李 瑞， 汪立新， 周志杰， 趙曦晶

(第二炮兵工程大學(xué)控制工程系 西安，710025)

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基于非線性退化模型的加速度計(jì)壽命評(píng)估*

李 瑞， 汪立新， 周志杰， 趙曦晶

(第二炮兵工程大學(xué)控制工程系 西安，710025)

針對(duì)傳統(tǒng)性能退化模型難以對(duì)退化軌跡為非線性的設(shè)備進(jìn)行有效壽命評(píng)估的問(wèn)題，首先，建立了一種基于擴(kuò)散過(guò)程的非線性模型，并將推導(dǎo)其失效閾值首達(dá)時(shí)間分布的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)失效閾值首達(dá)時(shí)間分布的問(wèn)題，得到了首達(dá)時(shí)間意義下的近似壽命分布；然后，提出了該模型未知參數(shù)的極大似然函數(shù)估計(jì)方法；最后，使用此模型評(píng)估分析了一組加速度計(jì)的壽命，并與傳統(tǒng)退化模型進(jìn)行比對(duì)分析。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了模型的評(píng)估結(jié)果更為準(zhǔn)確有效。

加速度計(jì)； 非線性； 退化過(guò)程； 壽命

引 言

作為飛行器慣導(dǎo)系統(tǒng)的核心部件，加速度計(jì)的健康狀態(tài)評(píng)價(jià)，主要取決于其標(biāo)度因數(shù)的穩(wěn)定性。在實(shí)際使用中，加速度計(jì)的傳感器、伺服電路及力矩組件等精密部件的性能隨工作時(shí)間而逐漸變化，最終影響輸出精度。同時(shí)，加速度計(jì)的性能也會(huì)因?yàn)楣ぷ鳝h(huán)境(溫度、濕度)的變化而逐漸退化[1-2]。因此，有效評(píng)估加速度計(jì)壽命，對(duì)提高飛行器的安全性有著重要作用。

傳統(tǒng)的可靠性及壽命分析方法常基于歷史壽 命數(shù)據(jù)，但對(duì)于高可靠性或貴重設(shè)備而言，該方法存在時(shí)效差和成本較高的不足。針對(duì)該問(wèn)題，基于性能退化的分析方法被引入，在設(shè)備性能隨時(shí)間退化積累到一定程度并最終導(dǎo)致設(shè)備失效(退化型失效)的過(guò)程中，性能參數(shù)隨時(shí)間退化的數(shù)據(jù)(性能退化數(shù)據(jù))同樣含有可靠性信息，因此利用性能退化數(shù)據(jù)建立設(shè)備性能退化模型來(lái)刻畫(huà)失效過(guò)程是一種可行的方法。當(dāng)前，基于退化數(shù)據(jù)的方法已成為設(shè)備可靠性及壽命分析的重要途徑之一[3-4]。

1990年，Nelson[5]總結(jié)了90年代以前的退化建模方法。Lu等[6]在1993年首次使用隨機(jī)系數(shù)回歸模型來(lái)描述退化過(guò)程。Meeker等[7]則使用極大似然分析法來(lái)處理退化數(shù)據(jù)。一般文獻(xiàn)都將退化模型的參數(shù)假設(shè)為固定參數(shù)或是服從某種分布的隨機(jī)變量，這意味著某一確定設(shè)備的退化過(guò)程參數(shù)一旦確定，其退化軌跡隨之固定，忽視了退化過(guò)程的不確定性。因此，有學(xué)者建議使用隨機(jī)過(guò)程來(lái)體現(xiàn)退化過(guò)程中的隨機(jī)性與動(dòng)態(tài)性[8]。目前，常見(jiàn)的用隨機(jī)過(guò)程描述的性能退化模型常有兩種假定[3]：a.退化過(guò)程單調(diào)不可逆；b.退化軌跡是線性或是可以變換為線性的。這種假設(shè)有時(shí)在某些情況下無(wú)法滿足，因?yàn)?a.設(shè)備性能常因外部環(huán)境、內(nèi)部動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)等因素呈現(xiàn)不確定性，不能保證退化過(guò)程的單調(diào)性；b.復(fù)雜設(shè)備在性能退化過(guò)程中，各內(nèi)部組件的性能退化規(guī)律不一致，且某些組件的退化軌跡本身就是非線性的，因而設(shè)備性能退化軌跡不能確保服從線性規(guī)律。因此，對(duì)于具有非線性退化過(guò)程的設(shè)備，使用具有非線性特征的隨機(jī)過(guò)程來(lái)描述其退化模型能更有效地評(píng)估其可靠性及壽命。

針對(duì)擺式加速度計(jì)標(biāo)度因數(shù)隨工作時(shí)間增長(zhǎng)而變化加劇且不穩(wěn)定，有時(shí)退化軌跡不嚴(yán)格服從線性規(guī)律的問(wèn)題，筆者建立了一種非線性擴(kuò)散退化過(guò)程模型，將轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)Brownian運(yùn)動(dòng)的首達(dá)時(shí)間概率密度，得到設(shè)備在首達(dá)時(shí)間意義下的壽命及可靠度。

1 非線性性能退化模型

基于在性能退化過(guò)程中設(shè)備的輸出并不總是一精確穩(wěn)定值這一工程現(xiàn)象，擴(kuò)散過(guò)程自然地成為了描述設(shè)備性能退化的選擇[9]。擴(kuò)散過(guò)程類似于Wiener過(guò)程，但其漂移系數(shù)與擴(kuò)散系數(shù)不再限于常數(shù)。許多情況下，由于噪聲和擾動(dòng)的介入，設(shè)備的真實(shí)退化過(guò)程難以精確測(cè)量，而真實(shí)的擴(kuò)散過(guò)程也無(wú)法直接測(cè)得，兩者雖然都無(wú)法直接測(cè)得，但卻都是由一定的趨勢(shì)驅(qū)動(dòng)的，因此從這個(gè)出發(fā)點(diǎn)考慮，用擴(kuò)散過(guò)程來(lái)描述具有連續(xù)波動(dòng)且不可精確測(cè)量的退化過(guò)程具有可行性。利用非線性模型能更好地復(fù)現(xiàn)具有非線性退化特征的設(shè)備性能衰退過(guò)程，同時(shí)考慮到許多設(shè)備在實(shí)際測(cè)量中的性質(zhì)較符合擴(kuò)散過(guò)程，描述設(shè)備性能非線性退化過(guò)程的模型為

(1)

其中：Y(t)是由標(biāo)準(zhǔn)Brownian運(yùn)動(dòng)b(t)驅(qū)動(dòng)的退化過(guò)程；a(t,α,β)為漂移系數(shù)，這里a(t,α,β)為時(shí)間的非線性函數(shù)；σb為擴(kuò)散系數(shù)。

在描述某一類設(shè)備的性能退化過(guò)程時(shí)，需考慮到：首先，該類設(shè)備因?yàn)闃?gòu)造的差異，其性能退化過(guò)程會(huì)不同于其他種類的設(shè)備，因此在退化模型中需有一個(gè)參數(shù)反映這種差別；其次，即使同類型、同批次的設(shè)備，由于內(nèi)部組件的微小差異，也將導(dǎo)致其性能退化過(guò)程有所不同。所以，這里使用隨機(jī)參數(shù)α來(lái)反映同類設(shè)備間的個(gè)體差異，用固定參數(shù)β反映某類設(shè)備的退化特性。

漂移系數(shù)a(t,α,β)的具體形式，一般根據(jù)性能退化軌跡來(lái)尋找合適的函數(shù)。筆者對(duì)以Wiener過(guò)程為基礎(chǔ)的線性退化模型進(jìn)行拓展，令a(t,α,β)=αβtβ-1，當(dāng)β=1時(shí)，式(1)變形為Wiener過(guò)程；當(dāng)β≠1時(shí)，式(1)為非線性退化過(guò)程；因此，模型在處理退化數(shù)據(jù)時(shí)更有靈活性，可以同時(shí)處理線性及具有指數(shù)特征的退化數(shù)據(jù)。

2 壽命估計(jì)及可靠性分析

在進(jìn)行壽命估計(jì)之前，需要給出壽命T的定義。在以往的文獻(xiàn)中，常將壽命定義為

T={t:Y(t)≥w}

(2)

其中：w為失效閾值。

當(dāng)性能退化過(guò)程單調(diào)時(shí)這種定義是明確的，但是在引入隨機(jī)過(guò)程后，設(shè)備性能退化過(guò)程無(wú)法滿足單調(diào)的假設(shè)，此時(shí)可能出現(xiàn)t1w,Y(t2)

T=inf{t:Y(t)≥w}

(3)

即將壽命定義為退化過(guò)程Y(t)首次到達(dá)閾值w的時(shí)間(簡(jiǎn)稱首達(dá)時(shí)間)。

當(dāng)引入擴(kuò)散過(guò)程后，對(duì)非線性退化過(guò)程進(jìn)行壽命分析的難點(diǎn)在于如何求得Y(t)首達(dá)時(shí)間的概率密度函數(shù)。將Y(t)轉(zhuǎn)換成某種易求得首達(dá)時(shí)間概率密度函數(shù)的隨機(jī)過(guò)程，是一種解決該問(wèn)題的途徑。Ricciardi[12]提出了如下理論。

對(duì)于漂移系數(shù)為μ(x,t)，擴(kuò)散系數(shù)為σ(x,t)的擴(kuò)散過(guò)程X(t)，令c1(t)和c2(t)為任意的時(shí)間函數(shù)，則當(dāng)漂移系數(shù)μ(x,t)可以寫(xiě)為

(4)

則存在

(5)

(6)

可以將擴(kuò)散過(guò)程描述的X(t)變換為標(biāo)準(zhǔn)Brownian運(yùn)動(dòng)。其中：z為X(t)中的任意值；ti∈[0,∞)(i=0,1,2)；k1，k2，k3均為任意常數(shù)，k1>0。

根據(jù)以上理論，可將式(1)中的擴(kuò)散過(guò)程變換為標(biāo)準(zhǔn)Brownian運(yùn)動(dòng)，變換過(guò)程如下。

首先，令Y(0)=0，于是有t0=0和z=0。同時(shí)，設(shè)k1=1，k2=k3=0。

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

根據(jù)以上的分析和假設(shè)，將式(10)和式(13)代入式(12)中，得到

(14)

漂移系數(shù)中的參數(shù)α是一個(gè)隨機(jī)參數(shù)，它反映了同類同批次設(shè)備個(gè)體間的差異。一般來(lái)講α～N(μα,σα)，所以利用全概率公式，由式(14)可得

(15)

(16)

將式(16)代入式(15)，得到擴(kuò)散過(guò)程Y(t)的首達(dá)時(shí)間的近似概率密度函數(shù)fT(t)為

(17)

壽命的期望ET和可靠度函數(shù)計(jì)算式分別為

(18)

(19)

3 參數(shù)估計(jì)

假設(shè)有個(gè)N個(gè)待測(cè)設(shè)備，分別在t1,t2,…,tm時(shí)刻同時(shí)對(duì)待測(cè)設(shè)備測(cè)量。因此，第i個(gè)設(shè)備在tj時(shí)刻的性能指標(biāo)可表示為

(20)

(21)

由于不同待測(cè)設(shè)備測(cè)量值之間相互獨(dú)立，于是對(duì)未知參數(shù)Θ=(μα,σα,σb,β)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)可表示為

(22)

(23)

L(Θ|Y)分別對(duì)μα和σα求偏導(dǎo)數(shù)，得

(24)

(25)

令式(24)和式(25)為零，得到μα和σα的極大似然表達(dá)式為

(26)

(27)

將式(26)和式(27)代入式(22)中，得到關(guān)于σb和β的極大似然函數(shù)為

(28)

4 加速度計(jì)壽命與可靠性評(píng)估

筆者將對(duì)20世紀(jì)90年代初期引入我國(guó)的一組寶石軸承加速度計(jì)壽命進(jìn)行分析。該批次加速度計(jì)引入后每月工作3次，每次通電時(shí)長(zhǎng)約1 h，至今已累計(jì)約有700 h的工作時(shí)間。廠家給定的平均失效時(shí)間為1 400 h，但現(xiàn)已有部分產(chǎn)品已出現(xiàn)失效現(xiàn)象，為評(píng)估該產(chǎn)品的實(shí)際壽命情況，這里對(duì)一組未啟封的產(chǎn)品進(jìn)行壽命分析，以提供參考。

該類型加速度計(jì)由擺組件、信號(hào)傳感器、直流力矩器和寶石支撐等主要部件構(gòu)成。在長(zhǎng)時(shí)間通電工作后，此類加速度計(jì)的信號(hào)傳感器與直流力矩器由于長(zhǎng)期發(fā)熱的影響，組件性能會(huì)逐漸發(fā)生變化[15]，從而導(dǎo)致加速度計(jì)的系統(tǒng)性能下降。為衡量加速度計(jì)的性能表現(xiàn)，選取對(duì)輸出誤差影響較大的一次項(xiàng)標(biāo)度因數(shù)K1進(jìn)行評(píng)估。

為構(gòu)建測(cè)試系統(tǒng)，筆者選用中國(guó)船舶工業(yè)集團(tuán)第六三五四研究所研制的2WT-500型雙軸帶溫控箱速率位置轉(zhuǎn)臺(tái)(其回轉(zhuǎn)角精度為±1.5″，雙軸定位精度為±3″)和惠普公司的34401A型萬(wàn)用表構(gòu)成測(cè)試平臺(tái)，并用Labview搭建軟件系統(tǒng)。在測(cè)試系統(tǒng)構(gòu)建好后，選取5套加速度計(jì)，共測(cè)試20次，各套加速度計(jì)的測(cè)量時(shí)刻相同。每次通電10h，取所采集數(shù)據(jù)的平均值。相鄰兩次測(cè)試間停機(jī)休息5h，以避免因長(zhǎng)時(shí)間連續(xù)工作而導(dǎo)致的加速度計(jì)性能異常。5套加速度計(jì)均以第1次測(cè)試的K1為基準(zhǔn)點(diǎn)，計(jì)算其余19次測(cè)試的相對(duì)漂移Dk1，失效閾值w=0.001。其漂移數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 標(biāo)度因數(shù)K1漂移量

圖1 標(biāo)度因數(shù)漂移量Dk1Fig.1 Drift of scale factorDk1

圖2 加速度計(jì)壽命分布概率密度函數(shù)Fig.2 PDF of accelerometer′s life time

從表2 中可以看到，采用筆者方法分析得到該型加速度計(jì)的平均失效壽命為1 539h左右，較其他兩種方法更與廠家額定的數(shù)據(jù)相近。同時(shí)，模型擬合殘差的均方差(meansquarederror，簡(jiǎn)稱MSE)反映出筆者方法與實(shí)際數(shù)據(jù)的擬合程度更好。在圖2中，由方法1得到壽命概率密度函數(shù)在700h左右達(dá)到峰值，設(shè)備出現(xiàn)失效現(xiàn)象的概率較高，這在實(shí)際情況中也有體現(xiàn)。以上幾點(diǎn)表明了筆者提出的方法能較好地反映加速度計(jì)的壽命情況。但應(yīng)該注意到，一是由于樣本量小的限制，二是由于算法得到的概率密度函數(shù)是近似值，所以分析結(jié)果存在一定風(fēng)險(xiǎn)(這一點(diǎn)從概率密度函數(shù)分布相對(duì)發(fā)散可看出)。為了解決該問(wèn)題，首先通過(guò)獲取更多的數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)更新，然后在分析數(shù)據(jù)前減小噪聲干擾，使結(jié)果逼近真實(shí)情況。

表2 加速度計(jì)壽命期望及相關(guān)參數(shù)

圖3 加速度計(jì)可靠度Fig.3 Reliability of accelerometer

5 結(jié)束語(yǔ)

為解決對(duì)加速度計(jì)進(jìn)行壽命預(yù)測(cè)與可靠性評(píng)估時(shí)無(wú)法對(duì)非線性退化軌跡準(zhǔn)確描述的問(wèn)題，建立了一種非線性擴(kuò)散退化過(guò)程模型，將其首達(dá)時(shí)間分布概率密度轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)Brownian運(yùn)動(dòng)首達(dá)時(shí)間概率密度，從而找到了其近似壽命分布函數(shù)，并通過(guò)一組加速度計(jì)的測(cè)試數(shù)據(jù)驗(yàn)證了其有效性。由于三維搜索的計(jì)算量遠(yuǎn)超二維搜索，因此在參數(shù)識(shí)別時(shí)要求不同設(shè)備的測(cè)試時(shí)刻要保持一致，同時(shí)這樣也有助于提高參數(shù)估計(jì)值的準(zhǔn)確度。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.05.009

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61174030)；二炮裝備技術(shù)基礎(chǔ)基金資助項(xiàng)目(EP114054)

2013-09-01；

2013-12-18

U666.1

李瑞，男，1984年6月生，博士生。主要研究方向?yàn)閼T性敏感器件的可靠性分析及維護(hù)。曾發(fā)表《基于加速退化模型的加速度計(jì)非線性特征分析及貯存壽命預(yù)測(cè)》(《中國(guó)慣性技術(shù)學(xué)報(bào)》2014年第22卷第1期)等論文。

E-mail:lr_zeskr@163.com