段笑菊，孫瑞勝，白宏陽，薛曉中

(1.南京理工大學瞬態(tài)物理國家重點實驗室，南京210094;2.南京理工大學能源與動力工程學院，南京210094)

錐形運動是導彈以固定攻角繞速度矢量旋轉，形成一個以速度矢量為中心的圓錐面的運動現(xiàn)象［1］。它能夠使導彈產(chǎn)生等幅的誘導攻角，增加彈體阻力，降低飛行速度。所以，錐形運動控制是實現(xiàn)導彈飛行速度控制的有效途徑［2-4］。但是，錐形運動也會產(chǎn)生如附加的馬格努斯效應、陀螺效應導致的通道間嚴重耦合等，嚴重時甚至造成彈體飛行失穩(wěn)。美國的奈特霍克探空火箭在試驗中就曾很多次出現(xiàn)了發(fā)散的錐形運動。

近年來，國內(nèi)外眾多學者紛紛展開錐形運動控制的策略和穩(wěn)定性研究，提出了多種建模和分析方法。1969年Peterson［5］首先分析了導致錐形運動的可能因素:發(fā)射不確定因素、起旋系統(tǒng)的不同軸性、能量耗散、初始擾動、馬格努斯力和力矩等。為進一步了解錐形運動產(chǎn)生的原因，1970年Tobak采用風洞試驗的方法證明了馬格努斯力和力矩是產(chǎn)生極限圓錐運動的主要原因之一。1972年Schiff［6］采用旋轉坐標系解穩(wěn)態(tài)歐拉方程，計算了圓錐體圓錐運動中的超音速非黏性的流場。在此基礎上，Nicolaides［7］通過理論推導和風洞實驗證明了旋轉誘導產(chǎn)生的面外力和面外力矩是產(chǎn)生錐形運動的直接原因。此后，很多學者又通過不同的方法針對錐形運動的機理開展了更加深入的研究。趙良玉［8］探討了圓錐運動穩(wěn)定性判別與彈道仿真一體化的分析方法，提出通過判斷速度最大點的圓錐運動穩(wěn)定性來評估整個飛行過程中的圓錐運動穩(wěn)定性態(tài)勢。李奉昌［9］采用奇點理論與振幅平面方程推導了非對稱赤道阻尼力矩作用下產(chǎn)生極限圓錐運動的條件;還有一些學者［10-12］直接利用剛體導彈運動方程結合李雅普諾夫方法及勞斯判據(jù)，對錐形運動及其運動發(fā)散的條件進行研究和數(shù)值仿真，但都沒有從陀螺效應的角度直接對錐形運動的生成機理和運動方式進行分析，因此有必要從導彈錐形運動控制的需求出發(fā)，研究基于錐形運動控制的穩(wěn)定性判定方法，為導彈速度控制的方案設計提供依據(jù)。

1 導彈速度控制的姿態(tài)穩(wěn)定性分析

錐形運動一般有全攻角和復攻角［13］兩種數(shù)學描述方法，在國內(nèi)外現(xiàn)有文獻中，采用復攻角方法研究導彈運動及穩(wěn)定性的成果較多，主要是通過將彈體運動分為長周期運動(質心運動)和短周期運動(姿態(tài)運動)［14］，分析彈體的姿態(tài)運動特性，并將彈體繞質心的姿態(tài)運動近似為攻角運動，這種錐形運動穩(wěn)定性的研究方法對低空彈道是行之有效的。

在錐形運動控制中，采用如圖1所示的控制結構，其中ωn為阻尼回路的穿越頻率，nyc，ny分別為飛行控制系統(tǒng)俯仰通道的過載指令和實際過載;Kω，Ka為控制參數(shù)，Gp(s)，Gg(s)，Ga(s)分別表示舵機環(huán)節(jié)、角速率陀螺、加速度計傳遞函數(shù)，均看作放大系數(shù)為1的比例環(huán)節(jié)。錐形運動彈體模型的詳細推導過程可參考文獻［15］。為分析控制系統(tǒng)對彈體穩(wěn)定性的影響，將制導控制環(huán)節(jié)作為彈體攻角方程的一部分，采用李雅普諾夫穩(wěn)定性判定方法分析彈體的穩(wěn)定特性。

圖1 導彈縱向通道控制結構Fig.1 Control structure of the missile longitudinal channel

1.1 控制回路對導彈的影響分析

通常導彈采用軸對稱氣動布局，因而縱向與側向通道的控制結構相同，錐形運動控制的控制律為

導彈的實際過載可表示為

導彈錐形運動控制的導引指令包括兩部分，分別為錐形運動指令和比例導引指令，如式(2)所示，其中錐形運動指令在縱向和側向平面分別采用正弦和余弦的過載指令。

式中，ω為交變角速度，nδ為指令攻角對應的過載指令。將式(2)帶入式(1)可得:

令Φ=θV+iφ，下標C表示復平面的控制信息，則δC=δzc+δyc·i，nC=nyc+nzc·i，ωC=ωz+ωy·i。將式(3)合并可得復平面的控制律:

由導彈復平面的姿態(tài)關系，文獻［15］通過詳細的推導得到如下關系:

忽略馬氏力a13等小量，可得

將式(7)代入式(4)，化簡可得

將式(8)帶入式(6)，消去δC，可得關于復攻角的二階非齊次微分方程

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性是指彈體受到干擾后，長周期和短周期運動幅值均具有收斂趨勢，從數(shù)學意義講，就是要求齊次運動方程特征根具有負實部。對于上式所示的非齊次運動方程，其穩(wěn)定性可以通過齊次微分方程的特征根判定。

為方便推導，定義

定義x=［Φσ˙σ］T，可得狀態(tài)方程:

式(10)的特征多項式為

根據(jù)數(shù)值分析理論［16］，式(12)的所有特征根均在復平面負半軸的充分必要條件為

忽略與b22的乘積項，整理可得:

第二種形式可表示為

由于p1p2-p3〉0，因此彈體穩(wěn)定性條件為

進一步整理可得

穩(wěn)定性條件式(15)具有明顯的物理意義:即要求做錐形運動時保持彈體復攻角σ所需的控制力矩必須大于復攻角σ產(chǎn)生的氣動力不穩(wěn)定力矩，才能保證導彈受到干擾后依然能夠回到初始運動狀態(tài)。在實際情況中，導彈控制系統(tǒng)不僅要求滿足穩(wěn)定性條件，還必須:①具有一定的穩(wěn)定裕度，以提高系統(tǒng)抗干擾能力;②補償系統(tǒng)元件慣性和彈性特性;③具有較好的動態(tài)響應特性，即較快的收斂特性和較小的過渡時間和超調(diào)量等。

1.2 阻尼回路對導彈的影響分析

根據(jù)式(15)推導得到的錐形運動控制穩(wěn)定性必要條件，采用基于增益調(diào)度的自適應控制方法［17］設計飛行控制系統(tǒng)控制回路的控制參數(shù)Kα。令Kα保持不變，對比不同阻尼回路控制參數(shù)對彈體穩(wěn)定性的影響。以表1所示的特征點為例研究控制系統(tǒng)性能，根據(jù)式(15)所示的穩(wěn)定性判定方法，若基于錐形運動控制的導彈能夠保持穩(wěn)定，阻尼回路參數(shù)Kω必須大于0.12。

表1 導彈某特征點的動力學系數(shù)Tab.1 Dynamic coefficients of a feature point

分別選取Kω=0.2和Kω=0.1，繪制特征點控制系統(tǒng)的頻域響應曲線，結果如圖2、圖3所示。

以某一段彈道為例進行錐形運動控制仿真，過載指令僅包含保持錐形運動的控制指令，復攻角的變化曲線如圖4、圖5所示。

由仿真結果可見，當控制參數(shù)Kω滿足式(7)的邊界條件時，導彈錐形運動能夠保持彈體穩(wěn)定。反之，若控制參數(shù)Kω不滿足條件，則復攻角呈發(fā)散趨勢，彈體出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象。

圖2 Kω=0.2時的頻域響應曲線Fig.2 Frequency response curve when Kω=0.2

圖3 Kω=0.1時的頻域響應曲線Fig.3 Frequency response curve when Kω=0.1

圖4 Kω=0.2時的復攻角變化曲線Fig.4 Curve of the complex attack angle when Kω=0.2

2 基于錐形運動控制的彈道仿真

以導彈末制導為例研究錐形運動控制對彈體穩(wěn)定性的影響。假設末制導時的初速為450m/s，初始位置(0，10km，0)，初始彈道傾角-20°，彈道偏角0°，目標位置(14km，10km，0)。根據(jù)式(15)所示的控制系統(tǒng)穩(wěn)定性判定方法，繪制控制器參數(shù)Kα，Kω的關系曲線，建立控制系統(tǒng)的邊界條件，如圖6所示。當控制器參數(shù)位于圖中空白區(qū)域內(nèi)時，導彈的復攻角將保持收斂趨勢，反之將發(fā)生發(fā)散現(xiàn)象。

圖5 Kω=0.1時的復攻角變化曲線Fig.5 Curve of the complex attack angle when Kω=0.1

圖6 控制系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)間Fig.6 Stable range of the control system

如圖7所示，導彈攻角始終繞速度矢量旋轉，形成了一個以速度矢量為中心的圓錐面，導彈保持錐形運動飛行。

如圖9所示，相比于單純的比例導引，導彈飛行速度大幅降低。仿真結果表明，所設計的控制器能夠克服干擾，使姿態(tài)角偏差限制在容許范圍內(nèi)，并根據(jù)導引指令改變彈體姿態(tài)，滿足控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的邊界條件。

作為對比，降低控制器帶寬，設計不滿足穩(wěn)定性的邊界條件的控制器，取Kω=0.5，Kα=0.3，仿真結果如圖10至圖12所示。

圖7 復攻角的變化曲線Fig.7 Curve of the change of the complex attack angle

圖8 彈道傾角與時間的關系Fig.8 Relation between missile flying-path angle and time

圖9 速度與時間的關系Fig.9 Relation between missile velocity and time

阻尼回路的作用是提高系統(tǒng)阻尼，增強彈體的飛行穩(wěn)定性，使彈體在受到干擾后依然能夠恢復到原來的穩(wěn)定狀態(tài)，因此必須設計合理的控制參數(shù)。當控制回路的控制參數(shù)Kα位于不穩(wěn)定區(qū)間時，由圖11、圖12仿真結果可見，起始10s內(nèi)，導彈僅采用比例導引，尚未加入錐形運動導引指令時，俯仰、偏航通道的過載跟蹤曲線逐漸偏離，特別是錐形運動開始后，導彈雖然能夠保持相對穩(wěn)定，但與設計結果相差甚遠，出現(xiàn)明顯的控制偏差，導彈在做第八個圓錐運動時，偏航過載指令曲線發(fā)散，說明所設計的控制器不能實現(xiàn)導彈錐形運動控制。將圖10和圖7的復攻角結果仿真對比可以看出，控制參數(shù)分別位于穩(wěn)定與不穩(wěn)定區(qū)域的控制器具有完全不同的控制性能，驗證了該導彈穩(wěn)定性判定方法的可行性。

圖10 復攻角的變化曲線Fig.10 Curve of the change of the complex attack angle

圖11 俯仰通道的過載曲線Fig.11 Curve of overload in pitch channel

圖12 偏航通道的過載曲線Fig.12 Curve of overload in yaw channel

3 結論

本文從錐形運動控制降低導彈飛行速度的需求出發(fā)，開展了導彈錐形運動控制的穩(wěn)定性判定方法研究，建立了導彈錐形運動的控制模型，揭示了控制系統(tǒng)阻尼回路和控制回路對提高導彈錐形運動穩(wěn)定性的影響規(guī)律，提出了一種判定導彈控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。該方法結構簡單、思路清晰，能夠適應工程實踐的應用要求，可以用來判定導彈錐形運動控制時的控制器穩(wěn)定性，為導彈錐形運動的制導控制系統(tǒng)設計提供了理論基礎。

References)

［1］姜玉憲，崔靜.導彈擺動式突防策略的有效性［J］.北京航空航天大學學報，2002，28(2):133-136.JIANG Yuxian，CUI jing.Effectiveness of weaving maneuver strategy of a missile［J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2002，28(2):133-136.(in Chinese)

［2］閆曉勇，楊樹興，張成.基于章動運動理論的火箭彈錐形運動穩(wěn)定性分析［J］.兵工學報，2009，30(10):1291-1296.YAN Xiaoyong，YANG Shuxing，ZHANG Cheng.Analysis of stability for coning motion of rockets based on theory of nutation movement［J］.Acta Armamentarii，2009，30(10):1291-1296.(in Chinese)

［3］Mao X R，Yang S X，Xu Y.Coning motion stability of wrap around fin rockets［J］.Science in China Series E:Technological Sciences，2007，50(3):343-350.

［4］徐浩軍，朱建太，曾凡.飛機縱向擺動及飛行安全評估［J］.航空學報，2003，24(3):255-258.XU Haojun，ZHU Jiantai，ZENG Fan.Longitudinal oscillation and flying security evaluation［J］.Chinese Journal of Aeronautics，2003，24(3):255-258.(in Chinese)

［5］Peterson V L，Schiff L B，Tobak M.Aerodynamics of bodies of revolution in coning motion［J］.AIAA Journal，1969，7(1):95-99.

［6］Schiff L B.Nonlinear aerodynamics of bodies in coning motion［J］.AIAA Journal，1972，10(11):1517-1522.

［7］Nicolaides J D，Ingram C W，Clare T A.Investigation of the non-linear flight dynamics of ordnance weapons［J］.Journal of Spacecraft and Rockets，1970，7(10):1241-1243.

［8］趙良玉，楊樹興，焦清介.提高卷弧翼火箭彈圓錐運動漸近穩(wěn)定性的幾個方法［J］.固體火箭技術，2010，33(4):369-372.ZHAO Liangyu，YANG Shuxing，JIAO Qingjie.Several methods for improving asymptotic stability of coning motion of wrap-around-fin rockets［J］.Journal of Solid Rocket Technology，2010，33(4):369-372.(in Chinese)

［9］李臣明，劉怡昕.非對稱赤道阻尼力矩對遠程火箭彈道的影響［J］.彈道學報，2009，21(2):36-39.LI Chengming，LIU Yixin.Influence of unsymmetrical equatorial damp moment on long-range rockets trajectory［J］.Journal of Ballistics，2009，21(2):36-39.(in Chinese)

［10］Livshits D S，Yaniv S，Karpel M.Dynamic stability and free flight rockets［J］.AIAA-1996-1344-CP.

［11］Liano R.Analysis of control and guidance of rolling missiles with a single plane of control fins［J］.AIAA-2000-3971.

［12］Mao X R，Yang S X，Xu Y.Research on the coning motion of wrap around fin projectiles［J］.Canadian Aeronautics and Space Journals，2006，52(3):119-125.

［13］韓子鵬.彈箭外彈道學［M］.北京:北京理工大學出版社，2008:127-201.HAN Zipeng.Arrow external ballistics［M］.Beijing:Beijing Institute of Technology Press，2008:127-201.(in Chinese)

［14］閆曉勇.旋轉彈動態(tài)穩(wěn)定性與控制研究［D］.北京:北京理工大學，2010.YAN Xiaoyong.Rotating cylinder dynamic stability and control research［D］.Beijing:Beijing Institute of Technology，2010.(in Chinese)

［15］Li K Y，Yang S X，Zhao L Y.Stability of spinning missiles with an acceleration autopilot［J］.Journal of Guidance Control and Dynamics，2012，35(3):774-786.

［16］Frank E.On the zeros of polynomials with complex coefficients［J］.Bulletin of the American Mathematical Society，1946，52:144-157

［17］劉鵬云，孫瑞勝，李偉明，等.基于錐形運動的制導火箭速度控制導引律設計［J］.航空學報，2014，35(4):933-941.LIU Pengyun，SUN Ruisheng，LI Weiming，et al.A coning motion-based guidance law for guided rocket with velocity control［J］.Chinese Journal of Aeronautics，2014，35(4):933-941.(in Chinese)