姚晶

雖然高中研究的函數(shù)問題基本都是單變量問題，但是雙變量問題也時(shí)常出現(xiàn)，特別在最近幾年高考中出現(xiàn)次數(shù)比較頻繁，學(xué)生對(duì)于此類問題的處理往往苦無對(duì)策，造成失分.所以把握好此類的問題的解決策略，對(duì)于高考的復(fù)習(xí)和備考有著重要的意義.筆者根據(jù)多年的高三教學(xué)經(jīng)歷，對(duì)此類問題茲舉幾例和讀者一起探討問題的背景和解決策略.

一、問題

二、解法分析

上面的解答中（1）學(xué)生很容易理：第一問是關(guān)于的恒等式求參數(shù)f（0），f′（1），可通過賦值法建立關(guān)于這兩個(gè)參數(shù)的方程解決問題.但是（2）問中求（a+1）b的最大值的過程學(xué)生要想到會(huì)有一定的困難，實(shí)質(zhì)上高考題（2）問中使用不等式放縮（a+1）b到（a+1）-（a+1）ln（a+1），從而實(shí)現(xiàn)變量的化歸：將雙變量的（a+1）b的最大值轉(zhuǎn)化為單變量（a+1）-（a+1）ln（a+1）的函數(shù)最值問題.

三、背景研究

本題的求最大值標(biāo)準(zhǔn)答案采用的辦法是利用不等式進(jìn)行化歸將雙變量變成單變量的函數(shù)求最值，是雙變量求最值問題的一種常用解法，有著深刻的數(shù)學(xué)背景.對(duì)此很多高考問題都與之相關(guān).下面筆者對(duì)雙變量的最值問題的常規(guī)解法作總結(jié)和研究.

（一）數(shù)形結(jié)合法

點(diǎn)評(píng)：

（二）均值不等式法

分析：上述問題具備條件和目標(biāo)中具備和、積、平方和、倒數(shù)和等結(jié)構(gòu)特征，可使用均值不等式處理此類問題.

點(diǎn)評(píng)：均值不等式法處理雙變量最值問題需要條件和目標(biāo)都具備和與積等一定的結(jié)構(gòu)特征才能使用，但是要注意的是若多次使用均值不等式求取表達(dá)式的最值，則需驗(yàn)證多次均值不等式的等號(hào)能否同時(shí)成立.

（三）多變量轉(zhuǎn)化為單變量的函數(shù)法

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)題目條件提供了適合等式或不等式條件時(shí)條件時(shí)，可將變量通過條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化如例3中的用變量b表示變量a，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)表達(dá)式化為關(guān)于變量b的函數(shù)問題；本文開頭2012全國新課標(biāo)高考題的第二問通過變量b與變量a的不等關(guān)系將（a+1）b的最大值轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量a的超越函數(shù)求最值問題.需要注意的是不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化最后需要驗(yàn)證等號(hào)成立的情況.

此外，出現(xiàn)雙變量的等式條件若最高次為二次的時(shí)候則可以嘗試使用判別式法.例2中3）令t=x+y，則y=t-x代入條件等式中得到關(guān)于x的一元二次方程參數(shù)為可通過判別式求t的取值范圍.endprint

雖然高中研究的函數(shù)問題基本都是單變量問題，但是雙變量問題也時(shí)常出現(xiàn)，特別在最近幾年高考中出現(xiàn)次數(shù)比較頻繁，學(xué)生對(duì)于此類問題的處理往往苦無對(duì)策，造成失分.所以把握好此類的問題的解決策略，對(duì)于高考的復(fù)習(xí)和備考有著重要的意義.筆者根據(jù)多年的高三教學(xué)經(jīng)歷，對(duì)此類問題茲舉幾例和讀者一起探討問題的背景和解決策略.

一、問題

二、解法分析

上面的解答中（1）學(xué)生很容易理：第一問是關(guān)于的恒等式求參數(shù)f（0），f′（1），可通過賦值法建立關(guān)于這兩個(gè)參數(shù)的方程解決問題.但是（2）問中求（a+1）b的最大值的過程學(xué)生要想到會(huì)有一定的困難，實(shí)質(zhì)上高考題（2）問中使用不等式放縮（a+1）b到（a+1）-（a+1）ln（a+1），從而實(shí)現(xiàn)變量的化歸：將雙變量的（a+1）b的最大值轉(zhuǎn)化為單變量（a+1）-（a+1）ln（a+1）的函數(shù)最值問題.

三、背景研究

本題的求最大值標(biāo)準(zhǔn)答案采用的辦法是利用不等式進(jìn)行化歸將雙變量變成單變量的函數(shù)求最值，是雙變量求最值問題的一種常用解法，有著深刻的數(shù)學(xué)背景.對(duì)此很多高考問題都與之相關(guān).下面筆者對(duì)雙變量的最值問題的常規(guī)解法作總結(jié)和研究.

（一）數(shù)形結(jié)合法

點(diǎn)評(píng)：

（二）均值不等式法

分析：上述問題具備條件和目標(biāo)中具備和、積、平方和、倒數(shù)和等結(jié)構(gòu)特征，可使用均值不等式處理此類問題.

點(diǎn)評(píng)：均值不等式法處理雙變量最值問題需要條件和目標(biāo)都具備和與積等一定的結(jié)構(gòu)特征才能使用，但是要注意的是若多次使用均值不等式求取表達(dá)式的最值，則需驗(yàn)證多次均值不等式的等號(hào)能否同時(shí)成立.

（三）多變量轉(zhuǎn)化為單變量的函數(shù)法

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)題目條件提供了適合等式或不等式條件時(shí)條件時(shí)，可將變量通過條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化如例3中的用變量b表示變量a，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)表達(dá)式化為關(guān)于變量b的函數(shù)問題；本文開頭2012全國新課標(biāo)高考題的第二問通過變量b與變量a的不等關(guān)系將（a+1）b的最大值轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量a的超越函數(shù)求最值問題.需要注意的是不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化最后需要驗(yàn)證等號(hào)成立的情況.

此外，出現(xiàn)雙變量的等式條件若最高次為二次的時(shí)候則可以嘗試使用判別式法.例2中3）令t=x+y，則y=t-x代入條件等式中得到關(guān)于x的一元二次方程參數(shù)為可通過判別式求t的取值范圍.endprint

雖然高中研究的函數(shù)問題基本都是單變量問題，但是雙變量問題也時(shí)常出現(xiàn)，特別在最近幾年高考中出現(xiàn)次數(shù)比較頻繁，學(xué)生對(duì)于此類問題的處理往往苦無對(duì)策，造成失分.所以把握好此類的問題的解決策略，對(duì)于高考的復(fù)習(xí)和備考有著重要的意義.筆者根據(jù)多年的高三教學(xué)經(jīng)歷，對(duì)此類問題茲舉幾例和讀者一起探討問題的背景和解決策略.

一、問題

二、解法分析

上面的解答中（1）學(xué)生很容易理：第一問是關(guān)于的恒等式求參數(shù)f（0），f′（1），可通過賦值法建立關(guān)于這兩個(gè)參數(shù)的方程解決問題.但是（2）問中求（a+1）b的最大值的過程學(xué)生要想到會(huì)有一定的困難，實(shí)質(zhì)上高考題（2）問中使用不等式放縮（a+1）b到（a+1）-（a+1）ln（a+1），從而實(shí)現(xiàn)變量的化歸：將雙變量的（a+1）b的最大值轉(zhuǎn)化為單變量（a+1）-（a+1）ln（a+1）的函數(shù)最值問題.

三、背景研究

本題的求最大值標(biāo)準(zhǔn)答案采用的辦法是利用不等式進(jìn)行化歸將雙變量變成單變量的函數(shù)求最值，是雙變量求最值問題的一種常用解法，有著深刻的數(shù)學(xué)背景.對(duì)此很多高考問題都與之相關(guān).下面筆者對(duì)雙變量的最值問題的常規(guī)解法作總結(jié)和研究.

（一）數(shù)形結(jié)合法

點(diǎn)評(píng)：

（二）均值不等式法

分析：上述問題具備條件和目標(biāo)中具備和、積、平方和、倒數(shù)和等結(jié)構(gòu)特征，可使用均值不等式處理此類問題.

點(diǎn)評(píng)：均值不等式法處理雙變量最值問題需要條件和目標(biāo)都具備和與積等一定的結(jié)構(gòu)特征才能使用，但是要注意的是若多次使用均值不等式求取表達(dá)式的最值，則需驗(yàn)證多次均值不等式的等號(hào)能否同時(shí)成立.

（三）多變量轉(zhuǎn)化為單變量的函數(shù)法

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)題目條件提供了適合等式或不等式條件時(shí)條件時(shí)，可將變量通過條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化如例3中的用變量b表示變量a，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)表達(dá)式化為關(guān)于變量b的函數(shù)問題；本文開頭2012全國新課標(biāo)高考題的第二問通過變量b與變量a的不等關(guān)系將（a+1）b的最大值轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量a的超越函數(shù)求最值問題.需要注意的是不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化最后需要驗(yàn)證等號(hào)成立的情況.

此外，出現(xiàn)雙變量的等式條件若最高次為二次的時(shí)候則可以嘗試使用判別式法.例2中3）令t=x+y，則y=t-x代入條件等式中得到關(guān)于x的一元二次方程參數(shù)為可通過判別式求t的取值范圍.endprint