劉小匯，李崢嶸，歐 鋼

(國防科技大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長沙410073)

衛(wèi)星導(dǎo)航接收機(jī)在跟蹤階段對擴(kuò)頻碼的跟蹤，將影響測距和定位精度以及電文解調(diào)的誤碼率，通常使用延遲鎖定環(huán)(Delay-Locked Loop，DLL)完成偽碼跟蹤［1］。延遲鎖定環(huán)由環(huán)路鑒相器和環(huán)路濾波器、數(shù)控振蕩器(Numerically Controlled Oscillator，NCO)組成［2］。其中環(huán)路鑒相器利用預(yù)檢測積分器輸出的相關(guān)結(jié)果，計(jì)算輸入相關(guān)信號中的碼延遲相位，進(jìn)而估計(jì)得到本地碼相位與接收碼相位的偏差，誤差用以調(diào)整本地碼生成器，完成對接收偽碼的精確跟蹤。環(huán)路鑒相器是DLL的重要組成部分，它直接決定了碼環(huán)的跟蹤精度，根據(jù)鑒相器是否需要載波信息，將延遲鎖定環(huán)分為相干延遲鎖定環(huán)和非相干延遲鎖定環(huán)［3］。

一般的非相干延遲鎖定環(huán)鑒相器有點(diǎn)積(Dot Product，DP)鑒相器、早遲功率(Early Minus Late Power，EMLP)鑒相器、早遲幅度(Early Minus Late Amplitude，EMLA)鑒相器和歸一化的早遲幅度(unified EMLA)［3］鑒相器。其中歸一化的早遲幅度鑒相器，去除了DLL環(huán)路對信號幅度的敏感性，能有效改善在脈沖干擾等情況下的接收性能［3］。

由于鑒相器對延遲鎖定環(huán)的性能具有重要影響，因此如何提高其輸出的碼延遲精度，是許多學(xué)者研究的內(nèi)容［4-6］。然而除了算法本身性能外，在使用數(shù)字信號處理器實(shí)現(xiàn)由無限精度向有限精度轉(zhuǎn)換時(shí)，引入的精度損失是否可以忽略?鑒相器的有限字長問題包括系統(tǒng)輸出有限字長、運(yùn)算過程的有限字長、輸入數(shù)據(jù)有限字長等。前兩種情況，系統(tǒng)輸出字長影響相對單一，易于分析;運(yùn)算過程有限字長問題，由于與具體的運(yùn)算方法緊密相關(guān)，多數(shù)的文獻(xiàn)均假設(shè)有足夠的長度表示數(shù)據(jù)高位和低位，使得計(jì)算過程沒有溢出，由舍入操作產(chǎn)生的局部量化誤差功率遠(yuǎn)小于輸入數(shù)據(jù)的量化噪聲功率［7］。對于輸入數(shù)據(jù)的有限字長問題，Widrow建立了目前通用的字長分析噪聲模型［8］:系統(tǒng)輸入的有限字長信號可以看成全精度信號與隨機(jī)噪聲的疊加，字長誤差(或噪聲)是與信號本身完全不相關(guān)的白噪聲，字長誤差在線性系統(tǒng)中具有線性疊加特性。這種假設(shè)使得線性系統(tǒng)有限字長的問題易于分解為信號與噪聲的疊加，已使其得到了很好的解決。而對于如鑒相器般的非線性系統(tǒng)，由于字長誤差在非線性系統(tǒng)中不再具有疊加特性，且誤差有可能反饋至輸入端，使得線性系統(tǒng)的分析方法將不再適用。對于延遲鎖定環(huán)路中鑒相器的有限字長效應(yīng)的研究，文獻(xiàn)［9］分析了鑒相器輸出的有限字長與偽距精度損失的關(guān)系，由于假設(shè)輸出量化噪聲與鑒相器的熱噪聲不相關(guān)，因此總的噪聲為熱噪聲與量化噪聲的疊加，使得分析難度大大降低。然而對于輸入信號有限字長，其量化噪聲在非線性計(jì)算的鑒相器中不能簡單疊加得到輸出噪聲，因此分析難度大，目前還未有文獻(xiàn)對此進(jìn)行報(bào)道。

本文將以常用的歸一化早遲幅度鑒相器為例，分析延遲鎖定環(huán)鑒相器的輸入信號有限字長對輸出性能的影響，其余類型鑒相器的分析方法類似。

1 誤差建模與統(tǒng)計(jì)特性分析

1.1 字長誤差模型

圖1為鑒相器的字長誤差模型，由于硬件實(shí)現(xiàn)的局限性，常對輸入鑒相器的相關(guān)累加和信號與輸出鑒相器的相位值進(jìn)行舍入，鑒相器噪聲由鑒相輸出的噪聲nPD和量化噪聲組成。量化噪聲可以分為輸入信號的量化噪聲ne1和輸出相位的量化噪聲ne2。對于輸出相位的量化噪聲，可認(rèn)為量化誤差是平穩(wěn)隨機(jī)序列并且與輸出相位不相關(guān)，因此對總噪聲的影響可以采取直接累加的方法;對于輸入信號的舍入量化噪聲ne1，因?yàn)殍b相操作是一個(gè)非線性的過程，對鑒相器噪聲的影響不能簡單地累加。假設(shè)輸入信號的字長為b1，則鑒相器輸出方差是b1的非線性函數(shù)，同理假設(shè)輸出相位的字長為b2，則鑒相器在舍入量化效應(yīng)下總的輸出噪聲為:

圖1 鑒相器的字長誤差模型Fig.1 Error model of word-length effect for code discriminator

1.2 輸入信號的有限字長效應(yīng)分析

為了計(jì)算輸入信號在b1位字長下鑒相器輸出噪聲，首先分析輸入信號量化后的統(tǒng)計(jì)特性。不考慮偽碼相位跟蹤誤差，在中頻信號經(jīng)過解調(diào)、積分清零器后的相關(guān)累加值I、Q信號可以分別寫成［11］:

式中:A為信號幅度;dk為調(diào)制的導(dǎo)航電文;θk為殘留的載波相位誤差;ni，k和nq，k為噪聲且相互獨(dú)立，方差均為σ2。相關(guān)累加值Ik、Qk的聯(lián)合概率密度函數(shù)為［12］:

對I、Q信號進(jìn)行b1 bit舍入量化，等效于引入了一個(gè)均勻等概率分布的白噪聲，分別記為eI和eQ。則輸入信號舍入量化后的表達(dá)式為:

可知量化噪聲eI和eQ的概率密度、均值和方差分別為有效位遠(yuǎn)大于舍入位數(shù)時(shí))，量化間隔為q=2-b1。

由I、Q的聯(lián)合概率密度表達(dá)式(4)可知I、Q的概率密度分別為:

同理:

顯然I、Q為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。假設(shè)舍入誤差eI與信號Ik不相關(guān)，其聯(lián)合概率密度為:

同理，eQ與Qk的聯(lián)合概率密度為:

同理可以求出的概率密度:

1.3 鑒相器的統(tǒng)計(jì)特性

歸一化早遲幅度鑒相器的表達(dá)式為:

式中，Δτ為輸出的碼片誤差E，L分別為超前、滯后相關(guān)器輸出的包絡(luò)值，超前、滯后間隔的碼片數(shù)d一般取值0.5個(gè)碼片。由上一節(jié)已知相關(guān)輸出信號I、Q為正(余)弦信號加上高斯白噪聲，則I、Q的包絡(luò)值E、L服從萊斯分布(Rice distribution)，于是超前、滯后包絡(luò)E、L的概率密度為:

其中:I0(·)為0階第一類貝賽爾函數(shù)，且x〉0;α2/2σ2為輸入信號的信噪比，σ2為輸入噪聲的方差。由E、L的概率密度，可以計(jì)算出隨機(jī)變量Z=L/E的概率密度為:

于是全精度下的鑒別器輸出的均值和方差分別為:

對輸入鑒相器的信號I、Q進(jìn)行有限字長的量化后，設(shè)分別為量化后早、遲碼的包絡(luò)，由上一節(jié)可知超前支路輸入信號IE量化后的概率密度函數(shù)為:

式中，q為量化間隔，μI為信號均值，σ為噪聲方差。同理QE量化后的概率密度函數(shù)為:

于是量化后的早碼包絡(luò)的概率密度為:

在離散的點(diǎn)…，±(M-1))上取值。量化后遲碼的包絡(luò)可以同理求得:

其中k=i/j為非整數(shù)，有種組合的取值k(1)，k(2)，…，k(w)，于是量化后鑒相器輸出的碼相位的均值和方差為:

式(23)和式(24)顯示了輸入信號有限字長對鑒相器輸出均值和方差的影響。

2 鑒相器性能分析

2.1 字長效應(yīng)對鑒相器方差的影響

圖2為相關(guān)輸出信號信噪比為8～18dB時(shí)，在不同量化條件下，鑒相器輸出的方差理論計(jì)算與仿真結(jié)果的對比。由圖可知，理論分析與仿真結(jié)果基本吻合，輸入鑒相器的信號進(jìn)行4bit及以上的量化時(shí)，其輸出碼相位方差與全精度相比差別不大。

2.2 字長效應(yīng)對環(huán)路性能分析及仿真驗(yàn)證

鑒相器對延遲鎖定環(huán)環(huán)路偽碼相位精度的影響為［13］:

式中，Bn為環(huán)路的等效噪聲帶寬，kτ為鑒相器的增益，Tco為鑒相器的相干積分時(shí)間。由于文獻(xiàn)［9］已經(jīng)分析了鑒相器輸出字長對偽碼精度損失的影響，本文將忽略這一影響，將輸出量化噪聲設(shè)置為0。因此可以定義偽碼相位精度損失為輸入有限字長的環(huán)路跟蹤誤差與全精度下的跟蹤誤差之比［14］:

圖2 不同量化條件下的方差Fig.2 Discriminator's variance caused by different quantization

圖3 不同量化下的偽距精度損失Fig.3 Pseudo-range accuracy loss caused by different quantization

圖3為輸入信號在3，4，5，6bit量化下，相干積分時(shí)間為1ms，環(huán)路帶寬為2Hz，鑒相增益為1，采用GPS的C/A碼時(shí)，理論計(jì)算與仿真實(shí)驗(yàn)的偽碼精度損失情況對比。從圖中可以看出，在低信噪比下，不同量化造成的精度損失差別不明顯，因?yàn)檫@時(shí)是信號中的白噪聲占主導(dǎo)。然而隨著信噪比的增加，量化噪聲將超過信號中的白噪聲，由量化導(dǎo)致的精度損失將有明顯區(qū)別。另外，隨著輸入信號信噪比的增大，精度損失將增大，但對于4bit及以上量化，隨著信噪比的增加，其損失增加并不明顯，如信噪比18dB時(shí)，5bit量化帶來的精度損失為1.05(0.2dB)，忽略動態(tài)應(yīng)力等其他測量誤差，與全精度下的偽距測量值相差0.029 3m;6bit量化帶來的精度損失為1.005(0.02dB)，與全精度測量下的偽距測量值相差0.011m，輸入信號有限字長帶來的偽碼精度損失將可以忽略。

3 結(jié)論

通過對鑒相器字長誤差的建模，分析了輸入信號有限字長下的鑒相器輸出誤差以及字長對環(huán)路偽碼跟蹤精度的影響。理論推導(dǎo)與仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:對于歸一化早遲幅度鑒相器，輸入信號有限字長越大對輸出誤差影響越小;輸入信號字長對環(huán)路偽碼跟蹤精度亦有影響，在輸入信號高信噪比下尤為明顯，隨著輸入信號信噪比的增加，偽碼精度損失將增加;而當(dāng)輸入信號采用4bit及以上量化時(shí)，即使信噪比增大，由量化帶來的偽碼跟蹤精度損失也可忽略。以上結(jié)論能為基于軟件無線電的定點(diǎn)數(shù)字信號處理接收機(jī)的設(shè)計(jì)提供參考。

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