朱麗莎， 張義民， 杜尊令

(1.東北大學機械工程與自動化學院 沈陽，110819) (2.沈陽機床股份有限公司中捷立式加工中心 沈陽，110141)

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壓縮機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動可靠性靈敏度設(shè)計*

朱麗莎1， 張義民1， 杜尊令2

(1.東北大學機械工程與自動化學院 沈陽，110819) (2.沈陽機床股份有限公司中捷立式加工中心 沈陽，110141)

為了對壓縮機類復雜的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行可靠性靈敏度設(shè)計，探討可靠度與基本隨機變量之間的關(guān)系，得到不同隨機變量對可靠性的影響程度。通過引入隔離裕度和放大因子的概念，在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力響應的基礎(chǔ)上，預測系統(tǒng)實際隔離裕度與許用隔離裕度。首先，根據(jù)許用隔離裕度不超過實際的隔離裕度的關(guān)系準則，針對壓縮機類轉(zhuǎn)子系統(tǒng)提出了一種基于共振失效的振動可靠性模型；然后，利用神經(jīng)網(wǎng)絡模型代替了有限元模型建立了復雜結(jié)構(gòu)的可靠度與基本隨機變量的強非線性關(guān)系；最后，以某齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為例，應用可靠性設(shè)計理論求解某轉(zhuǎn)子系統(tǒng)危險位置的可靠度，應用可靠性靈敏度理論得到了系統(tǒng)均值靈敏度和方差靈敏度。

可靠性； 隔離裕度； 靈敏度； 振動； 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)

引 言

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的可靠性研究是近代機械領(lǐng)域研究的熱門課題。目前，對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的可靠性建模，主要分為如下幾類：a.基于碰摩失效的可靠性模型,轉(zhuǎn)子的特殊位置在工作狀態(tài)下由于振動超限造成與定子之間的碰撞摩擦，如轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的質(zhì)量慢變[1]、不對中[2-3]和油膜振蕩失穩(wěn)[4-5]都會造成系統(tǒng)失效；b.基于疲勞失效的可靠性模型,轉(zhuǎn)子由于受到復合應力的作用產(chǎn)生疲勞破壞，在大量疲勞強度分布試驗的基礎(chǔ)上，采用應力-強度可靠性分析方法，對疲勞壽命進行估算[6]；c.基于頻率干涉的可靠性模型[7],根據(jù)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有頻率與激振頻率差的絕對值不超過規(guī)定值的關(guān)系準則，定義了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)共振問題的可靠性模式和系統(tǒng)的可靠度；d.基于裂紋失效的轉(zhuǎn)子可靠性模型。胥建群等[8]基于斷裂力學的理論對汽輪機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行了概率分析，將裂紋擴展速率、初始裂紋尺寸和應力變化幅值考慮成獨立隨機變量，對含有初始缺陷的汽輪機轉(zhuǎn)子進行了壽命預測。

參照美國石油協(xié)會標準，筆者提出了一種基于共振失效的振動可靠性模型。此模型引入了隔離裕度和放大因子(amplification factor,簡稱AF)的概念，通過轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力響應曲線計算出實際的隔離裕度和許用的隔離裕度。根據(jù)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的許用隔離裕度不超過實際的隔離裕度的關(guān)系準則，建立了系統(tǒng)的可靠性模型，并基于Edgeworth級數(shù)和四階矩方法，選取某轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的危險位置進行了可靠性求解與可靠性靈敏度設(shè)計。

1 共振失效機理

API617是美國石油學會針對石油、化學和氣體工業(yè)用的軸流類、離心類壓縮機以及膨脹機-壓縮機的整體設(shè)計、試驗、安裝和維護等制定的標準。根據(jù)API617中動力學設(shè)計的要求，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在橫向振動分析過程中，有兩種情況會發(fā)生共振：a.放大因子大于等于2.5；b.轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的實際隔離裕度小于許用的隔離裕度。兩種情況同時發(fā)生則認為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)發(fā)生了共振失效。

1.1 放大因子AF的計算方法

轉(zhuǎn)子第1階臨界轉(zhuǎn)速處，放大因子AF定義為

(1)

圖1 放大因子計算示意圖Fig.1 The calculation diagram of amplification factor

放大因子AF的計算示意圖如圖1所示，并不代表任何實際的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的響應曲線。圖中：Nc1為轉(zhuǎn)子第1階臨界轉(zhuǎn)速，中心頻率，單位r/min；Ac1為在Nc1處的振幅；Ncn為轉(zhuǎn)子第n階臨界轉(zhuǎn)速；Acn為在Ncn處的振幅；N1為0.707倍振幅峰值時對應的初始轉(zhuǎn)速；N2為0.707倍振幅峰值時對應的終止轉(zhuǎn)速；N2-N1為在“半功率”點峰值寬度；SM為隔離裕度；CRE為臨界響應區(qū)。

1.2 許用隔離裕度SM′的計算方法

1) 如果在某一臨界轉(zhuǎn)速處的AF<2.5，說明該響應在此臨界轉(zhuǎn)速下不會發(fā)生振動，因此不需要計算隔離裕度。

2) 如果在某一臨界轉(zhuǎn)速處的AF≥2.5，并且此臨界轉(zhuǎn)速低于工作時的最小轉(zhuǎn)速，該SM′(作為最小轉(zhuǎn)速的百分數(shù))用式(1)計算，得到的值與16相比，取較小者。最小轉(zhuǎn)速為工作轉(zhuǎn)速的85%。

(2)

3) 如果在某一臨界轉(zhuǎn)速處的AF≥2.5，并且此臨界轉(zhuǎn)速高于工作時的最大連續(xù)轉(zhuǎn)速，該SM′(作為最大連續(xù)轉(zhuǎn)速的百分數(shù))用式(2)計算，得到的值與26相比，取較小者。最大連續(xù)轉(zhuǎn)速取工作轉(zhuǎn)速的115%。

(3)

1.3 實際隔離裕度SM的計算方法

實際隔離裕度與工作轉(zhuǎn)速和臨界轉(zhuǎn)速有關(guān)，分為兩種情況。

1) 當工作轉(zhuǎn)速Nw小于某一臨界轉(zhuǎn)速Ncn，則實際隔離裕度為

(4)

其中:Nwmax為最大連續(xù)工作轉(zhuǎn)速，為工作轉(zhuǎn)速Nw的115%。

2) 當工作轉(zhuǎn)速Nw大于某一臨界轉(zhuǎn)速Ncn，則實際隔離裕度為

(5)

其中：Nwmin為最小連續(xù)工作轉(zhuǎn)速，為工作轉(zhuǎn)速Nw的85%。

在確定了轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速以及振動響應曲線后，就可以計算出系統(tǒng)的放大因子(AF)、實際隔離裕度(SM)和許用隔離裕度(SM′)，進一步判斷系統(tǒng)是否失效，流程圖如圖2所示。

圖2 程序流程圖Fig.2 Program flow chart

2 可靠性與可靠性靈敏度分析

2.1 極限狀態(tài)方程

當計算的隔離裕度大于規(guī)定的隔離裕度時，系統(tǒng)安全，反之則系統(tǒng)發(fā)生共振失效。因此，當工作轉(zhuǎn)速低于臨界轉(zhuǎn)速時，極限狀態(tài)方程的表示為兩種形式。

1)SM′<26時

(6a)

2)SM′>26時

(6b)

當工作轉(zhuǎn)速高于臨界轉(zhuǎn)速時，極限狀態(tài)方程的表示為兩種形式。

1)SM′<16時

(6c)

2)SM′>16時

(6d)

其中：X為由系統(tǒng)基本參數(shù)組成的隨機變量向量。

采用人工神經(jīng)網(wǎng)絡技術(shù)[9]可以模擬得到函數(shù)Ncn(X)，N1(X)，N2(X)與基本隨機變量的關(guān)系式，進而得到極限狀態(tài)方程g(X)與基本隨機變量之間的非線性顯性關(guān)系式。

2.2 可靠性設(shè)計

根據(jù)概率論和隨機攝動法的相關(guān)知識，狀態(tài)函數(shù)g(·)的前四階矩[2-4]為

其中：C3和C4分別表示隨機向量的三階中心矩和四階中心矩;(*)k=(*)?(*)?…(*)為(*)的kronecker冪。

可靠性指標定義為

(11)

根據(jù)Edgeworth級數(shù)和四階矩技術(shù)，得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的可靠度計算公式為

R(β)=P(SM≥SM′)=P(g(X)≥0)=1-F(-β)

(12)

函數(shù)F(·)的表達式可以根據(jù)Edgeworth級數(shù)展開為

(13)

其中：y=-β；Ф(·)為標準正態(tài)分布函數(shù)；θg，ηg分別為狀態(tài)函數(shù)的三階矩和四階矩；Hi(y)為i階Hermite多項式，其遞推關(guān)系為

(14)

2.3 可靠性靈敏度設(shè)計

可靠度對基本隨機變量均值的靈敏度為

(15)

(16)

其中：In為n×n維單位矩陣;Un×n為置換矩陣;其維數(shù)為n2×n2并且每行和每列只有一個元素“1”;“?”表示向量矩陣之間的Kronecker乘積。

可靠度對基本隨機變量方差的靈敏度為

(17)

在進行結(jié)構(gòu)設(shè)計時，設(shè)計因素往往很多，而且各因素對結(jié)構(gòu)失效的影響程度又各不相同，影響可靠性的因素之間存在單位不統(tǒng)一的問題，因此需要將可靠性靈敏度進行無量綱化，表示為

(18)

(19)

3 算 例

某齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)軸承處的不平衡響應曲線如圖3所示。

當臨界轉(zhuǎn)速低于工作轉(zhuǎn)速時，定義左軸承處共振失效的極限狀態(tài)方程為

(20)

其中：X為由系統(tǒng)基本參數(shù)組成的隨機變量向量，X=[β,α,L,k,U]T各個基本隨機變量的前四階矩如表1所示；工作轉(zhuǎn)速Nw假設(shè)為基本隨機變量，和Nc1(X),N1(X),N2(X)函數(shù)均不相關(guān)。

圖3 軸承處的不平衡響應曲線Fig.3 Unbalance response curve of bearing

表1 基本隨機變量的前四階矩

將均值代入式(17)可以得到系統(tǒng)的實際隔離裕度與要求的隔離裕度分別為SM=22.201 5；SM′=10.078 1。

因此在隨機變量取均值時，系統(tǒng)是安全的。

有限元模型較復雜，用一次確定性的有限元模型進行可靠性設(shè)計，假設(shè)做106次隨機抽樣，則需要大約54 Y的時間，這是不符合實際的。因此，筆者在有限樣本的基礎(chǔ)上，采用神經(jīng)網(wǎng)絡模型代替有限元模型，基于矩方法和Edgeworth級數(shù)方法進行可靠性設(shè)計。

人工神經(jīng)網(wǎng)絡采用5-8-1的形式，隨機抽樣共進行100次的拉丁超立方試驗，在達到允許誤差后，得到的神經(jīng)網(wǎng)絡模型可以代替有限元模型。在基本隨機變量均值附近重新設(shè)計20組檢驗樣本，將檢驗樣本分別帶入有限元模型和神經(jīng)網(wǎng)絡模型，極限狀態(tài)函數(shù)誤差如圖4所示。

圖4 有限元模型與神經(jīng)網(wǎng)絡模型對比結(jié)果Fig.4 Comparison of the results between FEM and ANN model

3.1 可靠度計算

基于Edgeworth級數(shù)和四階矩方法對系統(tǒng)進行可靠度求解，得到系統(tǒng)不會發(fā)生共振失效的概率。

可靠性指標為β=3.108 2；可靠度為RE=0.999 278。采用蒙特卡洛抽樣方法[10]計算，模擬次數(shù)為N=100萬次，得到的可靠度為RMCS=0.996 367(N=106)。

通過Edgeworth級數(shù)方法得到的可靠度RE與采用蒙特卡洛法得到的可靠度RMCS的誤差為

通過計算得知，采用Edgeworth級數(shù)方法計算可靠度與蒙特卡洛方法的結(jié)果誤差很小，吻合程度高。但若計算過程全部采用蒙特卡洛方法效率低，采用神經(jīng)網(wǎng)絡與Edgeworth級數(shù)結(jié)合的方法可以大大提高計算效率[11]。此方法還可以計算系統(tǒng)對基本隨機變量的可靠性靈敏度。

3.2 可靠性靈敏度計算

可靠性對基本隨機參數(shù)向量Xi均值和方差的靈敏度無量綱化后分別表示為

通過計算結(jié)果發(fā)現(xiàn)，隨著均值的增加，系統(tǒng)可靠度增加的基本隨機變量為中心距、不平衡量和工作轉(zhuǎn)速。隨著均值的增加,系統(tǒng)可靠度降低的基本隨機變量為螺旋角、方位角和嚙合剛度。

根據(jù)各參數(shù)無量綱后的均值和方差的計算結(jié)果畫出靈敏度的直方圖如圖5，6所示。通過直方圖可以形象直觀地看到，對系統(tǒng)可靠度影響最大的參數(shù)為工作轉(zhuǎn)速，其次為中心距、方位角、不平衡、螺旋角及嚙合剛度。

圖5 可靠度對基本隨機變量均值的靈敏度Fig.5 Reliability sensitivity to the mean value of parameters

圖6 可靠度對基本隨機變量方差的靈敏度Fig.6 Reliability sensitivity to the variance of parameters

4 結(jié) 論

1) 筆者提出的共振失效依據(jù)API標準在工作轉(zhuǎn)速臨近臨界轉(zhuǎn)速的工況下，根據(jù)響應結(jié)果曲線進行的二次判定。此方法適用于壓縮機和膨脹機類的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)建立失效判據(jù)。

2) 用神經(jīng)網(wǎng)絡模型代替有限元模型，可以降低求解樣本的時間，為大型復雜系統(tǒng)的可靠性求解提供了有效的解決途徑。

3) 對實際樣本數(shù)量不足以統(tǒng)計確定概率分布的情況，基于矩方法和Edgeworth級數(shù)的可靠性設(shè)計，可以快速準確得到系統(tǒng)可靠度、均值靈敏度和方差靈敏度以及各參數(shù)對系統(tǒng)影響排序；針對壓縮機類轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，在實際工作中最需要注意工作參數(shù)、其次是制造和安裝參數(shù)，最后是嚙合參數(shù)。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.05.019

*國家自然科學基金資助項目(U1234208);中央高校基本科研業(yè)務費資助項目(N120303002)；遼寧省科技資助項目(20131032)

2013-11-22；

2014-02-27

TB122; TB114.3; TB123

朱麗莎，女，1986年12月生，博士生。主要研究方向為機械可靠性設(shè)計。曾發(fā)表《直齒輪耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動可靠性研究》(《振動、測試與診斷》 2013年第33卷第2期)等論文。 E-mail：neulisachu@163.com