王 勇， 李舜酩， 張?jiān)?曹倩倩

(1.南京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力學(xué)院 南京，210016) (2.南京工程學(xué)院汽車與軌道交通學(xué)院 南京，211167)

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漸變剛度鋼板彈簧的非線性有限元分析*

王 勇1， 李舜酩1， 張?jiān)?， 曹倩倩1

(1.南京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力學(xué)院 南京，210016) (2.南京工程學(xué)院汽車與軌道交通學(xué)院 南京，211167)

針對傳統(tǒng)的鋼板彈簧設(shè)計(jì)計(jì)算方法難以考慮鋼板彈簧實(shí)際的工作狀況，綜合考慮鋼板彈簧實(shí)際工作過程中的大變形、各簧片及墊片之間的接觸和摩擦等非線性因素，基于有限元分析方法對某汽車后懸架漸變剛度鋼板彈簧的剛度及強(qiáng)度特性進(jìn)行分析。其剛度及強(qiáng)度試驗(yàn)結(jié)果表明，考慮非線性因素后建立的鋼板彈簧有限元模型精度比較高。在模型驗(yàn)證精確的基礎(chǔ)上，利用瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析方法求解鋼板彈簧在簡諧載荷激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，獲得其動(dòng)態(tài)特性隨激勵(lì)載荷頻率與幅值的變化規(guī)律。該建模方法能有效地模擬鋼板彈簧實(shí)際工作狀態(tài)，可為鋼板彈簧結(jié)構(gòu)進(jìn)一步的優(yōu)化提供前提。

鋼板彈簧； 非線性； 建模； 有限元分析； 動(dòng)態(tài)特性

引 言

鋼板彈簧是汽車懸架系統(tǒng)中重要的彈性元件及導(dǎo)向裝置，具有結(jié)構(gòu)簡單、工作可靠、成本低廉和維修方便等優(yōu)點(diǎn)，在汽車懸架系統(tǒng)中廣泛應(yīng)用。

傳統(tǒng)的鋼板彈簧設(shè)計(jì)計(jì)算方法[1]，如共同曲率法及集中載荷法，難以考慮鋼板彈簧實(shí)際工作過程中的接觸及摩擦情況，計(jì)算得到的鋼板彈簧剛度及強(qiáng)度特性與試驗(yàn)值相差較大，實(shí)際情況中必須經(jīng)過某種修正才能滿足設(shè)計(jì)計(jì)算的要求。近幾年來，利用有限元軟件分析鋼板彈簧的剛度及強(qiáng)度特性逐漸成為主要研究方法。文獻(xiàn)[2-3]考慮了鋼板彈簧各簧片之間的接觸與摩擦特性，分析了鋼板彈簧在靜態(tài)載荷作用下的剛度特性。文獻(xiàn)[4-6]分析了復(fù)合材料鋼板彈簧的剛度及強(qiáng)度特性。文獻(xiàn)[7]分析了鋼板彈簧的遲滯特性與等效阻尼隨激勵(lì)載荷的變化規(guī)律。文獻(xiàn)[8-9]考慮鋼板彈簧各簧片之間的接觸，建立了鋼板彈簧動(dòng)力學(xué)模型。

筆者考慮鋼板彈簧實(shí)際工作過程中的大變形、各簧片及墊片之間的接觸和摩擦等非線性因素，利用有限元軟件Hypermesh及Ansys對某汽車后懸架漸變剛度鋼板彈簧的靜態(tài)特性(剛度及強(qiáng)度)進(jìn)行分析，進(jìn)而通過鋼板彈簧的剛度和強(qiáng)度試驗(yàn)驗(yàn)證有限元模型的精確性。在有限元模型驗(yàn)證精確的基礎(chǔ)上，利用Ansys瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)法分析鋼板彈簧在簡諧載荷激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)特性，研究其動(dòng)態(tài)特性隨激勵(lì)載荷頻率與幅值的變化規(guī)律。

1 鋼板彈簧靜力學(xué)分析

1.1 鋼板彈簧有限元模型建立

鋼板彈簧模型為某汽車后懸架漸變剛度鋼板彈簧，由6片鋼板彈簧組成，上四片鋼板彈簧為主簧，下兩片鋼板彈簧為副簧，主簧截面尺寸為8 mm×60 mm，副簧截面尺寸為16 mm×60 mm。6片鋼板彈簧之間用中心螺栓連接并用U形螺栓夾緊在汽車橋殼上。由于此鋼板彈簧為非對稱式鋼板彈簧，所以需整體考慮分析，并且考慮各簧片之間墊片的影響以滿足實(shí)際情況。

鋼板彈簧總成模型是一個(gè)實(shí)體組合模型，考慮鋼板彈簧實(shí)際工作過程中的受力情況，用8節(jié)點(diǎn)三維實(shí)體單元SOLID45來模擬鋼板彈簧。鋼板彈簧各簧片在U形螺栓之外的部分仍可以相互接觸或分離，考慮鋼板彈簧各簧片之間的接觸為非線性問題，需要采用不同的單元類型來進(jìn)行模擬計(jì)算，利用Ansys中的Target170和Contact174兩種三維接觸單元來模擬鋼板彈簧各簧片之間及墊片間的接觸，這兩種單元能充分體現(xiàn)接觸單元之間的柔性特征。在鋼板彈簧的有限元模型中共定義了14個(gè)接觸對。建立的鋼板彈簧有限元模型如圖1所示，整個(gè)網(wǎng)格單元數(shù)為99 102，節(jié)點(diǎn)數(shù)目為87 053。

圖1 鋼板彈簧有限元模型Fig.1 Finite element model of the leaf spring

1.2 鋼板彈簧模型約束及求解設(shè)置

鋼板彈簧總成在中部用U型螺栓夾緊在汽車橋殼上，利用多節(jié)點(diǎn)約束單元MPC單元將第6片鋼板板簧U型螺栓區(qū)域處的節(jié)點(diǎn)連在一起，在中心節(jié)點(diǎn)處施加載荷，方向垂直向上。利用MPC單元將鋼板彈簧中心螺栓處的節(jié)點(diǎn)連在一起，模擬中心螺栓的作用。鋼板彈簧兩端卷耳部分處的約束為：鋼板彈簧的支承方式為一端固支的卷耳，另一端采用鉸支的吊耳。鋼板彈簧施加約束后的有限元模型如圖2所示。

圖2 鋼板彈簧施加約束后的有限元模型Fig.2 Finite element model of the leaf spring when the constraints are imposed

1.3 鋼板彈簧有限元計(jì)算結(jié)果及分析

按照實(shí)際工況，考慮鋼板彈簧各簧片及墊片間的摩擦，此時(shí)鋼板彈簧各簧片之間的摩擦因數(shù)μ=0.2，對鋼板彈簧施加載荷18 000 N，與試驗(yàn)所加載荷一致，方便進(jìn)行模型驗(yàn)證分析。求解時(shí)分100個(gè)子步加載，求解完成后得到鋼板彈簧的剛度及強(qiáng)度特性。圖3為鋼板彈簧總成變形圖，圖4為鋼板彈簧總成Von Mises等效應(yīng)力云圖，圖5為鋼板彈簧各簧片Von Mises等效應(yīng)力云圖。

圖3 鋼板彈簧總成變形圖Fig.3 Deformation figure of the leaf spring assembly

圖4 鋼板彈簧總成Von Mises等效應(yīng)力云圖Fig.4 Von Mises equivalent stress cloud figure of the leaf spring assembly

分析鋼板彈簧等效應(yīng)力分布云圖結(jié)果，第1片鋼板彈簧兩端通過鉸接的方式連接，限制了鋼板彈簧的橫向移動(dòng)自由度。鋼板彈簧中部通過U型螺栓壓緊在橋殼上，不發(fā)生變形，以前后端鋼板彈簧中部應(yīng)力值最大。鋼板彈簧材料為60Si2Mn，許用應(yīng)力值為1 210 MPa，第1片鋼板彈簧的最大應(yīng)力值小于材料的許用應(yīng)力值。

第2，3，4片鋼板彈簧的應(yīng)力分布規(guī)律相似。鋼板彈簧端部通過尼龍墊片與上一片鋼板彈簧相接觸，應(yīng)力值較小。各鋼板彈簧中部通過U型螺栓和壓板壓緊在車橋上，應(yīng)力值較低，前后端鋼板彈簧中部應(yīng)力值最大，該區(qū)域的等效應(yīng)力為720～1 200 MPa，最大應(yīng)力值小于材料的許用應(yīng)力值。

最后兩片鋼板彈簧由于施加載荷作用區(qū)域的緣故，與其他各片鋼板彈簧的應(yīng)力分布略有不同，小部分區(qū)域出現(xiàn)應(yīng)力集中，第6片鋼板彈簧的應(yīng)力集中區(qū)域的最大應(yīng)力值大于材料的許用應(yīng)力值。

利用Matlab處理得到鋼板彈簧的載荷-變形曲線如圖6所示。鋼板彈簧模型的主簧剛度加緊狀態(tài)有限元計(jì)算結(jié)果為57.32 N/mm，復(fù)合簧剛度加緊狀態(tài)有限元計(jì)算結(jié)果為138 N/mm。

圖6 鋼板彈簧載荷-變形曲線Fig.6 Load-deformation curve of the leaf spring

2 鋼板彈簧變形試驗(yàn)及結(jié)果分析

從振動(dòng)力學(xué)的觀點(diǎn)看，鋼板彈簧總成可以簡化為一個(gè)質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)，該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程[10]具有以下形式

(1)

其中：F為施加于鋼板彈簧上的載荷；y=Δy+y0為鋼板彈簧中部的位移；m為鋼板彈簧的等效質(zhì)量；C(y,t)為鋼板彈簧的等效阻尼(等效阻尼是一個(gè)與鋼板彈簧正壓力，各簧片之間的摩擦，簧片的變形量等有關(guān)的非線性函數(shù)，是鋼板彈簧加載卸載一個(gè)循環(huán)中的能量損耗的度量，鋼板彈簧阻尼的非線性主要是由摩擦所致)；K(y,t)為鋼板彈簧的等效剛度；y0為鋼板彈簧的變形量，反映了鋼板彈簧所承受的靜載荷。

鋼板彈簧剛度及強(qiáng)度特性試驗(yàn)如圖7所示，對鋼板彈簧緩慢連續(xù)施加載荷18 000 N，再緩慢連續(xù)卸載，得到鋼板彈簧在各載荷作用下的變形量。鋼板彈簧試驗(yàn)剛度特性曲線如圖8所示。除了驗(yàn)證鋼板彈簧的剛度外，鋼板彈簧所受應(yīng)力也必須通過試驗(yàn)來驗(yàn)證。在鋼板彈簧第1片主簧表面及最后一片鋼板彈簧的對應(yīng)位置沿縱向軸線的方向貼上電阻應(yīng)變片。試驗(yàn)時(shí)各測點(diǎn)位置及應(yīng)變?nèi)鐖D9，10所示。各測點(diǎn)距中心螺栓距離如表1所示。

當(dāng)鋼板彈簧承受載荷比較小時(shí)，只有主簧起作用；當(dāng)載荷比較大時(shí)，主簧和副簧充分接觸，共同起作用。鋼板彈簧試驗(yàn)時(shí)的主簧剛度加緊狀態(tài)為53 N/mm，復(fù)合簧剛度加緊狀態(tài)為136 N/mm，有限元計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果相比，誤差分別為-8.15%,-1.47%，鋼板彈簧有限元計(jì)算的剛度值誤差在允許誤差范圍內(nèi)。

圖7 鋼板彈簧剛度及強(qiáng)度特性試驗(yàn)Fig.7 Stiffness and strength experiment of the leaf spring

圖8 鋼板彈簧試驗(yàn)剛度特性曲線Fig.8 Experimental stiffness characteristic curve of the leaf spring

圖9 試驗(yàn)鋼板彈簧各測點(diǎn)位置Fig.9 Each measuring point of the experimental leaf spring

圖10 試驗(yàn)鋼板彈簧各測點(diǎn)應(yīng)變圖Fig.10 Strain diagram of each measuring point of experimental leaf spring

測點(diǎn)距離/mm測點(diǎn)距離/mmP1378P6212P2308P7370P3180P8437P456P9110P550P10135

鋼板彈簧各測點(diǎn)應(yīng)力試驗(yàn)值與有限元計(jì)算應(yīng)力值對比如表2所示。

表2 各測點(diǎn)應(yīng)力試驗(yàn)值與有限元值對比

從表2中可看出，各測點(diǎn)應(yīng)力值有限元計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)測點(diǎn)的應(yīng)力值相比，誤差比較小，說明建立的有限元模型精度比較高，能夠模擬實(shí)際鋼板彈簧的受力情況。產(chǎn)生誤差的原因有：a.應(yīng)變片測量的是鋼板彈簧在該測點(diǎn)位置附近區(qū)域的應(yīng)變值，而有限元計(jì)算結(jié)果提取的是某一節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力值，兩者容易造成誤差；b.在Ansys中的材料屬性設(shè)置為各向同性材料，而鋼板彈簧在實(shí)際加工中受到熱處理和噴丸等工藝處理，材料很難達(dá)到絕對的各向同性。

3 鋼板彈簧動(dòng)態(tài)特性分析

3.1 鋼板彈簧動(dòng)態(tài)特性有限元模型

鋼板彈簧在動(dòng)態(tài)載荷下抵抗變形的能力稱為動(dòng)剛度，即引起鋼板彈簧單位振幅所需要的動(dòng)態(tài)力。

當(dāng)鋼板彈簧承受周期變化的正弦載荷時(shí)，鋼板彈簧也會(huì)產(chǎn)生周期性的正弦變形。由于鋼板彈簧各簧片之間及墊片之間存在摩擦，鋼板彈簧變形時(shí)摩擦?xí)囊欢ǖ哪芰浚憩F(xiàn)為鋼板彈簧的變形常落后于載荷，變形的正弦波與載荷的正弦波之間存在相位差，即為損耗因子或滯后角，表現(xiàn)在載荷-變形曲線上形成了一個(gè)遲滯回線，如圖11所示。鋼板彈簧的動(dòng)剛度可用以下的式子簡單計(jì)算

(2)

圖11 遲滯回線Fig.11 Hysteresis loop

其中：A為鋼板彈簧最大變形量在遲滯回線上的雙幅長度；B為與最大變形量對應(yīng)的載荷在遲滯回線上的雙幅長度；a為橫坐標(biāo)中單位長度代表的位移；b為縱坐標(biāo)中單位長度代表的力；FT為鋼板彈簧最大變形量達(dá)到最大值時(shí)的載荷。

由靜力學(xué)有限元計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對比分析可知，建立的鋼板彈簧有限元模型精度比較高，在此基礎(chǔ)上研究鋼板彈簧的動(dòng)態(tài)特性。

動(dòng)力學(xué)計(jì)算的載荷為交變載荷，載荷的頻率設(shè)定要包含鋼板彈簧的前幾階固有頻率。通過計(jì)算鋼板彈簧在約束狀態(tài)下的模態(tài)得到鋼板彈簧的前四階固有頻率在50 Hz以內(nèi)，設(shè)置交變載荷的最高頻率為50 Hz。載荷的加載方式分為兩種：a.各激勵(lì)頻率下的載荷幅值一定，對比加載不同頻率下的鋼板彈簧動(dòng)態(tài)特性規(guī)律;b.激勵(lì)頻率一定，對比加載不同載荷幅值下的鋼板彈簧動(dòng)態(tài)特性規(guī)律。

3.2 鋼板彈簧動(dòng)態(tài)特性規(guī)律分析

3.2.1 鋼板彈簧動(dòng)態(tài)特性隨載荷頻率變化的規(guī)律分析

鋼板彈簧動(dòng)態(tài)載荷大小設(shè)計(jì)為F=1 500+300×sin(2πft)，加載頻率f分別為5,10,20,50 Hz。由于當(dāng)時(shí)間t為0時(shí)，載荷F為1 500 N，1 500 N的載荷是一個(gè)比較大的沖擊載荷，會(huì)造成有限元計(jì)算不收斂，所以分兩個(gè)載荷步加載。第一載荷步加載靜態(tài)載荷1 500 N；第二載荷步在第一載荷步的基礎(chǔ)上加載一個(gè)周期的正弦垂向載荷。載荷加載頻率為5 Hz時(shí)的鋼板彈簧位移變化曲線如圖12所示。不同頻率下鋼板彈簧的位移隨動(dòng)態(tài)載荷加載卸載的變化曲線如圖13所示。鋼板彈簧的動(dòng)剛度及最大應(yīng)力值隨動(dòng)態(tài)載荷頻率變化趨勢如表3所示。

圖12 加載頻率為5 Hz時(shí)的鋼板彈簧位移變化曲線Fig.12 Displacement curve of the leaf spring when the load frequency is 5 Hz

圖13 不同激勵(lì)頻率下鋼板彈簧的位移隨動(dòng)態(tài)載荷加載卸載的變化曲線Fig.13 Displacement curves of the leaf spring with the change of loading and unloading for the dynamic load under different load frequencies

f/Hz動(dòng)剛度/(N·mm-1)最大應(yīng)力值/MPa552.37173.41054.44165.52062.34163.45062.82150.6

從圖12,13中可看出，當(dāng)動(dòng)態(tài)載荷頻率變化時(shí)，位移與載荷并不同步，鋼板彈簧在簡諧載荷激勵(lì)下，其位移響應(yīng)有明顯的滯后，即產(chǎn)生遲滯現(xiàn)象，在加載和卸載狀態(tài)下鋼板彈簧的位移變化是不同的，這是因?yàn)殇摪鍙椈筛骰善皦|片之間存在摩擦，摩擦做功損失能量造成的。

從表3中可看出，鋼板彈簧的動(dòng)剛度隨動(dòng)態(tài)載荷頻率的增加而增加。動(dòng)態(tài)載荷頻率在較低頻率時(shí)，動(dòng)剛度接近于靜剛度；動(dòng)態(tài)載荷頻率在5～20 Hz變化時(shí)，動(dòng)剛度隨頻率增加急劇增大，即鋼板彈簧的動(dòng)剛度受頻率變化表現(xiàn)敏感；動(dòng)態(tài)載荷頻率高于20 Hz時(shí)，隨著頻率的增加，鋼板彈簧的動(dòng)剛度增加緩慢，受載荷頻率變化影響較小。而鋼板彈簧的最大應(yīng)力值隨著動(dòng)態(tài)載荷頻率的增加而逐漸減小。3.2.2 鋼板彈簧動(dòng)態(tài)特性隨載荷幅值變化的規(guī)律分析鋼板彈簧動(dòng)態(tài)載荷大小設(shè)計(jì)為F=1 500+A×sin(5πt)，加載幅值A(chǔ)分別為150，300，450，600 N。不同動(dòng)態(tài)載荷幅值下鋼板彈簧的位移隨動(dòng)態(tài)載荷加載卸載的變化曲線如圖14所示。鋼板彈簧的動(dòng)剛度及最大應(yīng)力值隨動(dòng)態(tài)載荷幅值變化趨勢如表4所示。

圖14 不同載荷幅值下鋼板彈簧位移隨動(dòng)態(tài)載荷加載卸載變化曲線Fig.14 Displacement curves of the leaf spring with the change of loading and unloading for the dynamic load under different load amplitudes

幅值/N動(dòng)剛度/(N·mm-1)最大應(yīng)力值/MPa15051.75161.230052.37173.445052.48184.460052.84192.7

從表4中可看出，當(dāng)鋼板彈簧動(dòng)態(tài)載荷的加載頻率一定時(shí)，隨著載荷幅值的增加，鋼板彈簧的動(dòng)剛度逐漸增大，最大應(yīng)力值也相應(yīng)增加。

4 結(jié)束語

筆者考慮了鋼板彈簧實(shí)際工作過程中的大變形、各簧片及墊片之間的接觸和摩擦等非線性因素，建立的鋼板彈簧非線性有限元模型精度比較高，能夠模擬實(shí)際鋼板彈簧的受力情況。利用瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析方法分析了鋼板彈簧的動(dòng)態(tài)特性隨激勵(lì)載荷頻率與幅值的變化規(guī)律。當(dāng)激勵(lì)載荷幅值一定時(shí)，鋼板彈簧的動(dòng)剛度隨頻率的增加而增加，而鋼板彈簧的最大應(yīng)力值隨著頻率的增加而逐漸減小。當(dāng)激勵(lì)載荷頻率一定時(shí)，鋼板彈簧的動(dòng)剛度隨著載荷幅值的增加而增大，最大應(yīng)力值也相應(yīng)增加。

筆者提出的建模方法能有效地模擬鋼板彈簧的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)特性，可為鋼板彈簧結(jié)構(gòu)進(jìn)一步的優(yōu)化提供前提。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.05.003

*江蘇省研究生培養(yǎng)創(chuàng)新工程資助項(xiàng)目(KYLX_0243)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目

2013-07-04；

2013-08-30

U463.33

王勇，男，1989年6月生，博士生。主要研究方向?yàn)檐囕v振動(dòng)分析與控制。 E-mail：wangy1921@126.com