張芳馨，呂躍進（.廣西大學　電氣工程學院，廣西　南寧　530004；.廣西大學　數(shù)學與信息科學學院）

基于空間可能度的區(qū)間粗糙數(shù)多屬性決策方法

張芳馨1，呂躍進2
（1.廣西大學電氣工程學院，廣西南寧530004；2.廣西大學數(shù)學與信息科學學院）

摘要：首先利用二維直角坐標系定義了一種區(qū)間粗糙數(shù)的空間可能度，說明了其幾何意義并證明了相關的性質.該定義全面直觀地比較了兩個區(qū)間粗糙數(shù)的大小，并準確地將區(qū)間粗糙數(shù)的大小比較轉化為區(qū)間數(shù)可能度的計算.其次給出了一種基于空間可能度的區(qū)間粗糙數(shù)多屬性決策方法.最后通過實例說明該方法的有效性與實用性.

關鍵詞：區(qū)間粗糙數(shù)；空間可能度；多屬性決策；二維空間

多屬性決策是考慮在多個屬性或指標下，從多個備選方案中選出最佳方案或對備選方案進行優(yōu)劣排序的決策問題.多屬性決策是決策科學的重要方法之一，其可應用在投資決策、評估項目、工程選址、部門綜合評價等諸多領域及項目中.由于事物都存在著人為的或客觀的不確定性，因此不確定理論具有極大的學術價值及發(fā)展前景，近年來，對不確定信息問題的處理也引起了學術界的廣泛關注.在多屬性決策中，有時屬性值的信息難以用確切的數(shù)值[1]來表達，文獻[1-3]中的屬性值用區(qū)間數(shù)來表示，直覺模糊數(shù)[4]、區(qū)間直覺模糊數(shù)[5]、三角模糊數(shù)[6，7]、梯形模糊數(shù)[8，9]等也都曾被當做屬性值的不確定形式給出.區(qū)間粗糙數(shù)是一種不確定型數(shù)值的表達方式，通過給定上近似和下近似的區(qū)間值，確定數(shù)值的最大范圍和最可能范圍，最大程度地保留了完整的數(shù)值信息.這種形式的屬性值可以通過統(tǒng)計計算得到.區(qū)間粗糙數(shù)將信息控制在一個大區(qū)間的同時，又以極大的概率屬于一個小區(qū)間中，將可用信息充分利用.2010年曾玲等首先給出屬性值為區(qū)間粗糙數(shù)的基本定義及運算法則，并構建了優(yōu)先序信息的多屬性決策模型.文獻[11]給出了基于理想點的區(qū)間粗糙數(shù)比較方法，但其比較公式實際意義有所不足，文獻[12]給出了基于可能度的區(qū)間粗糙數(shù)比較方法，但其可能度公式并沒有給出理論依據(jù).本文針對屬性值為區(qū)間粗糙數(shù)的多屬性決策問題進行了研究，首先利用二維直角坐標系，定義了區(qū)間粗糙數(shù)的空間可能度，根據(jù)區(qū)間粗糙數(shù)落入不同區(qū)間的概率不同，全面的考慮了任意情況下區(qū)間粗糙數(shù)的大小.然后針對屬性值為區(qū)間粗糙數(shù)，屬性權重已知情況，給出了一種基于空間可能度的排序方法，并購建立以此為基礎的多屬性決策模型，使其具有可行性及有效性.

1　基本概念

定義1[10]區(qū)間粗糙數(shù)是下近似和上近似均為區(qū)間的粗糙集，記為（[a，b]，[c，d]），其中c≤a≤b≤d.

定義2[10]設ξi=（[ai，bi]，[ci，di])（i=1，2)為兩個區(qū)間粗糙數(shù)，k為實數(shù)，則有

定義3[10]設ξ=（[a，b]，[c，d])為區(qū)間粗糙數(shù)，則ξi的期望值為

定義4[10]設ξi=（[ai，bi]，[ci，di])（i=1，2)為兩個區(qū)間粗糙數(shù)，則它們的相離度定義為

2　區(qū)間粗糙數(shù)的空間可能度定義

區(qū)間粗糙數(shù)可以看做一種特殊的區(qū)間數(shù)，目前諸多文獻都給出了關于區(qū)間數(shù)的比較方法，文獻[13]根據(jù)二維空間給出區(qū)間數(shù)的可能度公式如下.

定義5[13]設區(qū)間數(shù)a=[a-，a+]和區(qū)間數(shù)b=[b-，b+]，則a≥b的可能度P（a≥b)的定義為

利用定義5，本文構造了區(qū)間粗糙數(shù)的空間可能度.根據(jù)區(qū)間粗糙數(shù)的基本定義，可知區(qū)間粗糙數(shù)ξ=（[a，b]，[c，d])只可能在區(qū)間[c，d]中，在區(qū)間[a，b]中是一定可接受的，故設定ξ=（[a，b]，[c，d])落入區(qū)間[c，a]概率為λ1，落入區(qū)間[a，b]的概率為λ2，落入區(qū)間[b，d]的概率為λ3，且滿足λ1+λ2+λ3=1，其中λ2≥0.6.

定義6設區(qū)間粗糙數(shù)ξ1=（[a1，b1]，[c1，d1])與ξ2=（[a2，b2]，[c2， d2])，則稱為ξ1≥ξ2的空間可能度，其定義為：

a1，b1，c1，d1，a2，b2，c2，d2將ξ1與ξ2圍成的矩形分割成9個部分，如圖2-1所示.其中S1為以（c1，c2)，（c1，a2)，（a1，c2)和（a1，a2)為頂點的矩形的面積，其幾何意義為ξ1=（[a1，b1]，[c1，d1])落入[c1，a1]時，同時ξ2=（[a2，b2]，[c2，d2])也落入[c2，a2]，在此概率下ξ1與ξ2所構成的矩形，則此時ξ1≥ξ2的可能度為：

其中X1=（c1，a1]，Y1=[c2，a2].為方便計算，同時令X2=（a1，b1]，X3=[b1，d1]，Y2=（a2，b2]，Y3=[b2，d2].

圖2-1

由此可得在ξ1與ξ2落入其他區(qū)間的可能度（1≤i≤9)如下：

定義6全面的考慮了ξ1與ξ2在任何情況下的比較，根據(jù)空間可能度公式，可將區(qū)間粗糙數(shù)的大小比較轉換為區(qū)間數(shù)的大小比較，利用區(qū)間數(shù)可能度的二維定義進行計算.定義6的理論依據(jù)及幾何意義解釋如下：

區(qū)間粗糙數(shù)ξ1=（[a1，b1]，[c1，d1])與ξ2=（[a2，b2]，[c2，d2])分別表示在二維直角坐標系的X軸與Y軸上，畫一條直線y=x，此時ξ1與ξ2圍成的概率面積可被切割為兩大部分，如圖2-2所示.

圖2-2

由此可知：

設區(qū)間粗糙數(shù)ξ1=（[a1，b1]，[c1，d1])與ξ2=（[a2，b2]，[c2，d2])，根據(jù)兩個區(qū)間粗糙數(shù)的上近似[c1，d1]與[c2，d2]在平面直角坐標系中畫出一個矩形，其四個頂點分別為（c1，c2)，（c1，d2)，（d1，c2)和（d1，d2)，記其概率加權面積為S總.直線y=x將矩形分成兩個部分，落入下半部分的概率加權面積記為S下，落入上半部分的概率加權面積時記為S上，則稱ξ1≥ξ2的可能度為：

由圖2-2易知此定義的幾何含義：由下近似[c1，d1]與[c2，d2]所圍成的矩形被直線y=x分成S上與S下兩部分，S下區(qū)域由所有ξ1≥ξ2的點所構成，S上區(qū)域為所有ξ2≥ξ1的點構成，而在直線y=x上的點則為ξ1=ξ2.因此可知本定義合理有效，并且其直觀簡練的表達出了區(qū)間粗糙數(shù)空間可能度的意義.

定義6滿足如下性質：

性質1設ξi=（[ai，bi]，[ci，di])（i=1，2)，則

當且僅當d2≤c1（3）當且僅當d1≤c2

由定義6，易證（1），（2），（3），由文獻13中給出的定義

5的性質易證（4），（5），在此不再贅述，現(xiàn)對性質（6）進行證明.

①當a3≤c1時，P（X1≥Z1)=1，根據(jù)區(qū)間數(shù)可能度的性質可知0≤P（Y1≥Z1)≤1，故P（X1≥Z1)≥P（Y1≥Z1)得證.

②當c3≥a2時，P（Y1≥Z1)=0，根據(jù)區(qū)間數(shù)可能度的性質可知0≤P（Y1≥Z1)≤1，故P（X1≥Z1)≥P（Y1≥Z1)得證.

③當c3≤a2≤c1≤a3時，

P（X1≥Z1)-P（Y1≥Z1)=1-

因為a3-c1≤a3-c3且a3-c1≤a1-c1，故

又因為a2-c3≤a3-c3且a2-c1≤a1-c1，

綜上，P（X1≥Z1)≥P（Y1≥Z1)成立，則（ξ2≥ξ3)成立，同理可得為正整數(shù)），故得證.所以P（X1≥Z1)-P（Y1≥Z1)≥0

3　建立基于空間可能度的多屬性決策模型

區(qū)間粗糙數(shù)的多屬性決策問題：給定m個方案，n個獨立的屬性，屬性權重信息已知且為實數(shù).設S={S1，S2，…，Sm}為方案集，Q={Q1，Q2，…，Qn}為指標集，W={w1，w2，…，wn}為評價指標權重的向量，其中wj表示指標Qj的權重，滿足wj≥0，且.方案Si關于屬性Qj的屬性評價值ξij=（[aij，bij]，[cij，dij])（i=1，2，：m;j=1，2，…，n)為區(qū)間粗糙數(shù)，因此構成了區(qū)間粗糙數(shù)決策矩陣A=（ξij)m×n，目標是在多個方案中找出最優(yōu)的方案.

步驟一：某些指標的屬性值越大越好，稱為效益型指標;有些指標的屬性值越小越好，稱為成本型指標;這些屬性不便于直接從數(shù)值大小判斷備選方案的優(yōu)劣，因此需要對數(shù)據(jù)進行預處理，使性能越優(yōu)的屬性值越大.可采用下列極差比例轉換法[10]：

（1）對于收益型屬性，可根據(jù)公式轉換為

（2）對于成本型屬性，可根據(jù)公式轉換為

步驟二：設mij為第i個方案Si在第j個屬性Qj下規(guī)范化后的屬性值，wj為第j個屬性的權重，則通過對規(guī)范化后的指標值求得綜合評價值M（Si):

步驟三：利用定義6的區(qū)間粗糙數(shù)空間可能度的公式，計算得出各個方案的綜合屬性值M（Si)之間的空間可能度Pij=P（M（Si)≥M（Sj)）（i，j∈N），并構建空間可能度集合以進行比較.

步驟四：利用方法FPSM中的公式，求得空間可能度矩陣的排序向量，Z=（z1，z2，z3，z4，z5)，根據(jù)其數(shù)值大小得到最優(yōu)的備選方案，排序公式如下：

4　實例分析

某單位計劃投資一個項目，初步選取了5個備選項目（i=1，2，3，4，5），并構建了4項指標：投資額（Q1)，期望收益（Q2)，風險盈利（Q3)，風險損失（Q4)，這里期望收益（Q2)和風險盈利（Q3)為效益型屬性，投資額（Q1)和風險損失（Q4)為成本性屬性.備選方案的指標值全部以區(qū)間粗糙數(shù)的形式給出，如表1所示.

利用轉換公式（11)、（12)對屬性值進行規(guī)范化處理，表2為規(guī)范化決策矩陣.

表1決策屬性值表

本文引用文獻[10]中各個屬性的權重值（ω1=0.3771，ω2=ω3=0.3071，ω4=0.0487），利用公式（13）求出5個投資項目的綜合屬性值M（Si)（i=1，2，3，4，5)：

M（S1)=（[0.45，0.55]，[0.31，0.71]），

M（S2)=（[0.65，0.71]，[0.56，0.84]），

M（S3)=（[0.51，0.61]，[0.36，0.75]），

M（S4)=（[0.53，0.63]，[0.43，0.74]），

M（S5)=（[0.43，0.51]，[0.35，0.63]）

表2規(guī)范化決策矩陣

利用定義8的區(qū)間粗糙數(shù)空間可能度的公式，計算得出各個方案的綜合評價值的空間可能度，并建立空間可能度的比較矩陣，P=（pij)m×n，且設定λ2=0.6，λ1=λ3=0.2.

取T=2（n-1)，利用式（14）求得空間可能度比較方案P的排序向量如下：

Z=（0.1595，0.2844，0.2016，0.2175，0.1372)由上述公式及過程求出的空間可能度的數(shù)值，可以得到5個備選方案的優(yōu)劣排序結果如下:

故應優(yōu)先選擇項目S2進行投資.

5　結論

本文將區(qū)間粗糙數(shù)放置到二維直角坐標系中進行比較，基于此直觀的給出了一種區(qū)間粗糙數(shù)空間可能度的定義，并證明了相關的性質.此定義通過考慮區(qū)間粗糙數(shù)分別以不同的概率落入不同區(qū)間時的大小變化來定義的，因此相對于區(qū)間粗糙數(shù)可能度的定義考慮更全面，更有理論依據(jù).最后，通過實例證明了算法的可行性，實例結果與文獻[10]中的排序結果完全相同，證明了算法的有效性.

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基金項目：國家自然科學基金項目資助(71361002)；廣西自然科學基金項目資助(2013GXNSFAA019016)

中圖分類號：O21；C934

文獻標識碼：A

文章編號：1673-260X（2015）07-0001-04