楊　翠，劉　沖，呂文華

(1.安慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽 安慶 246011；2.滁州學(xué)院 數(shù)學(xué)與金融學(xué)院，安徽 滁州 239000)

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灰色模型優(yōu)化改進(jìn)及其在人口城鎮(zhèn)化問題上的應(yīng)用

楊翠1，劉沖1，呂文華2

(1.安慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽 安慶 246011；2.滁州學(xué)院 數(shù)學(xué)與金融學(xué)院，安徽 滁州 239000)

摘要：利用最小二乘原則求得最佳平移步長(zhǎng)，對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行平移變換，建立GM(1,1)模型對(duì)中國(guó)人口城鎮(zhèn)化作出了分析，并對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行了誤差檢驗(yàn)。從實(shí)例可以看出，最佳平移變換方法簡(jiǎn)單容易實(shí)現(xiàn)，優(yōu)化后的灰色模型精度更高，從而能對(duì)中國(guó)人口城鎮(zhèn)化程度提供更長(zhǎng)期的預(yù)測(cè)效果。

關(guān)鍵詞：灰色理論；GM(1,1)模型；人口城鎮(zhèn)化；平移變換

中國(guó)人口城鎮(zhèn)化問題是中國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的一個(gè)重要表現(xiàn)形式。城鎮(zhèn)化與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)二者之間呈現(xiàn)密切的相互促進(jìn)關(guān)系。從經(jīng)濟(jì)角度看，城市化是在空間體系下的一種經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)換過程，人口和經(jīng)濟(jì)之所以向城市集中是集聚經(jīng)濟(jì)和規(guī)模經(jīng)濟(jì)雙重作用的結(jié)果，特別是像經(jīng)濟(jì)急速發(fā)展的中國(guó)，人口城鎮(zhèn)化問題是當(dāng)前急需解決的問題，目前對(duì)這一問題有很多研究[1-2]，大多利用統(tǒng)計(jì)方法，這類方法需要大量數(shù)據(jù)支持，因城鎮(zhèn)化程度很多時(shí)候是由于當(dāng)前的經(jīng)濟(jì)發(fā)展速度決定，所以往往誤差較大。

灰色理論是鄧聚龍[3]教授首先提出，灰色預(yù)測(cè)具有小樣本適用性，在很多預(yù)測(cè)領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用。但它存在一定的局限性。GM(1,1)模型主要適用于單一的指數(shù)增長(zhǎng)序列，要求數(shù)據(jù)序列級(jí)比為定常數(shù)，預(yù)測(cè)結(jié)果才能夠達(dá)到很好的精度。目前很多對(duì)GM(1,1)模型的改進(jìn)主要體現(xiàn)在四個(gè)方面：1)改進(jìn)模型的參數(shù)估計(jì)方法[4-5]，2)對(duì)背景值的改進(jìn)[6-8]，3)對(duì)模型的初始條件的改進(jìn)[9-10]，4)GM(1,1)模型形式的改進(jìn)[11-13]。這些針對(duì)模型形式改進(jìn)后，對(duì)于相應(yīng)的問題來說精度有所提高，但對(duì)原始序列進(jìn)行相應(yīng)的變換以減少模型誤差的分析很少。本文利用平移變換法優(yōu)化灰色模型對(duì)人口城鎮(zhèn)化問題進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)。

1灰色系統(tǒng)建模及預(yù)測(cè)的基本原理

1.1GM(1,1)模型的建立

設(shè)原始時(shí)間序列

X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))

(1)

對(duì)原始數(shù)列作累加生成(1-AGO)

X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))

(2)

x(0)(k)+az(1)(k)=b

(3)

為GM(1,1)模型的基本形式，a,b為參數(shù)。

(4)

(5)

式(5)為最常用的GM(1,1)模型的一般形式，可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

(6)

1.2模型GM(1,1)精度檢驗(yàn)

GM(1,1)模型的擬合精度必須達(dá)到一定的要求，才能應(yīng)用于實(shí)際問題的預(yù)測(cè)，當(dāng)誤差較大時(shí)，需要對(duì)模型進(jìn)行相應(yīng)改進(jìn)。

平均相對(duì)誤差：

(7)

2平移變換

2.1最佳平移步長(zhǎng)

可知x(0)(k)-τ=αx(1)(k)-αkτ+β

(8)

令c1=ατ,c2=τ+β,(8)式為，

x(0)(k)=αx(1)(k)-c1k+c2

帶入原始數(shù)據(jù)X(0)與X(1)，由最小二乘原則求得

[α,c1,c2]T=(BTB)-1BTY

(9)

這里B和Y分別為

Y=[x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)]T，

則可得最佳平移步長(zhǎng)τ=c1/α。

2.2平移變換GM(1,1)建模步驟

1) 根據(jù)(8)式求得參數(shù)αc1，確定最佳平移步長(zhǎng)τ=c1/α；

4) 根據(jù)式(4)計(jì)算參數(shù)[a,b]T=(BTB)-1BTY；

5)根據(jù)公式

(10)

2.3模型說明

TT-GM(1,1):數(shù)據(jù)經(jīng)最優(yōu)平移變化后建立的GM(1,1)。

3人口城鎮(zhèn)化的分析

本文選用2008-2013年中國(guó)城鄉(xiāng)人口進(jìn)行分析(表1)，考慮城鎮(zhèn)人口所占比率變化規(guī)律。

表1　城鄉(xiāng)人口對(duì)比表(單位 /萬(wàn)人)

3.1建立GM(1,1)預(yù)測(cè)模型

根據(jù)表1中城鎮(zhèn)人口比率數(shù)據(jù)，由式(4)求得參數(shù)[a,b]T=[-0.033 5,0.451 0],建立GM(1,1)模型如下

(11)

根據(jù)式(9)求得最佳平移步長(zhǎng)為0.685 1，對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行平移變換，求得參數(shù)[a,b]T=[0.098 8,-0.247 2]，建立數(shù)據(jù)優(yōu)化后GM(1,1) 模型為

(12)

根據(jù)式(11)，(12),計(jì)算2008-2013年城鎮(zhèn)人口的預(yù)測(cè)值及誤差如表2。

表2　城鎮(zhèn)人口的預(yù)測(cè)及誤差

3.2模型預(yù)測(cè)與結(jié)果分析

根據(jù)表2所得數(shù)據(jù)，可得GM(1,1)模型和優(yōu)化后模型對(duì)比圖如圖1。

從圖1知，TT-GM(1,1)模型曲線擬合度比GM(1,1)模型要好得多，由表2可得TT-GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)精度比GM(1,1)模型高很多，對(duì)比精度檢驗(yàn)表，TT-GM(1,1)模型達(dá)到中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)精度，所以，利用TT-GM(1,1)模型對(duì)2012-2015年的城鎮(zhèn)人口比率進(jìn)行預(yù)測(cè)，將參數(shù)值代入(10)式，對(duì)應(yīng)值為[55.46，56.68，57.80，58.80]，未來城鎮(zhèn)人口比率變化趨勢(shì)見圖2。

圖1GM(1,1)和TT-GM(1,1)模型對(duì)比關(guān)系

圖2城鎮(zhèn)人口比率變化曲線

4結(jié)束語(yǔ)

對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行平移變換能很好地改進(jìn)灰色模型的精度，實(shí)例表明： 1)思想簡(jiǎn)單，比其它的改進(jìn)方法更容易實(shí)現(xiàn)，能很好地解決直接運(yùn)用GM(1,1)模型產(chǎn)生高誤差問題，結(jié)果更加精確可靠；2)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行平移變換，從一定程度上拓廣了GM(1,1)模型的應(yīng)用范圍，使得灰色預(yù)測(cè)模型更加適合于預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)發(fā)展、物價(jià)增長(zhǎng)、人口增加以及其它數(shù)據(jù)呈增長(zhǎng)型問題有很好的實(shí)際應(yīng)用意義；3)TT-GM(1,1)模型對(duì)城鎮(zhèn)人口變化規(guī)律進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，精度更高，能達(dá)到中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)效果。

參考文獻(xiàn):

[1] 張浩, 徐大華. 農(nóng)村人口城鎮(zhèn)化速度影響中國(guó)總?cè)丝诘亩糠治鯷J]. 安徽農(nóng)業(yè)科學(xué), 2007, 35(36): 11742-11744.

[2] 李劍富, 郭金豐. 論城鎮(zhèn)化過渡與過度城鎮(zhèn)化[J]. 農(nóng)業(yè)現(xiàn)代化研究, 2005, 26(2): 101-104.

[3] 鄧聚龍. 灰色系統(tǒng)基本方法[M]. 武漢：華中工學(xué)院出版社, 1978.

[4] 鄧聚龍. 灰預(yù)測(cè)與灰決策[M]. 武漢: 華中科技大學(xué)出版社, 2002: 23-25.

[5] 何文章, 宋國(guó)鄉(xiāng). 基于遺傳算法估計(jì)灰色模型中的參數(shù)[J]. 系統(tǒng)工程學(xué)報(bào), 2005, 20(4): 432-437.

[6] 譚冠軍.GM(1,1)模型的背景值構(gòu)造方法和應(yīng)用(I)[J]. 系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐, 2000, 20(4): 98-103.

[7]P.Zhou,Y.Wei.TheoptimizationofbackgroundvalueingreymodelGM(1, 1)[J].JournalofGreySystem,2006, 9(2): 139-142.

[8]Z.X.Wang,Y.S.Dang,S.F.Liu,etal.TheoptimizationofbackgroundvalueinGM(1,1)model[J].JournalofGreySystem, 2007, 10(2): 69-74.

[9] 黨耀國(guó), 劉思峰, 劉斌. 以x(1)(n)為初始條件的GM模型[J]. 中國(guó)管理科學(xué), 2005, (1): 132-134.

[10] 張輝, 胡適耕.GM(1,1)模型的邊值分析[J]. 華中科技大學(xué)學(xué)報(bào), 2001, 29(4): 110-111.

[11] 穆勇. 優(yōu)化灰導(dǎo)數(shù)白化值的無偏灰色GM(1,1)模型[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí), 2003, 33(3): 13-16.

[12]PeirongJi,JianZhang,HongboZou,etal.AmodifiedunbiasedGM(1,1)model[J].GreySystems:TheoryandApplication, 2011, 1(3):192-201.

[13] 謝乃明, 劉思峰. 離散GM(1,1)模型與灰色預(yù)測(cè)模型建模機(jī)理[J]. 系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐, 2005, 25(1): 93- 98.

Using the Grey Model Optimized by Translation Transformation to Analyze the Problem of Population Urbanization

YANG Cui1, LIU Chong1, Lv Wen-hua2

(1.College of mathematics and computer science, Anqing Normal uiversity, Anqing 246011, China；2.College of mathematics and finance, Chuzhou university, Chuzhou 239000, China)

Abstract:The best translation step was first obtained by using the least squares principle and the original data was transformed by translation transform method in the paper. Then we constructed the GM(1,1) model to analyze the problem of population urbanization in China, and the result of forecast error was analyzed. The results show that the grey model optimized by the best translation method is more accurate and reliable. It can carry on forecasting the population urbanization in long term.

Key words:grey theory, GM(1,1)model, population urbanization, translation transformation

文章編號(hào)：1007-4260(2015)03-0035-03

中圖分類號(hào)：O231.9

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.03.010

作者簡(jiǎn)介：楊翠，女，安徽安慶人,碩士，安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院講師，研究方向?yàn)槲⒎址匠?、系統(tǒng)穩(wěn)定性分析。

基金項(xiàng)目：安徽高校省級(jí)科學(xué)研究項(xiàng)目(KJ2014A180)和安徽省自然科學(xué)基金青年項(xiàng)目(1508085QA14)。

收稿日期：2014-07-07

網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2015-8-25 15:40網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20150825.1540.010.html