李文娟（赤峰學(xué)院　數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古　赤峰　024001）

?

一類(lèi)二階非線性系統(tǒng)解的有界性及漸近性研究

李文娟
（赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古赤峰024001）

摘要：本文借助輔助泛函，得到了二階非線性的微分系統(tǒng)x.=p(Q(y)-F(x))，y.=-h(t)g(x)+e(t)解的有界性及漸近性態(tài).關(guān)鍵詞：有界性；非線性系統(tǒng)；非自治；漸近性

1　引言

研究如下非自治的非線性系統(tǒng)

其中p(y),Q(y),g(x),F(x)是定義在R=(-∞,+∞)上的連續(xù)實(shí)函數(shù)，h(t),e(t)是定義在R+=[0,+∞)上的連續(xù)實(shí)函數(shù)，且滿足解的存在唯一條件.為便于研究沿用前文獻(xiàn)記法.記

當(dāng)p(y)=y,Q(y)=y,h(t)≡1時(shí)為眾所周知的李安納特系統(tǒng)潘志剛，楊啟貴等人于文[1]、文[2]中對(duì)（2）式的有界性及整體漸近性進(jìn)行了一些推廣和改進(jìn).文[3]在此基礎(chǔ)上又做了一些推廣.本文的目的是研究更為廣泛的系統(tǒng)（1），其能夠?qū)ξ腫1- 7]的結(jié)果進(jìn)行一些推廣和改進(jìn).

2　主要結(jié)果

定理1假設(shè):

（1）存在一常數(shù)a>0使G(x)≥- a,當(dāng)-∞

（2）g(x)?F(x)≥0,x∈R;

（3）yp(y)>0，y≠0；p(±∞)=±∞，且存在正數(shù)m1，m2使當(dāng)y1>y2時(shí)，有m1(y1- y2)

（4）Q(y)為y的嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù)，yQ(y)>0,y≠0；Q(± ∞)=±∞，且存在常數(shù)m>0使|p(Q(y))|≤R(y)+m；

（5）h(t)>0,h(t)≥0且h(t)>0有界|e(t)|dt<+∞；

則系統(tǒng)（1）的每一解有界的充要條件是

定理2假設(shè):

（1）xg(x)>0,x≠0;

（2）x?F(x)≥0,x∈R，且在含原點(diǎn)的鄰域內(nèi)至少有一點(diǎn)使F(x)≠0;

（3）yp(y)>0,y≠0；p(±∞)=±∞，且存在正數(shù)m1,m2使當(dāng)y1>y2時(shí)，有m1(y1- y2)

（4）Q(y)為y的嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù)，yQ(y)>0,y≠0；Q(± ∞)=±∞，且存在常數(shù)m>0，使|p(Q(y))|≤R(y)+m；

（5）h(t)>0,h'(t)≥0且h(t)>0有界|e(t)|dt<+∞

則系統(tǒng)（1）的每一解收斂于原點(diǎn)的充要條件是

3　主要結(jié)果的證明：

定理1的證明:

令

則有

設(shè)(x(t),y(t))是式（1）具有初值(x(0),y(0))=(x0,y0)的解，則由（5）式及條件（2）知≤0故V(t,x(t),y(t))關(guān)于t為單調(diào)遞減的.即有：

0≤V(t,x,y)≤V(0,x(0),y(0))≡V(0,x0,y0)≡D0

即V(t,x(t),y(t)有界.

先證y(t)有界.

這與V(t,x(t),y(t))≤D0矛盾.故存在正數(shù)N>0使得|y(t)|

成立，則x(t)有上界.

（ⅱ）若，則存在B2>0，使得F(B2)>Q(N)，必然有x(t)

產(chǎn)生矛盾.

則x(t)0,使x(t3)=B3，x0

矛盾.故x(t)

綜上（?。áⅲá＃?存在M>0,使x(t)

成立時(shí),x(t)有下界,故充分性得證.

必要性:反證:設(shè)式(1)的每一解有界,而(3)式不成立.下證當(dāng)

時(shí),式(1)存在無(wú)界正解.

由條件(1)(2)知,存在正數(shù)Q1,使|F(x)|p(Q(y) - Q1),且存在N1>0,使y>N1時(shí),有(t)>1.又因R(+∞)=+∞,故可取y0>N1,使得

下面證明具有初值條件(x(0),y(0))=(0,y0)的解(x(t),y(t))即為一無(wú)界正解.

先證y(t)>N1.否則存在t0>0,使y(t0)=N1,y(t)≥N1(0≤t

故

0=x(0)≤x(t)

令

由條件(1)(4)及類(lèi)似于(4)式推出

從0到t0積分(4)式得

而

故有

這與y0的取法矛盾,故y(t)>N1(t≥0),因此x.(t)>1,即x(t) >t→+∞(t→+∞)

即(1)式存在一無(wú)界正解.這顯然與解的有界性矛盾.故必要性得證.

定理2的證明：

由定理2的條件(1)(2)顯然可推出定理1的條件(1)(2).故由定理1中(3)式必要性的證明可得定理2中(3)式的必要性.以下只證充分性:

由定理1知(1)式每一解(x(t),y(t))均有界,

令

則類(lèi)似推出

故由Lasalle定理知對(duì)(1)式每一解(x(t),y(t))均有

(x(t),y(t))→ω?Ω={(x,y)|g(x)?F(x)=0}={(x,y)|F(x)=0},(t→∞)其中ω為Ω中最大的不變子集,下面證明ω={(0,0)}.考慮t→∞,e(t)→0,h(t)→b(由條件(3)知極限存在)

假設(shè)(x0,y0)∈ω,且x0≠0,則過(guò)(x(0),y(0))=(x0,y0)的解(x(t),y(t))應(yīng)是如下系統(tǒng)的解：

參考文獻(xiàn)：

〔1〕潘志剛，蔣繼發(fā).廣義Liénard方程的整體漸近性態(tài)[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，1992（12）：376-380.

〔2〕楊啟貴Liénard.方程解的有界性與整體漸近性[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，1999，19，211-216.

〔3〕孫姝.一類(lèi)二階非自治系統(tǒng)解的有界性及漸近性[J].中國(guó)海洋大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，36（3）：397-400.

〔4〕余德治，劉炳文，彭樂(lè)群.一類(lèi)非線性系統(tǒng)解的有界性[J].數(shù)學(xué)雜志，2004，24（3）.

〔5〕劉炳文，黃立宏.對(duì)有界性的注解[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2004，47 （5）：833-836.

〔6〕張紅，周啟元，肖兵.一類(lèi)廣義Liénard系統(tǒng)解的有界性[J].湖南文理學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)漢文版），2005，17（1）.

〔7〕馮春華.一類(lèi)時(shí)滯微分方程解的有界性[J].廣西科學(xué)，2002，9（1）：18-20.

中圖分類(lèi)號(hào)：O175

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673- 260X（2015）06- 0001- 03