朱立明，馬云鵬，韓繼偉，王久成

（1.東北師范大學(xué) 教育學(xué)部，吉林 長春 130024；2.東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，吉林 長春 130024；3.東北師范大學(xué) 附屬中學(xué)，吉林 長春 130024）

高一學(xué)生單調(diào)函數(shù)概念認(rèn)知水平研究

朱立明1，馬云鵬1，韓繼偉2，王久成3

（1.東北師范大學(xué) 教育學(xué)部，吉林 長春 130024；2.東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，吉林 長春 130024；3.東北師范大學(xué) 附屬中學(xué)，吉林 長春 130024）

摘要：單調(diào)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)函數(shù)部分的一個重要概念，它不僅有助于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維、邏輯思維以及創(chuàng)新思維，而且單調(diào)函數(shù)的圖像還是數(shù)形結(jié)合思想方法的重要載體.用測試的方法研究高一學(xué)生單調(diào)函數(shù)概念的認(rèn)知水平，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生單調(diào)函數(shù)概念表征較為單一，對于單調(diào)函數(shù)概念的理解僅停留在表面，在抽象函數(shù)單調(diào)性問題上需要改進(jìn).

關(guān)鍵詞：高中生；單調(diào)函數(shù)；概念表征；概念認(rèn)知水平

1　問題提出

無論是基礎(chǔ)教育還是高等教育，函數(shù)一直是數(shù)學(xué)的主線，也是整個數(shù)學(xué)教學(xué)的核心內(nèi)容，而函數(shù)的性質(zhì)在高中數(shù)學(xué)中占據(jù)重要地位，是歷來各項考試的熱點問題，作為函數(shù)重要性質(zhì)之一的單調(diào)性，不僅應(yīng)用極其廣泛，而且還是數(shù)形結(jié)合思想方法的重要載體[1].查閱中外期刊文獻(xiàn)，有關(guān)函數(shù)單調(diào)性解題及應(yīng)用的綜述很多，關(guān)于學(xué)生對單調(diào)函數(shù)認(rèn)知方面研究很少，導(dǎo)致無法真正了解學(xué)生對單調(diào)函數(shù)的理解程度以及給學(xué)生學(xué)習(xí)帶來的影響，基于此，研究主要以單調(diào)函數(shù)為具體內(nèi)容，討論高中一年級學(xué)生單調(diào)函數(shù)的認(rèn)知水平.

2　研究的理論框架

從認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)觀來看，數(shù)學(xué)概念理解是指個體在學(xué)習(xí)新概念的過程中，依據(jù)自身已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)對概念重新建構(gòu)其意義，并使其成為整個數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的有機組成部分，從而逐步認(rèn)識概念本質(zhì)和規(guī)律的思維活動[2].根據(jù)布盧姆認(rèn)知領(lǐng)域教育目標(biāo)分類理論，將數(shù)學(xué)概念理解分為4個階段：表征水平階段、分析水平階段、領(lǐng)悟水平階段、應(yīng)用水平階段[3].同時，參考王曉輝的研究，將學(xué)生對單調(diào)函數(shù)的認(rèn)知水平分為4個層次，（1）單調(diào)函數(shù)的表征水平；（2）單調(diào)函數(shù)的分析水平；（3）單調(diào)函數(shù)的領(lǐng)悟水平；（4）單調(diào)函數(shù)的應(yīng)用水平.按照這個理論框架設(shè)計研究問題，分析學(xué)生單調(diào)函數(shù)的認(rèn)知水平.

3　研究方法

3.1研究工具

按照研究的理論框架，以自編的調(diào)查問卷作為調(diào)查工具，問卷分3部分：第一部分為指導(dǎo)語；第二部分為學(xué)生的基本信息；第三部分為測試題；試題分為開放性試題、封閉式試題和半開放試題3種形式，旨在調(diào)查學(xué)生對單調(diào)函數(shù)的概念理解.問卷一共4道測試題目，其中第1題是關(guān)于單調(diào)函數(shù)概念表征的，第2題是關(guān)于單調(diào)函數(shù)概念分析的，第3題是關(guān)于單調(diào)函數(shù)概念領(lǐng)悟的，第4題是關(guān)于單調(diào)函數(shù)概念應(yīng)用的.

3.2抽 樣

研究樣本選取長春市3所學(xué)校（重點學(xué)校1所和普通學(xué)校2所）選6個班級的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，學(xué)校數(shù)量和調(diào)查對象人數(shù)見表1.

表1　學(xué)校數(shù)量和學(xué)生數(shù)

3.3研究過程

旨在了解高中學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)知狀況和存在的問題，主要采用問卷調(diào)查和訪談的方式進(jìn)行研究.測試工具有：預(yù)測卷、正式測試卷和訪談提綱.根據(jù)自己的從教經(jīng)驗以及和一些專家教師與學(xué)生的交流，并查閱了大量的國內(nèi)外關(guān)于單調(diào)函數(shù)的主要內(nèi)容和各個研究角度的相關(guān)資料，進(jìn)行整理、歸納而編制的.

在初步設(shè)計問卷的基礎(chǔ)上，進(jìn)行了預(yù)測，選取長春某校一個班的學(xué)生（30人）進(jìn)行測試，根據(jù)學(xué)生答題情況對預(yù)測試卷中個別題目的難度進(jìn)行修改，形成正式的調(diào)查問卷.又選取部分代表性的學(xué)生進(jìn)行訪談，通過個別訪談了解學(xué)生答題時的思維過程，整理不能在問卷中反映出來的認(rèn)知問題.對問卷進(jìn)行修改，形成正式問卷.對所選樣本進(jìn)行實測.

4　結(jié)果分析

4.1高一學(xué)生單調(diào)函數(shù)各認(rèn)知水平分析

4.1.1 表征水平分析

測試的第1題重點考察學(xué)生的表征水平，按照萊什（Lesh）在布魯納的研究基礎(chǔ)上對概念表征的分類：書面符號表征、圖形表征、實物表征、操作性模型表征和口頭語言表征[4].根據(jù)學(xué)生的表現(xiàn)將學(xué)生的表征分為口頭語言表征、圖形表征、書面符號表征3類.學(xué)生在回答時表現(xiàn)出對單調(diào)函數(shù)概念的感知，分析學(xué)生的回答，從感性認(rèn)識和理性認(rèn)識兩個層面上對單調(diào)函數(shù)加以理解，進(jìn)而了解學(xué)生在表征階段對數(shù)學(xué)概念理解的程度，見表2.

表2　單調(diào)函數(shù)表征階段學(xué)生回答情況

研究結(jié)果顯示：無論是重點中學(xué)還是普通中學(xué)，學(xué)生對單調(diào)函數(shù)概念的認(rèn)知大部分以口頭語言表征和圖形表征的形式存在的，書面符號表征形式較少，值得注意的是符號語言表征形式中都能寫出增函數(shù)（若x1f (x2)），但是注明x1，x2取值具有任意性和區(qū)間性的學(xué)生僅占符號表征形式總數(shù)的21.9%和37.5%；而能夠同時用3種表征形式來描述單調(diào)函數(shù)的學(xué)生均低于10%，但是重點中學(xué)用3種語言表征形式的學(xué)生幾乎是普通中學(xué)的3倍，體現(xiàn)出明顯優(yōu)勢.呂林海指出，一個數(shù)學(xué)概念的理解程度取決于5種表征之間關(guān)聯(lián)的豐富性、穩(wěn)定性、強度與自洽程度[5]，因此部分表征類型的缺失也將會妨礙學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解.

上述結(jié)果表明，學(xué)生對單調(diào)函數(shù)概念的表征形式是多種多樣的，而不同學(xué)生的表征層次與學(xué)生的知識水平和學(xué)習(xí)經(jīng)驗有很大的關(guān)系，例如樣本中重點高中學(xué)生書面符號表征所占比例是普通中學(xué)的二倍還要多，并且能夠注意到概念中的區(qū)間性和任意性，而普通高中的學(xué)生多數(shù)采用圖形表征形式，但更多學(xué)生僅僅畫出增函數(shù)（一條遞增的直線或曲線）和減函數(shù)（一條遞減的直線或曲線）的圖象，并沒有針對圖形對單調(diào)函數(shù)加以說明，圖形表征還停留在表層階段[6]；部分學(xué)生對概念的口頭語言表征是自己頭腦中的概念意象，根據(jù)自己對概念的理解采用與概念相近的表象重新組織，導(dǎo)致概念意象與概念定義相互分離，甚至歪曲概念[7].例如在調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生以“y隨x增大而增大，y隨x增大而減小”作為陳述，更有學(xué)生錯誤地寫道：“同一個函數(shù)中任意一項比前一項的函數(shù)值大的為增函數(shù)”.

4.1.2 分析水平分析

分析階段包括要素分析、關(guān)系分析、組織原理分析3個亞類，通過將概念分解為各個組成部分，了解各個組成部分之間的相互關(guān)系和構(gòu)成方式，從而掌握概念的屬性[8].第2題考察學(xué)生對單調(diào)函數(shù)局部性的理解，函數(shù)單調(diào)區(qū)間與函數(shù)定義域之間的區(qū)別和聯(lián)系.

根據(jù)調(diào)查結(jié)果將學(xué)生答案大體分成如下5類：標(biāo)準(zhǔn)類、區(qū)間錯誤類、單調(diào)錯誤類、特殊值驗證類，見表3.

表3　單調(diào)函數(shù)分析學(xué)生回答情況

由于數(shù)學(xué)的抽象性，使利用數(shù)學(xué)符號表征單調(diào)函數(shù)概念成為必然[9]，而抽象的符號定義給學(xué)生的理解帶來阻礙，尤其是單調(diào)函數(shù)中x1、x2的任意性、單調(diào)區(qū)間的局域性以及單調(diào)區(qū)間與函數(shù)定義域之間的關(guān)系.在訪談中一位學(xué)生說：“受到原來的初中的正比例函數(shù)的影響，總是以為函數(shù)（圖象）都是一直上升的，所以根本沒有考慮到單調(diào)區(qū)間.”學(xué)生在原有認(rèn)知基礎(chǔ)上，將單調(diào)區(qū)間與定義域視為同一個概念，從而導(dǎo)致錯誤的出現(xiàn)；除此之外，更多學(xué)生將單調(diào)區(qū)間采用并集的形式表示出來，也是單調(diào)函數(shù)初學(xué)者常見的一種錯誤.

4.1.3 領(lǐng)悟水平分析

領(lǐng)悟階段包括轉(zhuǎn)化、解釋、推斷3個亞類，是對于所學(xué)過的知識的意義的把握.美國心理學(xué)家奧蘇泊爾（D. P. AuSubel）提出一種概念同化的學(xué)習(xí)形式，即新信息與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念相互發(fā)生作用，實現(xiàn)新舊知識的意義的同化，從而使原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生某些變化[10].第3題、第4題主要考查學(xué)生對于單調(diào)函數(shù)概念的形式轉(zhuǎn)化以及推斷能力，主要體現(xiàn)領(lǐng)悟單調(diào)函數(shù)所蘊含的數(shù)學(xué)思想（數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想），具體情況見表4.

表4　學(xué)生對數(shù)學(xué)思想領(lǐng)悟情況

結(jié)果顯示，只有63.46%的學(xué)生可以利用單調(diào)函數(shù)概念實現(xiàn)本題的轉(zhuǎn)化，不足70%，22.12%的學(xué)生直接給出正確答案，而采用特殊值驗證方法的學(xué)生占7.69%，采用分類討論方法的接近50%，而采用圖象法的只有17.31%；在圖象法中，只有22.22%的學(xué)生提出數(shù)形結(jié)合思想，有55.55%的學(xué)生能夠正確畫出分段函數(shù)的圖象；在分類討論方法中，只有18.75%的學(xué)生提出分類討論思想，而解集沒有與定義域進(jìn)行交集運算的高達(dá)31.25%.與重點中學(xué)相比，普通中學(xué)的學(xué)生更多采用圖象的方法，數(shù)形結(jié)合的方法略優(yōu)于重點中學(xué)，而能夠利用單調(diào)函數(shù)轉(zhuǎn)化的要比重點中學(xué)低很多.

錢珮玲在《數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué)》中指出了數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法之間的區(qū)別和聯(lián)系，數(shù)學(xué)方法是處理問題的手段、途徑，而數(shù)學(xué)思想是“對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)的認(rèn)識，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對數(shù)學(xué)的認(rèn)識過程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點，它在認(rèn)識活動中被反復(fù)運用，帶有普遍的指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問題的指導(dǎo)思想”[11].而美國心理學(xué)家布魯納（J. S. Bruner）認(rèn)為：“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu).”調(diào)查發(fā)現(xiàn)，學(xué)生缺乏對數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識和提升，沒有領(lǐng)悟處理問題過程中所蘊含的數(shù)學(xué)思想（分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想），導(dǎo)致學(xué)生對問題的理解僅僅處于表面階段，不能深入其本質(zhì).正如一名學(xué)生說：“我只知道是分情況來做，老師講的就是這樣，至于為什么，我不是很清楚.”解題訓(xùn)練作為一種教學(xué)法，其機制并不只是讓學(xué)生接觸，熟悉和記住解題技能和技巧.運算、操作是數(shù)學(xué)思維發(fā)生之處，是完整概念形成的基石，它為學(xué)生理解領(lǐng)會提供了必要條件[12].因此，只有以數(shù)學(xué)思想作為指導(dǎo)思想，才可能在解決問題中不但知其然，還能知其所以然.

4.1.4 應(yīng)用水平分析

應(yīng)用階段是學(xué)生將所學(xué)概念應(yīng)用到新的情境中去，運用它解決同類問題的階段.概念的應(yīng)用有知覺水平上的應(yīng)用和思維水平上的應(yīng)用兩個層次，知覺水平上的應(yīng)用是指學(xué)生在獲得同類事物概念以后，當(dāng)遇到這類事物的特例時，能夠?qū)⑵湟暈檫@類事物中的具體例子；思維水平上的應(yīng)用是指學(xué)生學(xué)習(xí)的新概念被類屬于水平較高的原有概念中，新概念的運用必須對原有概念重新組織和加工，以滿足解決當(dāng)前問題的需要[13].如果說第2題屬于知覺水平的應(yīng)用，那么第4題就是考察學(xué)生思維水平上的應(yīng)用，需要學(xué)生利用抽象思維，實現(xiàn)對單調(diào)函數(shù)從一種認(rèn)識狀態(tài)（具體函數(shù)）到另一種認(rèn)識狀態(tài)（抽象函數(shù)）轉(zhuǎn)變的意識[14].

比格斯（Biggs）基于皮亞杰認(rèn)知發(fā)展階段論提出的SOLO分類評價法，將學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果由低到高分為5個不同的層次，即：前結(jié)構(gòu)（prestuctural）、單點結(jié)構(gòu)（unistructural）、多點結(jié)構(gòu)（multistructural）、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)（relational）、拓展抽象結(jié)構(gòu)（extended abstract）[15].借助SOLO分類評價法將學(xué)生答題結(jié)果分為3類，未解決類（前結(jié)構(gòu)、單點結(jié)構(gòu)、多點結(jié)構(gòu)）、已解決類（關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)）、拓展類（拓展抽象結(jié)構(gòu)）[16]，具體情況見表5.

表5　單調(diào)函數(shù)應(yīng)用水平學(xué)生回答情況

上述結(jié)果顯示，從整體看本題的解答，重點中學(xué)的學(xué)生相對要優(yōu)于普通中學(xué)的學(xué)生，但是更多學(xué)生只能達(dá)到前3個結(jié)構(gòu)層面，不能將問題解決，重點中學(xué)占71.42%，均超過60%；而達(dá)到關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層面能夠?qū)栴}解決的學(xué)生僅有17.62%，能夠達(dá)到拓展抽象結(jié)構(gòu)層面舉出函數(shù)特例的學(xué)生還不足10%.抽象函數(shù)沒有具體的表達(dá)式，只表現(xiàn)出一定的對應(yīng)法則，滿足一定的性質(zhì)，因?qū)W生此在處理此類問題時由于匱乏對函數(shù)性質(zhì)的理解，加之抽象符號的干擾，

難以將題目中的條件融會貫通，建立“條件網(wǎng)”.正如一名學(xué)生說：“初中數(shù)學(xué)也可以，當(dāng)上高中后每次做抽象函數(shù)題，沒有一點思路，不知道題意，不知道怎么下手.”

4.2學(xué)生認(rèn)知水平的整體

下面從整體水平對兩類學(xué)校所選樣本進(jìn)行分析，具體結(jié)果見表6.

表6　4種水平階段分析結(jié)果

調(diào)查顯示，對單調(diào)函數(shù)理解達(dá)到表征水平階段（至少能夠使用一種表征形式）重點中學(xué)學(xué)生占88.5%，普通中學(xué)學(xué)生占86.2%，均超過60%，而且兩類學(xué)校差異不大.對單調(diào)函數(shù)理解達(dá)到分析水平階段（能夠正確說出單調(diào)區(qū)間和函數(shù)單調(diào)性）重點中學(xué)占9.76%，普通中學(xué)占5.88%，均不到10%，而重點中學(xué)幾乎是普通中學(xué)的兩倍.對單調(diào)函數(shù)理解達(dá)到領(lǐng)悟水平階段（能夠明確寫出思想方法）重點中學(xué)占26.04%，普通中學(xué)占14.12%.對單調(diào)函數(shù)理解達(dá)到應(yīng)用水平階段（能夠正確寫出答案或進(jìn)行適當(dāng)拓展）重點中學(xué)占26.78%，普通中學(xué)占13.87%，對于后3種水平階段，重點中學(xué)達(dá)到比例接近是普通中學(xué)的兩倍.

從整體看，學(xué)生對單調(diào)函數(shù)的理解更容易達(dá)到表征水平階段，而達(dá)到分析水平階段的學(xué)生，雖然重點中學(xué)明顯高于普通中學(xué)，但均不到10%，達(dá)到領(lǐng)悟水平階段和應(yīng)用水平階段的學(xué)生比例有所升高，但是均不到30%，而且重點中學(xué)接近于普通中學(xué)的兩倍.可見學(xué)生對單調(diào)函數(shù)概念的分析不夠深刻，可能是導(dǎo)致領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想和應(yīng)用受到阻礙的一個原因.

表征水平階段對后面3個水平階段存在制約作用，以表征水平階段對應(yīng)用水平階段的影響為例進(jìn)行說明，見表7.

表7　表征水平階段對應(yīng)用水平階段的制約

結(jié)果顯示，能夠使用3種表征形式描述單調(diào)函數(shù)概念的學(xué)生所占比例，與應(yīng)用水平階段達(dá)到拓展層面學(xué)生所占比例吻合.此外還發(fā)現(xiàn)，使用圖形表征形式的學(xué)生，在處理問題時更多使用的是函數(shù)圖象的方法，而使用口頭描述表征的學(xué)生，在處理問題時更多使用特殊值或驗證的方法.數(shù)學(xué)概念的理解程度應(yīng)該取決于5種表征之間關(guān)聯(lián)的豐富性、穩(wěn)定性、強度與自洽程度，因此部分表征類型的缺失也可能是妨礙學(xué)生對數(shù)學(xué)概念理解的一個重要原因.

5　討論與結(jié)論

5.1討 論

以學(xué)生對單調(diào)函數(shù)概念認(rèn)知為視角，分別從表征水平、分析水平、領(lǐng)悟水平、應(yīng)用水平4個階段分析學(xué)生對單調(diào)函數(shù)的理解程度以及單調(diào)函數(shù)的學(xué)習(xí)給學(xué)生帶來的影響，從而得出一些結(jié)論.研究具有一定的局限性，這里僅選用一所重點學(xué)校和兩所普通學(xué)校中316名學(xué)生進(jìn)行測試，樣本較小，僅分析學(xué)生對單調(diào)函數(shù)的認(rèn)知，并未考慮教師因素（如教師的專業(yè)知識、不同成長階段的教學(xué)經(jīng)驗、教學(xué)風(fēng)格等）對學(xué)生認(rèn)知單調(diào)函數(shù)所造成的影響，當(dāng)然，這些因素也超出研究范圍.

調(diào)查顯示，學(xué)生的理解水平不高，因此應(yīng)將如何提高學(xué)生水平作為教學(xué)活動中的重要環(huán)節(jié).受傳統(tǒng)的觀念影響，把課程視為學(xué)科邏輯系統(tǒng)組織的教學(xué)內(nèi)容，基于數(shù)學(xué)學(xué)科本身具有高度的抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓浴?yīng)用的廣泛性、內(nèi)涵的辯證性等特征，學(xué)生接受起來明顯偏難，而數(shù)學(xué)概念又是核心內(nèi)容，因此通過提高教師的MPCK，使其能夠在概念理解的處理上發(fā)揮最大作用，從而尋求學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)和外部知識邏輯體系有機結(jié)合的切入點，在組織課程的時候?qū)⒅攸c置于學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)習(xí)經(jīng)驗之間的有機聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生從多種表征形式理解數(shù)學(xué)概念的整體性，強調(diào)抽象函數(shù)特例化解決的一般函數(shù)方程思想，注重加強學(xué)生的數(shù)學(xué)符號意識.

隨著年級的提升，學(xué)生的綜合能力可能會不斷增強，因此提出可以在教學(xué)中采用螺旋式課程組織形式，在不同階段重復(fù)學(xué)習(xí)原有的主要概念和觀點的深度和復(fù)雜程度，試圖建立學(xué)習(xí)內(nèi)容邏輯關(guān)系和學(xué)生認(rèn)知心理之間的聯(lián)系.

在教學(xué)中需要側(cè)重數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)，尤其高一年級的學(xué)生，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想是目前容易忽略的問題，通過提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題中條件和問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而達(dá)到觸類旁通，事半功倍的效果.

5.2結(jié) 論

（1）學(xué)生對單調(diào)函數(shù)概念的表征形式主要集中在口頭語言表征、圖形表征、書面符號表征3種形式，而不同學(xué)生的表征層次與學(xué)生的知識水平和學(xué)習(xí)經(jīng)驗有很大的關(guān)系.書面符號表征，容易忽視區(qū)間性和任意性；圖形表征更多還停留在表層階段；而口頭語言表征大部分是學(xué)生頭腦中的概念意象.

（2）高一年級的學(xué)生缺乏單調(diào)函數(shù)局域性的認(rèn)知，對于函數(shù)的定義域與函數(shù)單調(diào)區(qū)間容易造成混淆，難于理解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子集，更多學(xué)生直接將兩個概念視為等價關(guān)系，極易用并集表示函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（3）高一年級的學(xué)生缺乏對數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟，在解決問題中更多關(guān)注問題處理過程中的方法和手段，很少能夠上升到思想層面，因此在問題解決中缺乏指導(dǎo)思想，亟待改善.

（4）高一年級大部分學(xué)生受思維定式的影響，對單調(diào)函數(shù)的理解僅僅局限于表面，在處理問題時更多停留在前結(jié)構(gòu)層次和單點結(jié)構(gòu)層次，習(xí)慣具體、有形的解析式，對單調(diào)抽象函數(shù)的把握依然是難點，數(shù)學(xué)中的抽象函數(shù)依然是學(xué)生的弱點，抽象思維有待提高.

（5）學(xué)生對單調(diào)函數(shù)概念的理解更多停留在表征水平階段，在表征水平階段更多學(xué)生使用單一的表征形式，這可能是妨礙學(xué)生理解單調(diào)函數(shù)的一個原因；達(dá)到分析水平階段的學(xué)生所占比例很小，這可能會阻礙達(dá)到領(lǐng)悟水平階段和應(yīng)用水平階段.由此可見，在單調(diào)函數(shù)概念的教學(xué)中，應(yīng)加強重視學(xué)生表征水平階段和分析水平階段的達(dá)到程度.

［參 考 文 獻(xiàn)］

[1]劉祖望.中等數(shù)學(xué)中的函數(shù)單調(diào)性[J].重慶教育學(xué)院學(xué)報，2004，（3）：15-17.

[2]李莉.學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的層次分析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2002，11（3）：12-15.

[3]賈丕珠.函數(shù)學(xué)習(xí)中的六個認(rèn)知層次[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2004，13（3）：79-81.

[4]Grouws D A. Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning [M]. New York: Macmillan Publish Company, 1992.

[5]李善良.關(guān)于數(shù)學(xué)概念表征層次的研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2005，14（4）：35-37.

[6]曾國光.中學(xué)生函數(shù)概念認(rèn)知發(fā)展研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2002，11（5）：99-102.

[7]羅新兵，羅增儒.數(shù)學(xué)概念表征的初步研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2003，12（2）：22-23.

[8]柳海民.教育學(xué)原理[M].北京：高等教育出版社，2011.

[9]黃翔.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的十個核心概念[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2012，21（4）：16-19.

[10]王曉輝.數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論[M].長春：東北師范大學(xué)出版社，2005.

[11]錢佩玲.數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué)（第二版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2008.

[12]李士锜.熟能生巧嗎[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，1996，5（3）：46-50.

[13]濮安山，史寧中.從APOS理論看高中生對函數(shù)概念的理解[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2007，16（2）：48-50.

[14]李吉寶.數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)該幫助學(xué)生形成七種數(shù)學(xué)觀念[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2011，20（2）：88-89.

[15]Biggs J B, Collis K F.Evaluating the Quality of Learning——The SOLO Taxonomy [M].New York: Academic Press, 1982.

[16]陳蓓.利用SOLO分類法探究學(xué)生函數(shù)概念理解水平[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2009，18（2）：35-38.

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

Study of Cognitive Level of the Concept of Monotonic Function of High School Students

ZHU Li-ming1, MA Yun-peng1, HAN Ji-wei2, WANG Jiu-cheng3
(1. Northeast Normal University Faculty of Education, Jilin Changchun 130024, China; 2. Northeast Normal University School of Mathematics and Statistics, Jilin Changchun 130024, China; 3. High School Attached To Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China)

Abstract:Monotonic function is an important concept in function of high school mathematics. It not only helps to cultivate the students’ abstract thinking, logic thinking and creative thinking, but the image of monotonic function is also the important carrier of thought of symbolic-graphic combination. Using the method of testing to do research on cognitive level of the concept of monotonic function of high school students, it is found that most of the students’ representation of the concept of monotonic function is relatively single. Their understanding of the concept of monotonic function is shallow and the monotonicity of abstract function needs improvement.

Key words:high school students; monotonic function; representation of concept; cognitive level of concept

作者簡介：朱立明（1986—），男，河北承德人，東北師范大學(xué)教育學(xué)部在讀博士，主要從事課程與教學(xué)論方面研究.

基金項目：教師教育協(xié)同創(chuàng)新中心總體設(shè)計的合作研究重大項目“高素質(zhì)教師成長規(guī)律與培養(yǎng)方式變革研究”下的重點研究課題——教師教育創(chuàng)新課程開發(fā)與教學(xué)設(shè)計（XTZX20130002）

收稿日期：2015-03-04

中圖分類號：G420

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1004-9894（2015）04-0061-04