增加，同時彈簧的勢能也增加，減振器的耗散功也進一步增加，從而使輸入功和耗散功達到新的平衡，系統(tǒng)維持一種新的穩(wěn)定狀態(tài)。此時如果輪對運行速度繼續(xù)提高，系統(tǒng)的總能量就會持續(xù)增加，系統(tǒng)就將尋找不到輸入能量和耗散能量的平衡狀態(tài)，輪對會發(fā)生發(fā)散的蛇行運動，直至系統(tǒng)失穩(wěn)，輪緣貼靠鋼軌。

從以上分析可見，決定系統(tǒng)穩(wěn)定性的因素主要有蠕滑力的輸入能量，耗散能量，減振器的耗散能量以及系統(tǒng)所能儲存的最大動能和勢能。在輪對蛇行運動中輪軌蠕滑力將本來用于輪對前進的能量轉(zhuǎn)化為輪對橫向振動能量。這是輪對發(fā)生蛇行乃至失穩(wěn)的能量來源。輪對蛇行運動能量流可以用圖2來表示。

圖2 輪對蛇行運動的能量流Fig.2 The energy flow of wheelset hunting motion

綜上所述，輪對陀螺系統(tǒng)中，阻尼項D耗散能量；陀螺項G不做功；剛度項分為懸掛剛度KF和輪軌蠕滑部分KR，懸掛剛度KF項能量既不輸入，也不輸出，起到存儲能量的作用；輪軌蠕滑剛度項KR和蠕滑循環(huán)矩陣E輸入能量。

3 非線性輪對陀螺系統(tǒng)的分叉分析

筆者從能量的角度分析了輪對系統(tǒng)穩(wěn)定性機理，分析發(fā)現(xiàn)陀螺力對系統(tǒng)不做功。為進一步分析，對系統(tǒng)(1)運用打靶法[8]進行數(shù)值求解，考察輪對橫移隨速度增大過程中的變化情況，畫出輪對橫移幅值分叉圖，分析陀螺力對輪對Hopf分叉的影響。

式(3)中，當陀螺矩陣G=0時，系統(tǒng)退化為非陀螺系統(tǒng)。通過打靶法計算其蛇形運動響應，將結(jié)果和原系統(tǒng)進行對比分析，對比結(jié)果如圖3所示。

圖3 陀螺力對Hopf分叉的影響Fig.3 Influence of gyroscopic force on Hopf bifurcation

由圖3可知，陀螺力使系統(tǒng)的線性臨界速度和非線性臨界速度增大，系統(tǒng)穩(wěn)定性變好，且非陀螺系統(tǒng)相對陀螺系統(tǒng)，相同速度下輪對橫移幅值更大，更快失穩(wěn)甚至貼靠輪緣，可見陀螺力具有增穩(wěn)作用。

4 陀螺效應對蛇行運動穩(wěn)定性的貢獻率

由第2,3節(jié)分析可知，陀螺力對系統(tǒng)不做功但具有增穩(wěn)作用。但是在現(xiàn)有高速列車穩(wěn)定性分析時，通常沒有考慮陀螺效應的影響，那么陀螺力對蛇形穩(wěn)定性影響具體有多大，在什么情況下陀螺力可忽略，什么情況下應該考慮陀螺效應，這些問題的進一步分析對高速列車的安全運行至關重要。因此，作者引入陀螺力穩(wěn)定性貢獻率[13,17]，定量分析陀螺力對蛇形穩(wěn)定性的影響比重，以解決前述問題。

由陀螺矩陣G可知陀螺項和非線性項無關，故不考慮非線性項影響，考慮如下形式線性輪對陀螺系統(tǒng)

(11)

對于形如式(11)的完整力學方程，1952年，Metelitsyn[18]基于Routh-Hurwitz穩(wěn)定性準則推導出一個系統(tǒng)漸進穩(wěn)定的不等式判據(jù)。

d>0,me2-dge

(12)

需要指出，不等式判據(jù)(12)只是系統(tǒng)漸進穩(wěn)定的一個充分非必要條件。且由于求解m，d，k，g,e時，需要使用特征向量u，然而當特征向量已知后穩(wěn)定性問題也就迎刃而解了。因此，Metelitsyn不等式漸進穩(wěn)定判據(jù)不能直接在工程中應用。

Seyranian等[19]在Metelitsyn的基礎上結(jié)合特征值極值推導，得出了可以在工程中實際應用的極值不等式判據(jù)。如果假設m>0,d>0,k>0，則系統(tǒng)漸進穩(wěn)定的充分不必要條件為

(13)

其中：Mmin=λmin(M)≤m≤λmax(M)=Mmax,Dmin=λmin(D)≤d≤λmax(D)=Dmax，Kmin=λmin(K)≤k≤λmax(K)=Kmax,-Gmax≤G≤Gmax,-Emax≤e≤Emax。

由式(13)可定義含陀螺項的完整力學系統(tǒng)穩(wěn)定性系數(shù)[13,17]

(14)

由方程(14)知，陀螺系統(tǒng)穩(wěn)定的充分非必要條件為：at>1，即當at>1時，系統(tǒng)必定穩(wěn)定；反之，當系統(tǒng)不穩(wěn)定時，必然有at<1；但是at<1時，系統(tǒng)不一定失穩(wěn)，故at=1不能作為系統(tǒng)失穩(wěn)的臨界條件，文獻[13]將at=1作為系統(tǒng)失穩(wěn)的臨界條件并進而得到臨界速度，筆者認為是值得商榷的。盡管如此，但不等式判據(jù)(13)仍然可以作為穩(wěn)定性分析的一個比較有力的手段。

當不考慮陀螺項時，即陀螺矩陣G=0，則有Gmax=0，同理，可定義不含陀螺項的穩(wěn)定性系數(shù)

(15)

非陀螺系統(tǒng)穩(wěn)定的充分非必要條件為：a>1。

由方程(3)計算出各矩陣的特征值極值，結(jié)合參數(shù)表1，繪出系統(tǒng)穩(wěn)定性系數(shù)曲線圖，如圖4所示。

圖4 穩(wěn)定性系數(shù)曲線Fig.4 The stability coefficients

如圖4，穩(wěn)定性系數(shù)at,a越大，系統(tǒng)穩(wěn)定性能越好且恒有a

為了進一步研究陀螺效應在系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)定性中的影響，此處引用陀螺力貢獻率[13,17]

(16)

陀螺力貢獻率T反映了陀螺力在輪對蛇形穩(wěn)定性中作用的比例，T越小，表示陀螺力增穩(wěn)作用越小。

如圖5所示，陀螺力貢獻率隨著輪對運行速度的增大而增大，低速時，陀螺力貢獻率較小。隨著運行速度的增大，陀螺力貢獻率逐漸增大。當速度高于56 m/s后，穩(wěn)定性貢獻率超過10%，陀螺力影響將不可忽略。我國現(xiàn)有高速列車運行速度普遍超過200 km/h(55.6 m/s)，降速前甚至超過300 km/h，因此在高速列車穩(wěn)定性分析時應該考慮陀螺力的影響。

圖5 陀螺力貢獻率曲線Fig.5 The gyroscopic contributory ratio

5 結(jié) 論

筆者建立了輪對陀螺非線性模型，從能量的角度分析了輪對蛇形運動時系統(tǒng)能量變化，闡述了輪對蛇行運動的能量流；用打靶法對比分析了非線性輪對陀螺系統(tǒng)和非陀螺系統(tǒng)的Hopf分叉；最后，定義了穩(wěn)定性系數(shù)和陀螺力貢獻率，定量分析了陀螺力對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。綜合前述分析，得到如下結(jié)論：

1) 輪對陀螺系統(tǒng)中，阻尼項D耗散能量；陀螺項G不做功；剛度項分為懸掛剛度KF和輪軌蠕滑部分KR，懸掛剛度KF項能量既不輸入，也不輸出，起到存儲能量的作用；輪軌蠕滑剛度項KR和蠕滑循環(huán)矩陣E輸入能量。

2) 陀螺力具有增穩(wěn)作用，陀螺力使系統(tǒng)的線性臨界速度和非線性臨界速度增大，系統(tǒng)穩(wěn)定性變好，且非陀螺系統(tǒng)相對陀螺系統(tǒng)，相同速度下輪對橫移幅值更大，更快失穩(wěn)甚至貼靠輪緣。

3) 陀螺力貢獻率隨著速度的增大而增大，低速時，陀螺力貢獻率較小。當輪對高速運行時，陀螺力影響較為顯著，陀螺力影響將不可忽略。

利用陀螺力增穩(wěn)功能，合理設計車輛，有利于提高車輛運行速度，將對高速列車安全、高效運行起著至關重要的作用。此外，筆者僅分析了輪對系統(tǒng)的陀螺效應，整車陀螺效應研究工作尚未開展，整車陀螺穩(wěn)定性問題可作為今后研究工作重點。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.05.025

*國家重點基礎研究發(fā)展計劃("九七三"計劃)資助項目(2011GB711106); 國家高技術研究發(fā)展計劃("八六三"計劃)資助項目(2012AA112001-02); 國家自然科學基金資助項目(51005189)

2014-09-12；

2014-11-21

U270.1+1

張波,男，1988年1月生, 博士生。主要研究方向為車輛系統(tǒng)穩(wěn)定性。 E-mail: 726928350@qq.com