槐創(chuàng)鋒，陳華，劉平安，舒迎將

(華東交通大學機電學院，江西南昌 330013)

一種組合并聯(lián)機構(gòu)的運動學分析及剛度分析

槐創(chuàng)鋒，陳華，劉平安，舒迎將

(華東交通大學機電學院，江西南昌 330013)

以一種新型的可實現(xiàn)3-PUU機構(gòu)和3-UPU機構(gòu)的組合并聯(lián)機構(gòu)為對象，對該機構(gòu)在可實現(xiàn)兩種并聯(lián)機構(gòu)的情況下分別進行機構(gòu)自由度分析、運動學分析，得出機構(gòu)的運動學正逆解以及雅克比矩陣，根據(jù)所求出的雅克比矩陣進一步對機構(gòu)進行機構(gòu)剛度分析，并用MATLAB軟件求解剛度值，繪制出在給定的位姿時上下平臺的相關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)對整體剛度值的影響曲線圖，為此組合并聯(lián)機構(gòu)的進一步分析提供了理論分析的依據(jù)，對組合并聯(lián)機構(gòu)的設(shè)計具有一定指導(dǎo)作用。

組合并聯(lián)機構(gòu);運動學;雅可比矩陣;剛度分析

0 前言

并聯(lián)機構(gòu)在工作進程中總會承受外力載荷，即其末端執(zhí)行器會對被作用的物體施加力或力矩的作用，如果并聯(lián)機構(gòu)的整體剛度較小，就會發(fā)生較大變形，導(dǎo)致其無法進行正常的工作，因而分析并聯(lián)機構(gòu)的剛度對于機構(gòu)性能研究具有重要的理論價值和意義［1］。

至今已有不少學者對并聯(lián)機構(gòu)的剛度進行過分析，其中韓書葵等［2］采用螺旋理論方法推導(dǎo)出了少自由度機構(gòu)剛度計算公式，分析了機構(gòu)條件數(shù)，給出了機構(gòu)最大剛度與最小剛度的計算方法，繪出了機構(gòu)最大剛度和最小剛度曲線;孟巧玲［3］采用基于新的守恒協(xié)調(diào)剛度矩陣推導(dǎo)出3-PRR平面并聯(lián)機構(gòu)、6-SPS空間并聯(lián)機構(gòu)剛度映射公式，結(jié)合其工作空間對所研究的機構(gòu)進行剛度特性分析;樂林林等［4］從動平臺所受作用力和發(fā)生位移的關(guān)系角度，建立了剛度模型，并給出了機構(gòu)靜剛度的度量指標;胡波等人［5］在建立的剛度模型中考慮了約束反力對機構(gòu)剛度的影響，能夠體現(xiàn)約束對機構(gòu)剛度的影響?？梢钥闯?，關(guān)于機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)對機構(gòu)剛度的影響還鮮有研究，本文作者從影響并聯(lián)機構(gòu)剛度的機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)入手，研究一種可實現(xiàn)3自由度宏觀運動和3自由度微動調(diào)節(jié)的3PUPU的醫(yī)療并聯(lián)機構(gòu)［6］的剛度隨機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)變化情況。先分別對處于兩種結(jié)構(gòu)狀態(tài)時的并聯(lián)機構(gòu)的進行運動學分析，得出機構(gòu)運動正逆解，并計算出機構(gòu)的雅克比矩陣;其次，通過得出的雅克比矩陣分析機構(gòu)的整體剛度值隨上下平臺結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化情況;最后，應(yīng)用MATLAB軟件對整體剛度值進行運算分析，并繪制出上下平臺結(jié)構(gòu)參數(shù)對整體剛度的影響曲面圖。根據(jù)影響曲面圖，得出機構(gòu)整體剛度是否受上下平臺結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響，如果有影響，可以對所設(shè)計的并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)尺寸進行適當?shù)男拚怪軌颢@得較高的剛度，進而保證機構(gòu)能夠順利圓滿地完成每一個工作任務(wù)。

1 3-PUPU并聯(lián)機構(gòu)

如圖1所示，該裝置利用3-UPU和3-PUU兩種3自由度并聯(lián)機構(gòu)支鏈運動副組成相近的特點，將兩種并聯(lián)機構(gòu)支鏈中的“PU”部分支鏈進行共用，組成了一種能夠?qū)崿F(xiàn)3自由度宏觀運動和3自由度微動調(diào)節(jié)的3PUPU的醫(yī)療并聯(lián)機器人。它是一種部分支鏈重合的組合并聯(lián)機構(gòu)，通過部分驅(qū)動運動副鎖死和放開實現(xiàn)可用于醫(yī)療機器人的位置和姿態(tài)控制，能夠?qū)崿F(xiàn)宏觀運動和微動調(diào)節(jié)兩種復(fù)合運動形式的場合。

圖1 3-PUPU并聯(lián)機構(gòu)總裝配示意圖

2 機構(gòu)運動學分析

2.1 機構(gòu)作為3-UPU并聯(lián)機構(gòu)實現(xiàn)運動輸出

要實現(xiàn)三自由度3-UPU并聯(lián)機構(gòu)運動輸出時，鎖死滑塊9、10、11，將機構(gòu)簡化如圖2所示。其中動靜平臺通過3條UPU支鏈連接在一起，P副作為驅(qū)動副，U副為從動副，而且分別與動靜平臺相連的兩個轉(zhuǎn)動副軸線相互平行，并共同平行于動靜平臺，P副兩端的兩個轉(zhuǎn)動副軸線也是相互平行的。在動靜平臺上分別建立oxyz和OXYZ空間直角坐標系，初始位置時，Z軸和z軸均垂直于動靜平臺，Y軸與$i1重合，y軸與$i5重合。

圖2 3-UPU并聯(lián)機構(gòu)示意圖

2.1.1 計算3-UPU并聯(lián)機構(gòu)的自由度

運用螺旋理論，求出第i條分支的分支運動螺旋系如下:

利用分支運動螺旋和分支約束螺旋相逆的原理，由分支運動螺旋可以推導(dǎo)出第i條分支的分支約束螺旋系，如下:

由式 (1)可知，3-UPU并聯(lián)機構(gòu)的每個UPU分支鏈對動平臺都會施加1個平行于基座標系Z軸方向的約束力偶，由于靜平臺基座標系的X、Y軸分別與靜平臺相連的萬向鉸兩個軸線平行，這個約束力偶一定會垂直于與靜平臺相連的萬向鉸兩個軸線所在平面，而且靜平臺處相連的3個萬向鉸軸線所在平面均不平行也不重合，故3個約束力偶也互不平行，因此，3個約束力偶將會約束動平臺的3個轉(zhuǎn)動，此3-UPU并聯(lián)機構(gòu)擁有3個移動自由度。

2.1.2 作為3-UPU并聯(lián)機構(gòu)時的位置逆解的計算

并聯(lián)機構(gòu)的位置反解指已知輸出參數(shù)求輸入?yún)?shù)，如圖2所示，設(shè)動靜平臺各個虎克鉸的中心點的連線分別為兩個相似的等邊三角形△abc和△ABC，其邊長分別為d和D，且 Aa=L1，Bb=L2，Cc=L3，動平臺的中心點o在靜平臺坐標系OXYZ中的坐標為Oo=(x y z)，可列出如下方程組:位形，兩種情況均有

2.2 機構(gòu)作為3-PUU并聯(lián)機構(gòu)實現(xiàn)運動輸出

如前文所述，要實現(xiàn)三自由度3-PUU并聯(lián)機構(gòu)運動輸出時，鎖死直線驅(qū)動器16、17、18，滑塊1、滑塊2和滑塊3為該機構(gòu)的驅(qū)動裝置，3-PUU機構(gòu)簡圖如圖3所示，此時，動靜平臺通過3條PUU支鏈連接在一起，P副作為驅(qū)動副，U副為從動副，而且分別與動靜平臺相連的轉(zhuǎn)動副軸線對應(yīng)相互平行，并共同平行于動靜平臺。在動靜平臺上分別建立oxyz和OXYZ空間直角坐標系，Y軸與$i3平行，X軸與$i2平行，且$i2與$i4平行，$i3與$i5平行。

由式 (8)可知，3-UPU并聯(lián)機構(gòu)在D=d時，即上下平臺為全等的等邊三角形時，處于奇異位形狀態(tài)，這時3條UPU支鏈相互平行，另外當z=0時，此時動靜平臺已經(jīng)相互重合為一個平面了，也是奇異

圖3 3-PUU并聯(lián)機構(gòu)示意圖

2.2.1 計算3-PUU并聯(lián)機構(gòu)的自由度

運用螺旋理論，求出第i條分支的分支運動螺旋系如下:

同理，利用分支運動螺旋和分支約束螺旋互逆的原理，由分支運動螺旋可以推導(dǎo)出第i條分支的分支約束螺旋系，如下:

由式 (9)可知，其是一個反螺旋力偶矢量，它表示的物理意義是3個分支同時約束了動平臺繞著平行于 (0 0 1)的轉(zhuǎn)動，與前面分析的3-UPU并聯(lián)機構(gòu)一致，此約束力偶方向與靜平臺上基座標系的Z軸方向一致，而與靜平臺相連的萬向鉸兩個軸線分別平行于靜平臺的X、Y軸，故此約束力偶方向與該萬向鉸兩軸線所在平面垂直，而且靜平臺處相連的3個萬向鉸軸線所在平面均不平行也不重合，故3個約束力偶也互不平行，因此，3個約束力偶必會約束動平臺的3個轉(zhuǎn)動，此3-UPU并聯(lián)機構(gòu)僅擁有3個移動自由度。

2.2.2 作為3-PUU并聯(lián)機構(gòu)時的位置逆解的計算

這里已知輸出參數(shù)x，y，z和機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)R，r，L，l，解3個一元二次方程可以比較容易的求出位置逆解 l1，l2，l3(li≥0，i=1，2，3)。

2.2.3 作為3-PUU并聯(lián)機構(gòu)時的位置正解的計算

已知輸入?yún)?shù)l1，l2，l3和結(jié)構(gòu)參數(shù)R，r，L，l，θ，由式 (10)、(12)可以用MATLAB軟件很方便地計算出上面方程組的解x，y，z，且z必取大于零的值，x，y，z的值即為所求的3-PUU并聯(lián)機構(gòu)的位置正解。

2.2.4 3-PUU并聯(lián)機構(gòu)的雅可比矩陣的求解

同理，將式 (10)、(12)方程組對時間求導(dǎo)可得雅可比矩陣:

2.2.5 3-PUU并聯(lián)機構(gòu)奇異位形的分析計算

并聯(lián)機構(gòu)均處于奇異位形，此時△abc和△DEF為全等的等邊三角形，三支鏈相互平行，或者當z=0時，此時上下平臺會重合一部分，機構(gòu)也會處于奇異位形。

3 機構(gòu)的剛度分析

3.1 機構(gòu)作為3-UPU并聯(lián)機構(gòu)時的剛度分析

C GOSSILIN在1990年提出:并聯(lián)機構(gòu)在其工作空間內(nèi)一點的剛度可以通過它的剛度矩陣來描述的，由此他給出了并聯(lián)機構(gòu)的剛度矩陣公式:

上述公式 (15)中的Kj為關(guān)節(jié)剛度矩陣，且為含有常量kii的對角矩陣 (i=1，2，3);J為并聯(lián)機構(gòu)的雅可比矩陣，這里取kii=k(i=1，2，3)，即3-UPU并聯(lián)機構(gòu)的所有支鏈的剛度值為k，因此，公式 (15)可化簡為如下公式:

其中k1，k2，k3依次分別為KC主對角線上的元素，雅可比矩陣J已經(jīng)求出，對并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)進行賦值，取x=30 mm，y=40 mm，z=100 mm，k=20 N/m，下面根據(jù)上述機構(gòu)參數(shù)的值應(yīng)用MATLAB軟件分析3-UPU并聯(lián)機構(gòu)的上下平臺邊長D和d對機構(gòu)整體剛度K值的影響，如圖4、5所示。

圖4 3-UPU并聯(lián)機構(gòu)整體剛度K隨D值變化曲線圖

圖5 3-UPU并聯(lián)機構(gòu)整體剛 度K隨d值變化曲線圖

MATLAB繪圖結(jié)果表明:對于3-UPU并聯(lián)機構(gòu)，當末端動平臺中心點O相對于靜平臺的位姿參數(shù)確定時 (這里取一組數(shù)據(jù)值x=30 mm，y=40 mm，z=100 mm，k=20 N/m)，3-UPU并聯(lián)機構(gòu)的整體剛度值為一個定值60 N/m，即針對3-UPU并聯(lián)機構(gòu)而言，其整體剛度值K并不受上下平臺機構(gòu)結(jié)構(gòu)尺寸D和d值的影響，通過改變D和d是無法增大其整體的剛度值的，提升其剛度值還需從其他方面著手。

3.2 機構(gòu)作為3-PUU并聯(lián)機構(gòu)時的剛度分析

同理，對3-PUU并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)進行賦值，取已知輸出參數(shù)x=30 mm，y=40 mm，z=300 mm，和機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)R，r，L，l，k=20 N/m，下面根據(jù)上述機構(gòu)參數(shù)的值，應(yīng)用MATLAB軟件研究3-PUU并聯(lián)機構(gòu)的上下三角形平臺外接圓半徑R和r對機構(gòu)整體剛度K值的影響。如圖6、7、8所示。

圖6 3-PUU并聯(lián)機構(gòu)整體剛度K隨R和r值的變化曲線圖

圖7 3-PUU并聯(lián)機構(gòu)整體剛度K隨r值變化曲線圖

圖8 3-PUU并聯(lián)機構(gòu)整體剛度K隨R值變化曲線圖

同理，根據(jù)圖6—8可以得出:對于3-PUU并聯(lián)機構(gòu)，當末端動平臺中心點O相對于靜平臺的位姿參數(shù)確定時 (這里取一組數(shù)據(jù)值k=20 N/m，L=240 mm，x=30 mm，y=40 mm，z=300 mm，l=80 mm)，3-UPU并聯(lián)機構(gòu)的整體剛度值分別隨著R和r的增大逐漸增大，且當R=r=110 mm時，K取得最大值2.161×104N/m，即對3-PUU并聯(lián)機構(gòu)而言，可以通過適當?shù)奶岣咂渖舷缕脚_半徑值，來達到增加整體剛度的目標。

4 結(jié)論

(1)可實現(xiàn)3-PUU機構(gòu)和3-UPU機構(gòu)的組合并聯(lián)機構(gòu)在兩種機構(gòu)構(gòu)型下均能實現(xiàn)3個移動自由度，其整體剛度值與末端位姿參數(shù)相關(guān)。

(2)當該組合并聯(lián)機構(gòu)處于3-UPU機構(gòu)構(gòu)型時，機構(gòu)的整體剛度值不隨其上下平臺的邊長的變化而變化，提升其剛度值還需從其他方面研究;當該組合并聯(lián)機構(gòu)處于3-PUU機構(gòu)構(gòu)型時，機構(gòu)的整體剛度值隨著上下平臺外接圓半徑R和r的增大而增大，即可以通過適當?shù)奶岣呱舷缕脚_外接圓半徑的尺寸來提高此時機構(gòu)的整體剛度。

(3)當機構(gòu)中滑塊9、10、11和直線驅(qū)動器16、17、18均處于未鎖死狀態(tài)時，即機構(gòu)處于3-PUPU并聯(lián)機構(gòu)時，其機構(gòu)的剛度仍有待于進一步研究。

［1］艾青林，黃偉鋒，張洪濤，等.并聯(lián)機器人剛度與靜力學研究現(xiàn)狀與進展.力學進展［J］.2012，42(5):583 －592.

［2］韓書葵，方躍法，槐創(chuàng)鋒.4自由度并聯(lián)機器人剛度分析［J］.機械工程學報，2006，42(增):31 －34.

［3］孟巧玲.并聯(lián)機構(gòu)剛度特性分析［D］.沈陽:東北大學，2008.

［4］樂林林，李開明.3-(2SPS)并聯(lián)機構(gòu)靜剛度分析［J］.現(xiàn)代設(shè)計與先進制造技術(shù)，2010，39(13):39－43.

［5］胡波，路懿.求解3-RPS并聯(lián)機構(gòu)剛度的新方法［J］.機械工程學報，2010，46(1):24 －29.

［6］槐創(chuàng)鋒，劉平安，程賢福.基于3UPU-3PUU型組合并聯(lián)機構(gòu)的主動振動抑制控制［J］.機床與液壓，2013，41(9):21－24.

Kinematics and Stiffness Analysis of a Combined Parallel Mechanism

HUAIChuangfeng，CHEN Hua，LIU Pingan，SHU Yingjiang
(School of Mechatronics，East China Jiaotong University，Nanchang Jiangxi330013，China)

By taking a new realized type of combined parallel3-UPU and 3-PUUmechanism as the research object，the degree of freedom and kinematics of the combined mechanismare analyzed in the case of two realize parallelmechanism respectively，to get the forward displacement and inverse displacement analysis in kinematicsofmechanism.According to the Jacobian matrixgotten，stiffness analysis of themechanism was carried out further.Moreover，the stiffnesswas calculated by using the software ofMATLAB，under the given position，to obtain influence graphs of the overall stiffness value through related structural parameters of the up and down platform.It provides the basis of theoretical analysis for the further research of the combined mechanism，and has a certain guiding role in designing it.

Combined parallelmechanism;Kinematics;Jacobian matrix;Stiffness analysis

TP242

A

1001－3881(2015)21－008－5

10.3969/j.issn.1001 －3881.2015.21.002

2014－9－19

國家自然科學基金資助項目 (51265011);江西省自然科學基金資助項目 (Gjj13347)

槐創(chuàng)鋒(1981—)，男，博士，副教授，主要研究方向為機械設(shè)計、機構(gòu)學、機器人技術(shù)。E－mail:hcf811225@163.com。