邢 強(qiáng)，徐爭(zhēng)鳴，蔡新華

（廣州大學(xué) 教育學(xué)院 心理學(xué)系，廣東 廣州 510006）

小學(xué)生數(shù)字線估計(jì)中的分段策略

邢 強(qiáng)，徐爭(zhēng)鳴，蔡新華

（廣州大學(xué) 教育學(xué)院 心理學(xué)系，廣東 廣州 510006）

摘要：采用3[數(shù)字線估計(jì)任務(wù)類型：0-100 (15 cm)、0-100 (10 cm)、0-1 000(15 cm)]×3(年級(jí)：二、四、六)的混合實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，探討小學(xué)生數(shù)字線估計(jì)的發(fā)展特點(diǎn)及分段策略的作用.結(jié)果發(fā)現(xiàn)：（1）隨著年級(jí)的增長(zhǎng)，小學(xué)生的數(shù)字線估計(jì)準(zhǔn)確性不斷提升.（2）數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中，表征模式發(fā)展趨勢(shì)為：二年級(jí)主要采用對(duì)數(shù)函數(shù)，四、六年級(jí)主要采用線性函數(shù).（3）二、四年級(jí)學(xué)生使用分半策略，六年級(jí)學(xué)生使用偶分策略.

關(guān)鍵詞：小學(xué)生；數(shù)字線估計(jì)；表征模式；分段策略

1　問(wèn)題提出

數(shù)字線估計(jì)作為一種重要的數(shù)學(xué)認(rèn)知能力，是以內(nèi)部近似準(zhǔn)確的量化標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)對(duì)實(shí)際的線段進(jìn)行的操作，兒童在數(shù)字線估計(jì)上的表現(xiàn)是其對(duì)“數(shù)”精確加工程度的體現(xiàn)[1]，數(shù)字線估計(jì)是數(shù)估計(jì)研究中常用的研究范式.所謂數(shù)估計(jì)就是由一種數(shù)量表征轉(zhuǎn)換為另一種數(shù)量表征的過(guò)程中，只要有一種表征形式涉及到數(shù)字的估計(jì)便可稱為數(shù)估計(jì)[2].數(shù)字線估計(jì)是一種純數(shù)估計(jì)，控制了數(shù)字單位和生活經(jīng)驗(yàn)等額外變量，有很高的生態(tài)效度，具體做法是讓被試估計(jì)一個(gè)數(shù)在一條線段上的位置，即要求被試把數(shù)字表征轉(zhuǎn)化為以長(zhǎng)度來(lái)表征的數(shù)量.當(dāng)前對(duì)數(shù)字線估計(jì)的研究取得了大量成果[3~6]，形成了對(duì)數(shù)規(guī)則模型、存儲(chǔ)器模型、線性規(guī)則模型、重疊波理論等一系列理論模型[7].前3種模型都把數(shù)字線估計(jì)的內(nèi)部表征模式視為單一的策略或運(yùn)算模式，即對(duì)數(shù)表征（指數(shù)字估計(jì)的估計(jì)值與估計(jì)數(shù)量呈對(duì)數(shù)函數(shù)圖象）、等級(jí)可變性表征（是指數(shù)字估計(jì)的協(xié)方差即估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)化差除以被估計(jì)的數(shù)字是恒定的這一現(xiàn)象）和線性表征（是指數(shù)字任務(wù)中按照線性函數(shù)來(lái)表征所要估計(jì)的數(shù)字），這些策略或模式不會(huì)隨文化教育、情境等因素的改變而改變.但不同模型所采用的不同精確度的表征模式引起人們對(duì)數(shù)估計(jì)心理表征發(fā)展的思考，促使重疊波理論的產(chǎn)生.重疊波理論認(rèn)為，兒童的數(shù)估計(jì)會(huì)從不精確的對(duì)數(shù)表征發(fā)展到精確的線性表征，且變化是突然的、整體性的.出現(xiàn)這種變化的原因是隨著年級(jí)的增長(zhǎng)，會(huì)不斷積累數(shù)字線估計(jì)的表征經(jīng)驗(yàn)，在獲得表征的適當(dāng)性信息前，個(gè)體會(huì)重復(fù)常用的表征，隨著經(jīng)驗(yàn)的增加，選擇不常用表征的可能性越來(lái)越大.當(dāng)人們通過(guò)反饋獲得了有關(guān)精確表征的經(jīng)驗(yàn)后，個(gè)體會(huì)突然放棄常用的對(duì)數(shù)表征，選擇不常用的線性表征.例如：在對(duì)0-100數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中，幼兒園的孩子遵循對(duì)數(shù)模式，二年級(jí)學(xué)生遵循線性模式[8~10].在0-1 000數(shù)字線的估計(jì)任務(wù)中，二年級(jí)學(xué)生的估計(jì)遵循對(duì)數(shù)模式，四年級(jí)學(xué)生中一半的人遵循對(duì)數(shù)模式，一半的人遵循線性模式，大多數(shù)六年級(jí)的學(xué)生采用線性表征[11]，但是另一項(xiàng)研究顯示在0-1 000范圍內(nèi)大部分四年級(jí)學(xué)生掌握了線性表征[7].

同時(shí)，已有研究認(rèn)為表征是一種策略或者估計(jì)模式，可以通過(guò)積累數(shù)字線估計(jì)的經(jīng)驗(yàn)，獲取對(duì)表征適當(dāng)性進(jìn)行反饋的信息以強(qiáng)化線性表征并消退對(duì)數(shù)表征，或在更加熟悉的數(shù)標(biāo)尺中進(jìn)行估計(jì)以提高估計(jì)精確度[2].年級(jí)和經(jīng)驗(yàn)增長(zhǎng)能解釋數(shù)字線估計(jì)精確性的提高和表征模式的發(fā)展，而兒童在數(shù)字線估計(jì)過(guò)程中采用的策略能進(jìn)一步解釋年級(jí)和經(jīng)驗(yàn)是如何促進(jìn)數(shù)字線估計(jì)發(fā)展的[11].國(guó)外已有研究證實(shí)兒童及成人最常使用的策略是將數(shù)字線分段[12~13]，分段策略是指在數(shù)字線估計(jì)前根據(jù)特殊比例將數(shù)字線分段.被試會(huì)內(nèi)隱地按特殊分段點(diǎn)劃分?jǐn)?shù)字線，把特殊分段點(diǎn)作為參照點(diǎn)來(lái)引導(dǎo)估計(jì)，數(shù)字離最近的參照點(diǎn)越遠(yuǎn)，估計(jì)變異性越大.按照不同的特殊比例，可把分段策略分為奇分策略和偶分策略，奇分是指根據(jù)1/N（N為奇數(shù)）分段；偶分策略是指根據(jù)1/N（N為偶數(shù)）分段，如果是根據(jù)中點(diǎn)分段的話就叫做分半策略，它是一種特殊的偶分策略，即在選取參照點(diǎn)時(shí)首先會(huì)采用中點(diǎn)[4].研究主要探討偶分策略，因?yàn)槿藗兏?xí)慣把線段分為偶數(shù)段，使線段在分段后仍然有對(duì)稱性.

小學(xué)兒童在數(shù)估計(jì)任務(wù)中，由對(duì)數(shù)表征模式突然地完全轉(zhuǎn)變到線性表征模式，從而顯著提升了數(shù)估計(jì)成績(jī)，這到底是由年級(jí)的增長(zhǎng)、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的增加所造成的，還是因?yàn)樵诒碚鬟^(guò)程中兒童使用了不同的策略，又或者這兩個(gè)原因都導(dǎo)致了重疊波理論中的表征轉(zhuǎn)換呢？首先，研究者試圖探討不同年級(jí)數(shù)估計(jì)表征模式的發(fā)展性特點(diǎn)；其次，試圖通過(guò)比較分半點(diǎn)、偶分點(diǎn)和其它點(diǎn)的估計(jì)準(zhǔn)確性探討分段策略中的分半策略和偶分策略是否能提高數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性.數(shù)字線估計(jì)能力的發(fā)展體現(xiàn)為表征轉(zhuǎn)換，那么它是怎么發(fā)生的呢？研究者將從縱向上考察這個(gè)表征模式的變化，同時(shí)從橫向上比較兒童在不同數(shù)范圍下是否會(huì)選擇不同的表征模式.因此，研究選取了二、四、六年級(jí)的學(xué)生為被試，以探討清楚在0-100 和0-1 000數(shù)范圍的數(shù)字線估計(jì)任務(wù)上表征模式的發(fā)展特點(diǎn).

綜上所述，研究的基本假設(shè)是：

H1：隨著年級(jí)的增長(zhǎng)，兒童的數(shù)估計(jì)表征會(huì)從對(duì)數(shù)表征轉(zhuǎn)向線性表征，數(shù)字線估計(jì)的準(zhǔn)確性也不斷提高；

H2：數(shù)字線長(zhǎng)度和數(shù)范圍的變化會(huì)影響小學(xué)生數(shù)字線估計(jì)的精確性和估計(jì)模式；

H3：數(shù)字線估計(jì)中的分段策略表現(xiàn)為從分半策略向偶分策略的過(guò)渡，是數(shù)字線估計(jì)中的常用策略，但存在年級(jí)差異.

2　研究方法

2.1被 試

二、四、六年級(jí)小學(xué)生共360人，每個(gè)年級(jí)分別為114、88和158人，其中男生185人，女生175人.

2.2設(shè) 計(jì)

兩因素混合設(shè)計(jì)，組間變量是年級(jí)，分為：二、四、六年級(jí)；組內(nèi)變量是任務(wù)類型，有3種：15 cm長(zhǎng)0-100數(shù)標(biāo)尺的數(shù)字線，即0-100(15 cm)、10 cm長(zhǎng)0-100數(shù)標(biāo)尺的數(shù)字線，即0-100(10 cm)、15 cm長(zhǎng)0-1 000數(shù)標(biāo)尺的數(shù)字線，即0-1 000(15 cm).

2.3材 料

材料做成了3個(gè)小冊(cè)子，每個(gè)冊(cè)子有11頁(yè)紙，分別呈現(xiàn)3種類型的任務(wù)：0-100(15 cm)、0-100(10 cm)和0-1 000(15 cm).每一頁(yè)中間有一條標(biāo)出端點(diǎn)數(shù)的線段，在線段中間上方2.5 cm處標(biāo)數(shù)字，0-100數(shù)范圍內(nèi)呈現(xiàn)的數(shù)字有7、13、19、25、43、50、61、75、83、88、和97；0-1 000數(shù)范圍內(nèi)呈現(xiàn)的數(shù)字有70、130、190、250、430、500、610、750、830、880、和970.這些數(shù)字均隨機(jī)呈現(xiàn).

第一種任務(wù)采用了莫雷、周廣東和溫紅博（2010）研究中的材料，線段長(zhǎng)度為15 cm，端點(diǎn)為“0”和“100”；第二種任務(wù)中的線段改變了其長(zhǎng)度，變?yōu)?0 cm，端點(diǎn)為“0”和“100”；第三種任務(wù)中的線段則改變了它的數(shù)范圍，變?yōu)?-1 000，線段長(zhǎng)度為15 cm，端點(diǎn)為“0”和“1 000”.改變數(shù)字線長(zhǎng)度和數(shù)范圍一方面是為了檢驗(yàn)數(shù)字線長(zhǎng)度和數(shù)范圍是否影響數(shù)字線估計(jì)任務(wù)的難度進(jìn)而影響估計(jì)精確性和估計(jì)模式，另一方面是為了檢驗(yàn)同一年級(jí)的兒童在不同類型數(shù)字線上是否會(huì)選擇不同的表征模式.這3種數(shù)字線上被估計(jì)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的位置在數(shù)字線上的比例都為7%、13%、19%、25%、43%、50%、61%、75%、83%、88%和97%，其中13%接近1/8，25%為1/4，50%為1/2，75%為3/4，88%接近7/8，選擇這些分段比例以探討數(shù)字線估計(jì)中的偶分策略.

2.4程 序

主試為經(jīng)過(guò)培訓(xùn)的心理系研究生.首先主試給全班同學(xué)發(fā)小冊(cè)子，然后按照指導(dǎo)語(yǔ)引導(dǎo)進(jìn)行集體施測(cè)，指導(dǎo)語(yǔ)如下：“同學(xué)們：我們今天做一個(gè)‘猜數(shù)字在哪里’的小游戲.在這個(gè)小本子上，每一頁(yè)上都有一條線段，線段的左端點(diǎn)表示‘0’，右端點(diǎn)表示‘100’或‘1 000’，它們之間有很多數(shù)字，但沒(méi)把這些數(shù)字標(biāo)在線段上，現(xiàn)在就請(qǐng)你猜一猜線段上方的數(shù)字在線段上的哪個(gè)地方，你認(rèn)為數(shù)字在哪里，就請(qǐng)你在線段上的這個(gè)地方畫(huà)一條豎線.請(qǐng)不要用直尺或三角板量.”

施測(cè)過(guò)程中保持教室安靜，不給予被試任何反饋.實(shí)驗(yàn)持續(xù)20分鐘，結(jié)束后回收所有題冊(cè).

2.5計(jì)分與數(shù)據(jù)處理

估計(jì)結(jié)果由主試以直尺測(cè)量，精確到毫米，然后轉(zhuǎn)換為估計(jì)值.

數(shù)估計(jì)成績(jī)的指標(biāo)為絕對(duì)誤差百分比（percent absolute error，簡(jiǎn)稱PAE），其計(jì)算公式為：PAE=|估計(jì)值－實(shí)際值|÷被估計(jì)的數(shù)值范圍×100%.采用統(tǒng)計(jì)分析軟件SPSS18.0進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理.

3　結(jié)果與分析

3.1小學(xué)兒童數(shù)字線估計(jì)的準(zhǔn)確性

兒童在數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中的估計(jì)成績(jī)的PAE反映了其數(shù)估計(jì)的精確性.表1描述了二、四、六年級(jí)在0-100(15 cm)、0-100(10 cm)、0-1000(15 cm)這3種數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中的估計(jì)PAE.

表1　二四六年級(jí)兒童在3種數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中PAE的描述統(tǒng)計(jì)

為了了解兒童數(shù)字線估計(jì)準(zhǔn)確性的發(fā)展情況，分別對(duì)在0-100(15 cm)、0-100(10 cm)、0-1 000(15 cm)這3種數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中，二、四和六年級(jí)估計(jì)的PAE進(jìn)行了單因素方差分析，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在0~100(15 cm)數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中，二、四和六年級(jí)之間估計(jì)的PA E差異顯著，F(xiàn) (2 , 3 960)=127.47，p<0.001；在0-1 000(15 cm)數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中，二、四年級(jí)和六年級(jí)之間估計(jì)的PAE差異顯著，F(xiàn)(2, 3 960)=87.88，p<0.001；在0-100(10 cm)數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中，二、四和六之間估計(jì)的PAE差異顯著，F(xiàn)(2, 3 960)=125.98，p<0.001.進(jìn)一步事后檢驗(yàn)（LSD）發(fā)現(xiàn)，在0-100(15 cm)、0-100(10 cm)、0-1 000(15 cm)這3種數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中，二年級(jí)的PAE顯著高于四和六年級(jí)的PAE，四年級(jí)的PAE顯著高于六年級(jí)的PAE.

分別比較二、四和六年級(jí)在0-100(15 cm)和0-100(10 cm)數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中的PAE，考察數(shù)字線長(zhǎng)度的變化對(duì)兒童數(shù)字線估計(jì)精確性的影響.通過(guò)獨(dú)立樣本T檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，二年級(jí)在0-100(15 cm)和0-100(10 cm)數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中的PAE無(wú)顯著差異，t(1 253)=0.10，p>0.05.四年級(jí)在0-100(15 cm)和0-100(10 cm)數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中的PAE無(wú)顯著差異，t(967)=-1.77，p>0.05.六年級(jí)在0-100(15 cm)和0-100(10 cm)數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中的PAE無(wú)顯著差異，t(1 737)=-1.10，p>0.05.

分別比較二、四和六年級(jí)在0-100(15 cm)和0-1 000(15 cm)數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中的PAE，考察數(shù)字線范圍的變化對(duì)兒童數(shù)字線估計(jì)精確性的影響.通過(guò)獨(dú)立樣本T檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，二年級(jí)在0-100(15 cm)數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中的PAE顯著低于在0-1 000(15 cm)數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中的PAE，t(1 253)=-11.00, p<0.001.四年級(jí)在0-100(15 cm)數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中的PAE顯著低于在0-1 000(15 cm)數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中的PAE，t(967)=-8.02，p<0.001.六年級(jí)在0-100(15 cm)數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中的PAE顯著低于在0-1 000(15 cm)數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中的PAE，t(1 737)=-8.11，p<0.001.

3.2小學(xué)兒童數(shù)字線估計(jì)的表征模式

以實(shí)際呈現(xiàn)的數(shù)值為自變量，以兒童估計(jì)值的中位數(shù)作為因變量（選中位數(shù)而不是平均數(shù)作為因變量是為了排除極值的影響），曲線估計(jì)檢驗(yàn)了各個(gè)年級(jí)對(duì)3種類型數(shù)字線估計(jì)的中位數(shù)對(duì)線性、對(duì)數(shù)函數(shù)的擬合度（分別表示為L(zhǎng)inR2和Log R2），結(jié)果見(jiàn)表2.

表2　不同年級(jí)兒童3種類型數(shù)字線下估計(jì)中位數(shù)擬合度分析

由表2可知，3個(gè)年級(jí)兒童數(shù)字線估計(jì)的中位數(shù)對(duì)這兩種函數(shù)的擬合度都很高，回歸方程也都有顯著性.在0-100(15 cm)、0-100(10 cm)、0-1 000(15 cm)3種數(shù)字線任務(wù)中，各個(gè)年級(jí)兒童估計(jì)的中位數(shù)對(duì)線性函數(shù)比對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的擬合度都更高.

為了驗(yàn)證擬合度差異的顯著性，對(duì)兩模型預(yù)測(cè)值的絕對(duì)誤差進(jìn)行了配對(duì)樣本T檢驗(yàn)，比較了以下兩個(gè)量的差異：對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)二、四、六年級(jí)學(xué)生在0-100(15 cm)、0-100(10 cm)、0-1 000(15 cm) 3種數(shù)字線任務(wù)中實(shí)際呈現(xiàn)數(shù)與估計(jì)值中位數(shù)關(guān)系的擬合度（二、四、六年級(jí)學(xué)生在3種數(shù)字線任務(wù)中估計(jì)值中位數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)實(shí)際呈現(xiàn)數(shù)預(yù)測(cè)值之差），線性函數(shù)對(duì)二、四、六年級(jí)學(xué)生在0-100(15 cm)、0-100(10 cm)、0-1 000(15 cm) 3種數(shù)字線任務(wù)中實(shí)際呈現(xiàn)數(shù)與估計(jì)值中位數(shù)關(guān)系的擬合度（二、四、六年級(jí)學(xué)生在三種數(shù)字線任務(wù)中估計(jì)值中位數(shù)與線性函數(shù)對(duì)實(shí)際呈現(xiàn)數(shù)預(yù)測(cè)值之差）.結(jié)果見(jiàn)表3.

表3　對(duì)數(shù)和線性函數(shù)對(duì)3個(gè)年級(jí)在3種任務(wù)中實(shí)際呈現(xiàn)數(shù)與估計(jì)值中位數(shù)關(guān)系的擬合度的差異分析

由表3可知，二年級(jí)在0-100(15 cm)、0-100(10 cm)、0-1 000(15 cm)這3種數(shù)字線任務(wù)中，對(duì)數(shù)函數(shù)與線性函數(shù)對(duì)實(shí)際呈現(xiàn)數(shù)與估計(jì)值中位數(shù)擬合度的差異均顯著（t(10)=3.60，p<0.05；t(10)=-3.12，p<0.05；t(10)=-6.32，p<0.001），說(shuō)明二年級(jí)在所有的數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中采用了線性表征.

四年級(jí)在0-100(10 cm)、0-1 000(15 cm)這兩種數(shù)字線任務(wù)中，對(duì)數(shù)函數(shù)與線性函數(shù)對(duì)實(shí)際呈現(xiàn)數(shù)與估計(jì)值中位數(shù)擬合度的差異均顯著（t(10)=-3.13，p<0.05；t(10)=-5.02，p<0.001），說(shuō)明四年級(jí)在0-100(10 cm)、0-1 000(15 cm)這兩種數(shù)字線任務(wù)上采用了線性表征.

六年級(jí)在0-100(15 cm)、0-100(10 cm)、0-1 000(15 cm) 這3種數(shù)字線任務(wù)中，對(duì)數(shù)函數(shù)與線性函數(shù)對(duì)實(shí)際呈現(xiàn)數(shù)與估計(jì)值中位數(shù)擬合度的差異（t(10)=-5.11，p<0.001；t(10)=-4.63，p=0.001；t(10)=-5.11，p<0.001）.說(shuō)明六年級(jí)在所有的數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中采用了線性表征.

3.3不同年級(jí)對(duì)3種類型數(shù)字線上不同點(diǎn)估計(jì)準(zhǔn)確性比較3.3.1 0-100(15 cm)數(shù)字線上估計(jì)不同點(diǎn)的準(zhǔn)確性

表4描述了在0-100(15 cm)數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中，二、四、六年級(jí)估計(jì)7、13、19、25、43，50、61、75、83、88和97這11個(gè)點(diǎn)的PAE，采用方差分析，發(fā)現(xiàn)：二、四、六年級(jí)估計(jì)不同點(diǎn)的PAE均有顯著差異（F(10, 1 244)=10.95，p<0.001；F(10, 958)=25.86，p<0.001；F(10, 1 728)=16.64，p<0.001）.

進(jìn)一步事后檢驗(yàn)（LSD）發(fā)現(xiàn)，二年級(jí)學(xué)生估計(jì)50（分半點(diǎn)）的PAE顯著高于估計(jì)13、19、25、43、75的PAE （ps<0.05），而估計(jì)7、61、83和88這幾個(gè)點(diǎn)的PAE無(wú)顯著差異.四年級(jí)學(xué)生估計(jì)50的PAE顯著低于估計(jì)13、19、25、43、61、75、83、88和97這9個(gè)數(shù)的PAE（ps<0.05）；六年級(jí)學(xué)生估計(jì)50的PAE顯著低于估計(jì)13、19、25、43、61、75、83和88這8個(gè)數(shù)的PAE（ps<0.05），而與估計(jì)7和97的PAE無(wú)顯著差異.

表4　不同年級(jí)估計(jì)0-100(15 cm)數(shù)字線上不同點(diǎn)的PAE

根據(jù)1/N（N為偶數(shù)）分段，得出偶分點(diǎn)有13、25、75、88，估計(jì)偶分點(diǎn)的PAE和估計(jì)其它數(shù)字的PAE進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)，二年級(jí)學(xué)生估計(jì)88的PAE要顯著低于估計(jì)19、43的PAE（ps<0.05），估計(jì)75的PAE顯著低于估計(jì)19、25的PAE （ps<0.05），估計(jì)13、25的PAE顯著低于估計(jì)7、61、83的PAE（ps<0.05）.四年級(jí)估計(jì)25的PAE顯著低于估計(jì)83的PAE（p<0.05），估計(jì)75、88的PAE顯著高于估計(jì)19、43、61、97的PAE（ps<0.05）.六年級(jí)估計(jì)88的PAE顯著低于估計(jì)83的PAE（p<0.05）.

3.3.2 0-100(10 cm)數(shù)字線上估計(jì)不同點(diǎn)的準(zhǔn)確性

表5描述了在0-100(10 cm)數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中，二、四、六年級(jí)對(duì)7，13，19，25，43，50，61，75，83，88和97這幾個(gè)點(diǎn)的估計(jì)準(zhǔn)確性均有顯著差異（F(10, 1 244)=10.62，p<0.001; F(10, 958)=18.1，p<0.001；F(10, 1 728)=12.71，p<0.001）.

表5　不同年級(jí)估計(jì)0-100(10 cm)數(shù)字線上不同點(diǎn)的PAE

進(jìn)一步事后檢驗(yàn)（LSD）發(fā)現(xiàn)，3個(gè)年級(jí)的學(xué)生估計(jì)50（分半點(diǎn)）的PAE顯著低于估計(jì)其它數(shù)的PAE（ps<0.05），說(shuō)明他們?cè)诠烙?jì)這條數(shù)字線時(shí)均準(zhǔn)確掌握了分半策略.

根據(jù)1/N（N為偶數(shù)）分段，得出偶分點(diǎn)有13，25，75，88，估計(jì)偶分點(diǎn)的PAE和估計(jì)其它數(shù)字的PAE進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)，二年級(jí)中，估計(jì)13的PAE顯著高于估計(jì)7、43、61、97的PAE（ps<0.05）；估計(jì)25的PAE顯著高于估計(jì)7、43、61和83的PAE（ps<0.05）；估計(jì)25的PAE顯著高于估計(jì)43的PAE（p<0.05），四年級(jí)估計(jì)75、88的PAE顯著高于估計(jì)61的PAE（ps<0.05）；六年級(jí)估計(jì)25、75、88的PAE顯著高于估計(jì)97的PAE（ps<0.05）；估計(jì)13的PAE顯著低于估計(jì)19的PAE（p<0.05）；估計(jì)25的PAE顯著低于估計(jì)19的PAE（p<0.05）.

3.3.3 0-1 000(15 cm)數(shù)字線上估計(jì)不同點(diǎn)的準(zhǔn)確性

表6描述了在0-1 000(15 cm)數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中，二、四、六年級(jí)對(duì)7，13，19，25，43，50，61，75，83，88 和97這幾個(gè)點(diǎn)估計(jì)的PAE均有顯著差異（F(10, 1 244)=29.14，p<0.001；F(10, 958)=82，p<0.001，F(xiàn)(10, 1 728)=40.21，p<0.001）.

表6　不同年級(jí)估計(jì)0-1 000（15 cm）數(shù)字線上不同點(diǎn)的PAE

進(jìn)一步事后檢驗(yàn)（LSD）發(fā)現(xiàn)，二年級(jí)估計(jì)500的PAE顯著低于估計(jì)70，130，190，250，430的PAE（ps<0.05），估計(jì)500的PAE與估計(jì)610、750、830、880、970的PAE無(wú)顯著差異；四年級(jí)估計(jì)500的PAE顯著低于估計(jì)其他數(shù)的PAE（ps<0.05）；六年級(jí)估計(jì)500的PAE顯著低于估計(jì)70，130，190，830和880的PAE（ps<0.05），雖然估計(jì)其他數(shù)與估計(jì)500的PAE無(wú)顯著差異，但PAE都很低.

根據(jù)1/N（N為偶數(shù)）分段，得出偶分點(diǎn)有130，250，750，880，估計(jì)偶分點(diǎn)的PAE和估計(jì)其他數(shù)字的PAE進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)，二年級(jí)估計(jì)750、880的PAE顯著低于估計(jì)70、190、430的PAE（ps<0.05），估計(jì)130的PAE顯著高于估計(jì)610、830、970的PAE（ps<0.05）.四年級(jí)估計(jì)各個(gè)偶分點(diǎn)的PAE與估計(jì)其他數(shù)字的PAE無(wú)顯著差異.六年級(jí)估計(jì)750的PAE顯著低于估計(jì)190、430、830的PAE（ps<0.05）；估計(jì)250的PAE顯著低于估計(jì)190的PAE（ps<0.05）.

4　討 論

4.1小學(xué)兒童數(shù)字線估計(jì)準(zhǔn)確性

對(duì)二、四、六年級(jí)數(shù)字線估計(jì)任務(wù)的PAE的分析表明：隨著年級(jí)的增長(zhǎng)，小學(xué)生的數(shù)字線估計(jì)準(zhǔn)確性不斷提升，說(shuō)明教育會(huì)提升兒童數(shù)字線估計(jì)的準(zhǔn)確性.例如：Siegler和Ramani也曾通過(guò)玩線性棋類游戲的方法提升了兒童數(shù)字線估計(jì)的成績(jī)[14].

通過(guò)分別對(duì)二年級(jí)、四年級(jí)和六年級(jí)在0-100(15 cm) 和0-100(10 cm)數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中的PAE比較發(fā)現(xiàn)，二、四和六年級(jí)在0-100(15 cm)數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中的PAE與在0-100(10 cm)數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中的PAE無(wú)顯著差異.而莫雷等（2010）的研究發(fā)現(xiàn)一年級(jí)兒童在0-100(10 cm)數(shù)字線估計(jì)中的PAE低于他們?cè)?-100(20 cm)數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中的PAE，即隨著數(shù)字線長(zhǎng)度增長(zhǎng)，估計(jì)的PAE降低.與莫雷等人研究的結(jié)果[15]相對(duì)比，不能判斷數(shù)字線長(zhǎng)度對(duì)數(shù)字線估計(jì)準(zhǔn)確性有何影響，因此，還需再控制一些額外變量（如“數(shù)字線長(zhǎng)度的變化幅度”）的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究該問(wèn)題.盡管數(shù)字線估計(jì)不受長(zhǎng)度單位的影響，仍不能得出數(shù)字線估計(jì)精確性與測(cè)量知識(shí)無(wú)關(guān)的結(jié)論.通過(guò)分別對(duì)二、四和六年級(jí)在0-100(15 cm)和0-1 000(15 cm)數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中的PAE進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)，二、四和六年級(jí)在0-100(15 cm)數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中的PAE顯著低于在0-1 000(15 cm)數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中的PAE，說(shuō)明數(shù)字線估計(jì)任務(wù)數(shù)范圍的擴(kuò)展提升了任務(wù)難度，降低了數(shù)字線估計(jì)的精確性.只有當(dāng)兒童掌握了0-1 000范圍內(nèi)的數(shù)知識(shí)，才能在0-1 000數(shù)范圍數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中有較高準(zhǔn)確性.

4.2小學(xué)兒童數(shù)字線估計(jì)的表征模式

分別對(duì)二、四、六年級(jí)在0-100(15 cm)、0-100(10 cm)、0-1 000(15 cm)數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，把每種類型估計(jì)值的中位數(shù)視為因變量，做實(shí)際呈現(xiàn)數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù)和線性函數(shù)的擬合（作群體估計(jì)模式的擬合），把單個(gè)被試的估計(jì)值視為因變量作實(shí)際呈現(xiàn)數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù)和線性函數(shù)的擬合（作個(gè)體估計(jì)模式的擬合）.通過(guò)比較對(duì)群體估計(jì)模式的擬合結(jié)果與對(duì)個(gè)體估計(jì)模式的擬合結(jié)果，發(fā)現(xiàn)一個(gè)不一致之處：對(duì)群體估計(jì)模式的擬合，四年級(jí)在0-100(15 cm)數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中，與線性函數(shù)而非對(duì)數(shù)函數(shù)有較優(yōu)擬合，但對(duì)數(shù)擬合與線性擬合的差異不顯著.二、六年級(jí)估計(jì)0-100(15 cm)數(shù)字線任務(wù)時(shí)，線性函數(shù)的擬合度顯著優(yōu)于對(duì)數(shù)函數(shù)的擬合度.因此，在0-100(15 cm)數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中，數(shù)字線估計(jì)的心理表征模式在年級(jí)間沒(méi)有出現(xiàn)對(duì)數(shù)函數(shù)向線性函數(shù)的轉(zhuǎn)變.對(duì)個(gè)體估計(jì)模式的擬合，在0-100(15 cm)數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中，二年級(jí)更符合線性函數(shù)的人數(shù)比顯著低于四、六年級(jí)，說(shuō)明數(shù)字線估計(jì)的心理表征模式從二年級(jí)主要采用對(duì)數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)向四、六年級(jí)主要采用線性函數(shù).出現(xiàn)這種不一致的原因是：做群體估計(jì)模式的擬合是對(duì)實(shí)際呈現(xiàn)數(shù)與估計(jì)值的中位數(shù)的函數(shù)關(guān)系作對(duì)數(shù)函數(shù)或線性函數(shù)的擬合，做個(gè)體估計(jì)模式的擬合是對(duì)實(shí)際呈現(xiàn)數(shù)與單個(gè)被試估計(jì)值的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行擬合，當(dāng)取眾多單個(gè)被試估計(jì)值的中位數(shù)來(lái)概括多個(gè)被試的估計(jì)值時(shí)，會(huì)出現(xiàn)一些誤差，比如說(shuō)：估計(jì)值沒(méi)有分析一些極端值.

因此，對(duì)個(gè)體估計(jì)模式的擬合結(jié)果比對(duì)群體估計(jì)模式的擬合結(jié)果更能解釋兒童數(shù)字線估計(jì)的表征模式.對(duì)個(gè)體估計(jì)模式的擬合結(jié)果表明：在0-100(15 cm)數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中，出現(xiàn)了從二年級(jí)主要采用對(duì)數(shù)表征轉(zhuǎn)向四、六年級(jí)主要采用線性表征的變化情況，體現(xiàn)了表征模式的發(fā)展趨勢(shì)，驗(yàn)證了重疊波理論的觀點(diǎn)，即不同年級(jí)的孩子都擁有多重?cái)?shù)估計(jì)心理表征.并且隨著年齡和經(jīng)驗(yàn)的增長(zhǎng)，從主要采用不精確的對(duì)數(shù)表征，變得越來(lái)越多地采用精確的線性表征.

4.3小學(xué)生數(shù)字線估計(jì)中的分段策略

研究發(fā)現(xiàn)二、四、六年級(jí)估計(jì)0-100(10 cm)、0-1 000(15 cm)時(shí)均采用的是線性表征，那么在這兩個(gè)任務(wù)中不同點(diǎn)估計(jì)錯(cuò)誤百分比的差異不是因?yàn)椴捎昧瞬痪_的對(duì)數(shù)表征，有可能是受到分段策略的影響.如果估計(jì)分半點(diǎn)的錯(cuò)誤百分比顯著低于估計(jì)其它數(shù)的錯(cuò)誤百分比，那么兒童采用了分半策略，在0-100范圍的數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中，分半點(diǎn)為50，在0-1 000范圍的數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中，分半點(diǎn)為500.如果在0-100范圍的數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中，估計(jì)13、25、75、88的錯(cuò)誤百分比顯著低于估計(jì)7、19、43、61、83、97的錯(cuò)誤百分比，在0-1 000范圍的數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中，估計(jì)130、250、750、880的錯(cuò)誤百分比性顯著低于估計(jì)70、190、430、610、830、970的準(zhǔn)確性，那么兒童采用了偶分策略，在數(shù)字線1/N（N為偶數(shù)）處進(jìn)行分段.

通過(guò)對(duì)二、四、六年級(jí)學(xué)生在估計(jì)0-100(15 cm)、0-100(10 cm)、0-1 000(15 cm)數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中不同點(diǎn)估計(jì)錯(cuò)誤百分比的差異分別進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)二、四、六年級(jí)在三條數(shù)字線上均采用了分半策略.并且，二、四年級(jí)學(xué)生沒(méi)有采用偶分策略，六年級(jí)學(xué)生采用了偶分策略.

研究證實(shí)低年級(jí)兒童已經(jīng)掌握了分半策略：采用分半策略的四年級(jí)兒童人數(shù)比例與采用分半策略的六年級(jí)人數(shù)比例都很高，因?yàn)橹悬c(diǎn)是線段上與兩端距離相等的點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)分段就很容易，只需要判斷該點(diǎn)的左端和右端是否大致相等即可，兒童可以通過(guò)將繩子對(duì)折來(lái)模擬將線段分半，在他們判斷出線段中點(diǎn)之前，他們會(huì)對(duì)中點(diǎn)兩端數(shù)字線長(zhǎng)度不斷做出調(diào)整.盡管分半策略可以提供分半點(diǎn)與線段兩端距離相等的信息，但Barth & Paladino發(fā)現(xiàn)[4]，進(jìn)行數(shù)字線估計(jì)時(shí)，把中點(diǎn)作為參照點(diǎn)的兒童的估計(jì)成績(jī)與沒(méi)有采用中點(diǎn)為參照點(diǎn)的兒童的估計(jì)成績(jī)無(wú)顯著差異，主要原因是她們選用了平均年齡為5歲和7歲的被試，年幼兒童不能把整體量和部分量很好地聯(lián)系起來(lái)，即使這個(gè)部分量是整體量的一半.

認(rèn)為偶分策略的使用情況存在年齡差異的原因是五年級(jí)下學(xué)期開(kāi)始學(xué)習(xí)因數(shù)和倍數(shù)、分?jǐn)?shù)等與比例有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，而六年級(jí)上學(xué)期進(jìn)一步深化了分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)，并接觸了百分?jǐn)?shù).所以六年級(jí)學(xué)生估計(jì)某些偶分點(diǎn)的PAE與估計(jì)某些非偶分點(diǎn)的PAE的差異不顯著.因?yàn)榉侄瓮ǔ２皇菫榱税褦?shù)字線分解為單位長(zhǎng)度來(lái)轉(zhuǎn)換標(biāo)準(zhǔn)單位，而是在估計(jì)前先在心里將估計(jì)物分解為較小的連續(xù)量，再用其它策略進(jìn)行估計(jì).比如他們常把分段策略與重組策略配合使用：將較小部分的估計(jì)相加或相乘.

5　結(jié) 論

隨著年級(jí)的增長(zhǎng)，小學(xué)生的數(shù)字線估計(jì)準(zhǔn)確性不斷提升；數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中，表征模式發(fā)展趨勢(shì)為：從不精確的對(duì)數(shù)模型向精確線性模型的過(guò)渡；數(shù)字線估計(jì)中的分段策略表現(xiàn)為從分半策略向偶分策略的過(guò)渡.

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[責(zé)任編校：周學(xué)智]

Partitioning Strategy in Pupils Number Line Estimation

XING Qiang, XU Zheng-ming, CAI Xin-hua
(Department of Psychology, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China)

Abstract:A 3[(task: 0-100(15cm), 0-100(10cm), 0-1000(15cm)]cross 3 (grade: two, four, six) mixed design was used to investigate the mental representation of pupils and the efficiency of partitioning strategy in number line estimation. The results showed that: (1) The correlation between age and performance is high; (2) In number line estimation task, students of grade two rely on less accurate logarithmic number representations, students of grade four and grade six rely on more accurate linear representations with age; (3) Students of grade two and grade four use central partitioning strategy, and students of grade six apply even partitioning strategy.

Key words:pupils; number line estimation; representation pattern; partitioning strategy

作者簡(jiǎn)介：邢強(qiáng)（1973—），男，甘肅會(huì)寧人，教授，博士，主要從事認(rèn)知與學(xué)習(xí)研究.

基金項(xiàng)目：教育部人文社會(huì)科學(xué)“十一五”規(guī)劃項(xiàng)目——小學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題表征特點(diǎn)與表征能力培養(yǎng)研究（09YJA880023）

收稿日期：2015-03-06

中圖分類號(hào)：G420

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1004-9894（2015）04-0082-06