【摘要】本文研究一種對奇異期權(quán)定價(jià)的非參數(shù)方法，避開了傳統(tǒng)期權(quán)定價(jià)方法對資產(chǎn)價(jià)格分布假設(shè)和波動(dòng)率假設(shè)等難題，并且不同于其他非參數(shù)方法從期權(quán)歷史交易價(jià)格出發(fā)為新期權(quán)定價(jià)，本文直接用標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格為期權(quán)定價(jià)。因此，即使在期權(quán)市場不完善，期權(quán)價(jià)格不可靠、不可得，甚至不存在的情況下，也能為期權(quán)有效定價(jià)。此外，本文將正則定價(jià)方法和隱含二叉樹方法有效結(jié)合，擴(kuò)展到為奇異期權(quán)的定價(jià)問題上，并在傳統(tǒng)的正則定價(jià)方法中加入了價(jià)格敏感因素作為約束條件，以提高該方法的定價(jià)精度。

【關(guān)鍵詞】正則方法 ?約束條件 ?隱含二叉樹 ?期權(quán)定價(jià)

一、標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格路徑

奇異期權(quán)是路徑依賴期權(quán)，因此，為奇異期權(quán)定價(jià)需要考察標(biāo)的資產(chǎn)在期權(quán)期限內(nèi)的價(jià)格演變過程。本文采用離散時(shí)間定價(jià)方法，假設(shè)奇異期權(quán)的到期時(shí)刻為T，當(dāng)前時(shí)刻為t，將時(shí)間段T-t分為N個(gè)時(shí)間間隔，用τ表示觀測時(shí)刻，τ=t1，t2，…，tN-1，T?？疾霱條股票價(jià)格路徑，則每一條都由N+1個(gè)價(jià)格元素組成，即當(dāng)前價(jià)格St和在N個(gè)觀測時(shí)刻的價(jià)格：{S■，S■■，S■■，...，S■■，S■■，？坌i=1，2，…，M}.所以，標(biāo)的資產(chǎn)收益的相應(yīng)地由下式表示：

S■■=S■R■■

S■■=S■■R■■=S■R■■ n=2，3，...，N （1）

R■■表示第i條樣本路徑（？坌i=1，2，…，M），τ時(shí)刻對應(yīng)的資產(chǎn)收益率。一般的，樣本路徑的數(shù)量M，明顯大于期權(quán)執(zhí)行時(shí)刻的數(shù)量N。

進(jìn)一步地，假設(shè)每一條股票價(jià)格樣本路徑服從相等的真實(shí)世界概率分布■（i）=■，？坌i=1，2，…，M。標(biāo)準(zhǔn)正則方法僅假定標(biāo)的資產(chǎn)的到期收益服從均勻分布，而為奇異期權(quán)定價(jià)時(shí)需要考慮的是整條價(jià)格變化路徑，因此這里假定的是M條標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格樣本路徑服從均勻分布。這里的■是經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，以概率收斂于真實(shí)分布π，是 ?π的一個(gè)逼近。

二、最優(yōu)等價(jià)鞅測度

正則定價(jià)方法的核心是將真實(shí)世界的概率測度轉(zhuǎn)換為風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度。所求的風(fēng)險(xiǎn)中性概率■*（i），？坌i=1，2，…，M必須滿足等價(jià)鞅測度（EMM）的性質(zhì)，即：

■■π■=1 ？坌j=1，2，…，N （2）

完備市場存在唯一的等價(jià)鞅測度，可以直接用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法來為期權(quán)定價(jià)。但本文研究的是從標(biāo)的資產(chǎn)歷史交易價(jià)格出發(fā)的非參數(shù)方法，現(xiàn)實(shí)的資本市場是不完備市場的，即存在多個(gè)符合約束條件的等價(jià)鞅測度。因此，找出其中最優(yōu)的等價(jià)鞅測度■*，作為為奇異期權(quán)定價(jià)所需的風(fēng)險(xiǎn)中性概率是本方法的關(guān)鍵所在。本文根據(jù)Stutzer（1996）的相對熵方法，最優(yōu)等價(jià)鞅測度就是在概率轉(zhuǎn)換中信息丟失最少的那一個(gè)等價(jià)鞅測度，可以通過最小化真實(shí)概率和風(fēng)險(xiǎn)中性概率的Kullback-Leibler距離來求得：

■*=■D（π*，■）=■π■log■ （3）

其中，■■π■log■就是π■和■的Kullback-Leibler距離公式。

三、最優(yōu)約束條件

期權(quán)的實(shí)際交易價(jià)格中，隱含了為新期權(quán)定價(jià)所需要考慮的價(jià)格敏感因素，如期權(quán)市場的交易限制、期望期權(quán)回報(bào)，以及在不完全市場中的市場風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格等。Gray和Newman（2005），Gray、 Edwards和Kalotay（2007）等學(xué)者的研究表明，如果同標(biāo)的相應(yīng)期權(quán)是被準(zhǔn)確定價(jià)的，將其歷史交易價(jià)格作為約束條件，加入到新期權(quán)的定價(jià)公式中，可以提高定價(jià)精度。所以，本文在為奇異期權(quán)定價(jià)時(shí)，可以考慮加入同標(biāo)的的相對應(yīng)的歐式、美式期權(quán)價(jià)格，或同時(shí)加入這兩種期權(quán)的交易價(jià)格作為約束條件，排除相應(yīng)的奇異期權(quán)是為了防止循環(huán)計(jì)算。

假設(shè)以相應(yīng)的歐式期權(quán)價(jià)格C■作為約束條件，由于約束期權(quán)的價(jià)格是在當(dāng)前時(shí)刻t之前被觀測到的，因此以t-1表示觀測時(shí)刻。則在為奇異期權(quán)定價(jià)時(shí)，就需要估計(jì)一個(gè)拉格朗日乘數(shù)向量γ*=（γ1，γ2）：

γ*=■■expγ■■-1+γ■■-C■■（4）

其中，S■■和r■■是約束期權(quán)被觀測時(shí)，即t-1時(shí)刻的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格和無風(fēng)險(xiǎn)利率，X■■和T■■為約束期權(quán)執(zhí)行價(jià)格和到期期限。

此時(shí)，最優(yōu)等價(jià)鞅測度為：

■■■=■ （5）

四、正則隱含二叉樹為奇異期權(quán)定價(jià)

通過受約束的正則方法，得到了風(fēng)險(xiǎn)中性概率■*，作為隱含二叉樹的終期結(jié)點(diǎn)概率。構(gòu)造一棵步數(shù)為n，結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為m的隱含二叉樹，對應(yīng)的結(jié)點(diǎn)概率為Pi，j，其中i（i=1，2，...n）為步數(shù)，j（j=1，2，...m）為結(jié)點(diǎn)，則：

Pi-1，j=■[（i-j）Pi，j+（j+1）Pi，j+1] （6）

特別的，最后一步

Pn-1，j=■[（n-j）■*j+（j+1）■*i，j+1]

相應(yīng)的，從結(jié)點(diǎn)（i-1，j）向上運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)移概率：

Pi-1，j=■ （7）

對應(yīng)結(jié)點(diǎn)的收益率為：

Ri-1，j=[Pi-1，jRi，j+1+（1-Pi-1，j）Ri，j]/r （8）

由式（6）（7）（8）即可構(gòu)造出一棵隱含二叉樹，應(yīng)用新構(gòu)造的樹形就能為期權(quán)定價(jià)。

五、結(jié)論

用Stutzer（1996）提出的正則方法計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)中性概率，并加入約束條件以提高計(jì)算精度，將求得的風(fēng)險(xiǎn)中性概率作為樹形的終端節(jié)點(diǎn)概率，結(jié)合相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的標(biāo)的資產(chǎn)收益率，由后往前求出樹形的路徑概率和其他結(jié)點(diǎn)的收益率，從而構(gòu)造出一棵隱含二叉樹，就能用構(gòu)造的樹形為各種奇異期權(quán)定價(jià)。

參考文獻(xiàn)

[1]Stutzer M.A simple nonparametric approach to derivative security valuation[J].Journal of Finance，1996，51：1633-1652.

[2]Rubinstein M E.Implied binomial trees[J].Journal of Finance，1994，49：771-818.

[3]Liu Q，Guo S.Canonical Distribution，Implied Binominal Tree，and the Pricing of American Options[J].The Journal of Futures Markets，2013，33：183-198.

作者簡介：賀靖軒，女，福州大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院金融學(xué)專業(yè)，碩士研究生，研究方向：資產(chǎn)定價(jià)。