楊　翠，劉　沖，呂文華

(1.安慶師范學院 數(shù)學與計算科學學院，安徽 安慶 246011；2.滁州學院 數(shù)學與金融學院，安徽 滁州 239000)

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灰色模型優(yōu)化改進及其在人口城鎮(zhèn)化問題上的應(yīng)用

楊翠1，劉沖1，呂文華2

(1.安慶師范學院 數(shù)學與計算科學學院，安徽 安慶 246011；2.滁州學院 數(shù)學與金融學院，安徽 滁州 239000)

摘要：利用最小二乘原則求得最佳平移步長，對原始數(shù)據(jù)進行平移變換，建立GM(1,1)模型對中國人口城鎮(zhèn)化作出了分析，并對預(yù)測結(jié)果進行了誤差檢驗。從實例可以看出，最佳平移變換方法簡單容易實現(xiàn)，優(yōu)化后的灰色模型精度更高，從而能對中國人口城鎮(zhèn)化程度提供更長期的預(yù)測效果。

關(guān)鍵詞：灰色理論；GM(1,1)模型；人口城鎮(zhèn)化；平移變換

中國人口城鎮(zhèn)化問題是中國經(jīng)濟發(fā)展的一個重要表現(xiàn)形式。城鎮(zhèn)化與經(jīng)濟增長二者之間呈現(xiàn)密切的相互促進關(guān)系。從經(jīng)濟角度看，城市化是在空間體系下的一種經(jīng)濟轉(zhuǎn)換過程，人口和經(jīng)濟之所以向城市集中是集聚經(jīng)濟和規(guī)模經(jīng)濟雙重作用的結(jié)果，特別是像經(jīng)濟急速發(fā)展的中國，人口城鎮(zhèn)化問題是當前急需解決的問題，目前對這一問題有很多研究[1-2]，大多利用統(tǒng)計方法，這類方法需要大量數(shù)據(jù)支持，因城鎮(zhèn)化程度很多時候是由于當前的經(jīng)濟發(fā)展速度決定，所以往往誤差較大。

灰色理論是鄧聚龍[3]教授首先提出，灰色預(yù)測具有小樣本適用性，在很多預(yù)測領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用。但它存在一定的局限性。GM(1,1)模型主要適用于單一的指數(shù)增長序列，要求數(shù)據(jù)序列級比為定常數(shù)，預(yù)測結(jié)果才能夠達到很好的精度。目前很多對GM(1,1)模型的改進主要體現(xiàn)在四個方面：1)改進模型的參數(shù)估計方法[4-5]，2)對背景值的改進[6-8]，3)對模型的初始條件的改進[9-10]，4)GM(1,1)模型形式的改進[11-13]。這些針對模型形式改進后，對于相應(yīng)的問題來說精度有所提高，但對原始序列進行相應(yīng)的變換以減少模型誤差的分析很少。本文利用平移變換法優(yōu)化灰色模型對人口城鎮(zhèn)化問題進行分析和預(yù)測。

1灰色系統(tǒng)建模及預(yù)測的基本原理

1.1GM(1,1)模型的建立

設(shè)原始時間序列

X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))

(1)

對原始數(shù)列作累加生成(1-AGO)

X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))

(2)

x(0)(k)+az(1)(k)=b

(3)

為GM(1,1)模型的基本形式，a,b為參數(shù)。

(4)

(5)

式(5)為最常用的GM(1,1)模型的一般形式，可進一步化簡為

(6)

1.2模型GM(1,1)精度檢驗

GM(1,1)模型的擬合精度必須達到一定的要求，才能應(yīng)用于實際問題的預(yù)測，當誤差較大時，需要對模型進行相應(yīng)改進。

平均相對誤差：

(7)

2平移變換

2.1最佳平移步長

可知x(0)(k)-τ=αx(1)(k)-αkτ+β

(8)

令c1=ατ,c2=τ+β,(8)式為，

x(0)(k)=αx(1)(k)-c1k+c2

帶入原始數(shù)據(jù)X(0)與X(1)，由最小二乘原則求得

[α,c1,c2]T=(BTB)-1BTY

(9)

這里B和Y分別為

Y=[x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)]T，

則可得最佳平移步長τ=c1/α。

2.2平移變換GM(1,1)建模步驟

1) 根據(jù)(8)式求得參數(shù)αc1，確定最佳平移步長τ=c1/α；

4) 根據(jù)式(4)計算參數(shù)[a,b]T=(BTB)-1BTY；

5)根據(jù)公式

(10)

2.3模型說明

TT-GM(1,1):數(shù)據(jù)經(jīng)最優(yōu)平移變化后建立的GM(1,1)。

3人口城鎮(zhèn)化的分析

本文選用2008-2013年中國城鄉(xiāng)人口進行分析(表1)，考慮城鎮(zhèn)人口所占比率變化規(guī)律。

表1　城鄉(xiāng)人口對比表(單位 /萬人)

3.1建立GM(1,1)預(yù)測模型

根據(jù)表1中城鎮(zhèn)人口比率數(shù)據(jù)，由式(4)求得參數(shù)[a,b]T=[-0.033 5,0.451 0],建立GM(1,1)模型如下

(11)

根據(jù)式(9)求得最佳平移步長為0.685 1，對原始數(shù)據(jù)進行平移變換，求得參數(shù)[a,b]T=[0.098 8,-0.247 2]，建立數(shù)據(jù)優(yōu)化后GM(1,1) 模型為

(12)

根據(jù)式(11)，(12),計算2008-2013年城鎮(zhèn)人口的預(yù)測值及誤差如表2。

表2　城鎮(zhèn)人口的預(yù)測及誤差

3.2模型預(yù)測與結(jié)果分析

根據(jù)表2所得數(shù)據(jù)，可得GM(1,1)模型和優(yōu)化后模型對比圖如圖1。

從圖1知，TT-GM(1,1)模型曲線擬合度比GM(1,1)模型要好得多，由表2可得TT-GM(1,1)模型的預(yù)測精度比GM(1,1)模型高很多，對比精度檢驗表，TT-GM(1,1)模型達到中長期預(yù)測精度，所以，利用TT-GM(1,1)模型對2012-2015年的城鎮(zhèn)人口比率進行預(yù)測，將參數(shù)值代入(10)式，對應(yīng)值為[55.46，56.68，57.80，58.80]，未來城鎮(zhèn)人口比率變化趨勢見圖2。

圖1GM(1,1)和TT-GM(1,1)模型對比關(guān)系

圖2城鎮(zhèn)人口比率變化曲線

4結(jié)束語

對原始數(shù)據(jù)進行平移變換能很好地改進灰色模型的精度，實例表明： 1)思想簡單，比其它的改進方法更容易實現(xiàn)，能很好地解決直接運用GM(1,1)模型產(chǎn)生高誤差問題，結(jié)果更加精確可靠；2)對數(shù)據(jù)進行平移變換，從一定程度上拓廣了GM(1,1)模型的應(yīng)用范圍，使得灰色預(yù)測模型更加適合于預(yù)測經(jīng)濟發(fā)展、物價增長、人口增加以及其它數(shù)據(jù)呈增長型問題有很好的實際應(yīng)用意義；3)TT-GM(1,1)模型對城鎮(zhèn)人口變化規(guī)律進行預(yù)測分析，精度更高，能達到中長期預(yù)測效果。

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Using the Grey Model Optimized by Translation Transformation to Analyze the Problem of Population Urbanization

YANG Cui1, LIU Chong1, Lv Wen-hua2

(1.College of mathematics and computer science, Anqing Normal uiversity, Anqing 246011, China；2.College of mathematics and finance, Chuzhou university, Chuzhou 239000, China)

Abstract:The best translation step was first obtained by using the least squares principle and the original data was transformed by translation transform method in the paper. Then we constructed the GM(1,1) model to analyze the problem of population urbanization in China, and the result of forecast error was analyzed. The results show that the grey model optimized by the best translation method is more accurate and reliable. It can carry on forecasting the population urbanization in long term.

Key words:grey theory, GM(1,1)model, population urbanization, translation transformation

文章編號：1007-4260(2015)03-0035-03

中圖分類號：O231.9

文獻標識碼：A

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.03.010

作者簡介：楊翠，女，安徽安慶人,碩士，安慶師范學院數(shù)學與計算科學學院講師，研究方向為微分方程、系統(tǒng)穩(wěn)定性分析。

基金項目：安徽高校省級科學研究項目(KJ2014A180)和安徽省自然科學基金青年項目(1508085QA14)。

收稿日期：2014-07-07

網(wǎng)絡(luò)出版時間：2015-8-25 15:40網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20150825.1540.010.html