康厚軍，易壯鵬，曾有藝

(1.湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙 410082；2.長(zhǎng)沙理工大學(xué) 土木與建筑學(xué)院, 湖南 長(zhǎng)沙 410114)

非理想邊界拱的面內(nèi)失穩(wěn)模式與屈曲荷載*

康厚軍1，易壯鵬2?，曾有藝2

(1.湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙 410082；2.長(zhǎng)沙理工大學(xué) 土木與建筑學(xué)院, 湖南 長(zhǎng)沙 410114)

將拱結(jié)構(gòu)中既非固結(jié)也非鉸支的非理想邊界考慮為沿不同方向的具有一定剛度的彈性約束，利用變形幾何關(guān)系和能量變分原理推導(dǎo)了拱的非線性平衡方程.以圓弧拱為例建立了徑向均布荷載下外荷載與結(jié)構(gòu)內(nèi)力、徑向位移之間的關(guān)系，通過(guò)定義拱的深淺參數(shù)和臨界約束剛度進(jìn)行分析并得到了跳躍屈曲、分岔屈曲等的發(fā)生條件及存在區(qū)間.本文方法所得屈曲路徑和屈曲荷載與有限元法所得結(jié)論吻合良好，且用數(shù)值法分析了不同約束剛度時(shí)的屈曲路徑和臨界荷載.結(jié)果表明,臨界深淺參數(shù)和臨界約束剛度對(duì)圓弧拱的屈曲模式及屈曲臨界荷載影響顯著.

屈曲；圓弧拱；非理想邊界；分岔屈曲；變分原理

拱結(jié)構(gòu)[1]在土木、機(jī)械和航天航空等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛.拱作為一種基本結(jié)構(gòu)構(gòu)件具有優(yōu)良的受力特性，其力學(xué)特性受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者[2-3]廣泛關(guān)注.如周期激勵(lì)下內(nèi)共振[4-6]時(shí)的分岔和混沌特性，沖擊荷載作用下彈性淺拱的跳躍屈曲[7]等.靜力方面，近年來(lái),Pi等[8-10]采用解析法與有限元法對(duì)各種荷載與邊界條件下拱結(jié)構(gòu)的非線性屈曲特性進(jìn)行了深入系統(tǒng)的研究．衛(wèi)星等[11]探討了多種參數(shù)對(duì)拱結(jié)構(gòu)考慮2階效應(yīng)時(shí)彈性屈曲特性的影響．程鵬和童根樹(shù)[12]綜述了徑向均布荷載下圓弧拱的面內(nèi)屈曲特性．郭彥林等[13]提出了壓彎圓弧拱平面內(nèi)穩(wěn)定承載力的設(shè)計(jì)建議公式.

這些文獻(xiàn)側(cè)重于研究邊界為理想固結(jié)或鉸支時(shí)拱的力學(xué)性能.結(jié)構(gòu)的復(fù)雜分析在很多情況下需考慮復(fù)雜邊界，如：大跨系桿拱橋中系桿將兩端連起來(lái)，系桿與豎向彈性支座、地基的作用可抽象為軸向、徑向彈性約束；機(jī)械拱臂或曲臂與相鄰結(jié)構(gòu)彈性連接，共同受力，可將其考慮為彈性約束；彈性地基上的拱型結(jié)構(gòu)在外荷載作用下邊界考慮為彈性更加合理.本文以圓弧拱為例，將非理想邊界考慮為徑向、軸向彈性約束，通過(guò)能量變分原理[14]建立非線性平衡方程，得到外荷載與結(jié)構(gòu)內(nèi)力、位移的關(guān)系，并分析屈曲模式與結(jié)構(gòu)重要參數(shù)的關(guān)系.

1 基本方程與穩(wěn)定分析

1.1 變形幾何關(guān)系

圖1(a)所示圓弧坐標(biāo)下的圓弧拱，徑向均布荷載q增至一定程度時(shí)會(huì)發(fā)生分岔屈曲(圖1(b))或跳躍屈曲(圖1(c))，2Θ為展開(kāi)角，R為半徑，θ為角坐標(biāo)，kvi,kwi(i=±Θ)分別為兩端徑向、軸向彈性約束剛度.屈曲前變形呈現(xiàn)非線性，求解屈曲荷載及變形時(shí)需考慮屈曲前非線性的影響.圖1(a)中拱上任意一點(diǎn)P總的軸向應(yīng)變?chǔ)臥=εm+εb，其中薄膜應(yīng)變?chǔ)舖和彎曲應(yīng)變?chǔ)舃分別為：

(1)

1.2 非線性平衡方程

圓弧拱在q作用下無(wú)量綱的總能量為：

(2)

軸向平衡方程：

(3)

圖1 彈性約束非理想邊界圓弧拱結(jié)構(gòu)示意圖

徑向平衡方程：

(4)

軸向邊界條件：

(5)

徑向邊界條件：

(6)

(7)

(8)

將式(8)代入式(4)并利用式(3)可得徑向平衡微分方程為：

(9)

利用邊界條件，由式(6)和式(7)可得徑向位移表達(dá)式為:

(10)

(11)

其中:

(12)

(13)

(14)

式中:αw±Θ=EA/(2kw±ΘRΘ)是單位長(zhǎng)度軸向剛度EA/2RΘ與θ=±Θ處約束剛度kw±Θ的比值，可度量軸向約束的柔度;λ=RΘ2/rx是定義深淺程度的重要參數(shù).式(11)建立了q和μ的函數(shù)關(guān)系.

1.3 跳躍屈曲分析

發(fā)生跳躍屈曲時(shí)，臨界值位于極值點(diǎn)，所以在式(11)中發(fā)生屈曲的位置有dq/dμ=0，利用式(11)中q與μ的隱函數(shù)關(guān)系F(q,μ)=0可得:

(15)

A2(β)=2A1(β)+D2(β),

B2(β)=4A1(β),

C2(β)=B1(β)-C1(β),

(16)

(17)

1.4 分岔屈曲分析

(18)

sinβcosβ[1-β2αv+Θ(1+c)]=0.

(19)

式(19)中三項(xiàng)分別對(duì)應(yīng)彈性約束圓弧拱的屈曲模式和導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的臨界徑向約束剛度.

(20)

(21)

當(dāng)λ<λsb1時(shí)不發(fā)生不對(duì)稱分岔屈曲；當(dāng)λ>λsb1，β=π時(shí)不對(duì)稱分岔屈曲對(duì)應(yīng)的位移大于跳躍屈曲對(duì)應(yīng)的位移，結(jié)構(gòu)先發(fā)生跳躍屈曲再發(fā)生不對(duì)稱分岔屈曲，二者可通過(guò)另一個(gè)臨界深淺參數(shù)λsb2界定，它可令β=π時(shí)式(11), 式(15)的解相同得到.

(22)

λsn=π3(1+αw+Θ+αw-Θ)/8.

(23)

可知，λ=λsn結(jié)構(gòu)發(fā)生對(duì)稱屈曲，αv±Θ不影響λsn值；λ<λsn時(shí)結(jié)構(gòu)沒(méi)有屈曲；λ>λsn時(shí)拱發(fā)生跳躍屈曲，臨界荷載可通過(guò)式(11), 式(15)求得.

3)當(dāng)1-β2αv+Θ(1+c)=0時(shí)，基本解為：

屈曲時(shí)軸力為：

(24)

(25)

當(dāng)λ<λss時(shí)，結(jié)構(gòu)沒(méi)有屈曲，當(dāng)λ>λss時(shí)，發(fā)生跳躍屈曲.式(25)的一種極端情況是c=1，即兩端徑向剛度相等，可知此時(shí)結(jié)構(gòu)沒(méi)有屈曲.

1.5 屈曲特性與λ的關(guān)系

表1 拱的屈曲特性與邊界剛度及深淺參數(shù)的關(guān)系表

2 數(shù)值分析

本節(jié)對(duì)上一節(jié)理論解進(jìn)行數(shù)值討論，并與有限元結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，研究深淺參數(shù)λ及約束剛度對(duì)屈曲模式、屈曲路徑及臨界荷載的影響.

2.1 與有限元的對(duì)比驗(yàn)證

圖2給出了本文方法和有限元法的對(duì)比結(jié)果，彈性約束圓弧拱中αv±Θ,αw±Θ已知，有限元分析時(shí)E=200GPa,A=5.5×103mm2,I=6.6×107mm4，圖2縱、橫坐標(biāo)分別為無(wú)量綱化的外荷載、跨中位移，f為矢高，左、右臨界屈曲荷載點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)加、卸載.由圖2可知兩種方法求解的彈性約束拱屈曲路徑吻合很好，屈曲荷載相差很小，說(shuō)明本文方法可行.由圖2還可知，在外荷載增大時(shí)，分岔屈曲臨界荷載小于跳躍屈曲臨界荷載，結(jié)構(gòu)發(fā)生分岔屈曲，這與上一節(jié)理論分析結(jié)果一致.

vc/f

圖3針對(duì)不同深淺參數(shù)λ時(shí)的屈曲荷載進(jìn)行了討論，在λ的區(qū)間上有λsb1和λsb2兩個(gè)臨界參數(shù)，本文方法和有限元法的對(duì)比顯示，當(dāng)λ<λsb2時(shí)，有限元結(jié)果與跳躍屈曲的臨界荷載吻合很好，而當(dāng)λ>λsb2時(shí)有限元結(jié)果除了在λ值較大的位置外均與分岔屈曲的結(jié)果吻合很好，這說(shuō)明λsb2在一定程度上是區(qū)別深拱和淺拱的參數(shù)，也更進(jìn)一步證明了前述理論結(jié)果.

λ

2.2 λ對(duì)屈曲特性的影響

圖4和圖5分別給出了臨界深淺參數(shù)與徑向、軸向約束剛度的對(duì)應(yīng)關(guān)系.圖4顯示λsb1和λsb2均隨著αv+Θ和αv-Θ的增加而增加，且變化曲線均從同一位置出發(fā)，此時(shí)αv±Θ=0.圖5中對(duì)于任意的αw+Θ+αw-Θ，從小至大依次為λsn，λsb1和λsb2，當(dāng)λ位于3條曲線所分成的4個(gè)區(qū)域時(shí)，結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)不同的屈曲模式和屈曲荷載，與表1對(duì)應(yīng).

αv+Θ

αw+Θ+αw-Θ

圖6給出了不同λ的屈曲路徑及內(nèi)力分布圖，圖6(a),(b)縱坐標(biāo)均為無(wú)量綱化的外荷載，橫坐標(biāo)分別為無(wú)量綱化的跨中徑向位移和軸力參數(shù)β.由圖6可知，當(dāng)λ=λsn時(shí)，結(jié)構(gòu)發(fā)生對(duì)稱分岔屈曲，荷載位移曲線未呈現(xiàn)跳躍特性，發(fā)生屈曲時(shí)對(duì)應(yīng)軸力為β=π/2(圖6(b)中點(diǎn)線)；當(dāng)λ=3<λsn時(shí)，結(jié)構(gòu)不發(fā)生屈曲(如圖6(a)所示)，這與前述理論結(jié)果一致，另外對(duì)應(yīng)軸力β<π/2(圖6(b))；當(dāng)λ=5或6(>λsn)時(shí)，荷載位移曲線出現(xiàn)跳躍特性，外荷載增至一定程度時(shí)發(fā)生跳躍屈曲，另外軸力參數(shù)出現(xiàn)β>π/2的情況，位移曲線和內(nèi)力曲線的極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)臨界荷載.

2.3 約束剛度對(duì)屈曲特性的影響

圖7給出了αv±Θ(徑向彈性約束)的影響，且兩端剛度值相等(c=1)，為便于比較αv±Θ=0(兩端鉸支，可視為彈性約束的極端情況)時(shí)的屈曲特性也一并放入.如圖7(a)所示，隨著αv+Θ的增大結(jié)構(gòu)臨界屈曲荷載變小，即結(jié)構(gòu)越柔其承載能力越低；另外αv+Θ不同時(shí)結(jié)構(gòu)內(nèi)力也不相同(如圖7(b)所示)，αv+Θ越大內(nèi)力越小，αv±Θ=0(兩端鉸支)的屈曲內(nèi)力最大.

vc/f

β

vc/f

β

圖8給出了當(dāng)c=0時(shí)αv±Θ的影響，此時(shí)拱結(jié)構(gòu)一端彈性約束另一端固結(jié)，為便于比較，αv±Θ=0時(shí)的屈曲特征也一并放入.如圖8(a)所示，αv+Θ增加即約束剛度減小時(shí)屈曲臨界荷載減小，αv+Θ=0時(shí)臨界荷載最大，即徑向彈性約束的存在降低結(jié)構(gòu)承載能力，且αv+Θ越大降低越多.另外，圖8(b)也給出了αv+Θ變化過(guò)程中的軸力分布，αv+Θ越大屈曲臨界荷載對(duì)應(yīng)軸力越小，而αv+Θ=0時(shí)屈曲對(duì)應(yīng)的軸力最大.

vc/f

β

圖9給出了不同αv±Θ時(shí)臨界屈曲荷載與深淺參數(shù)λ和展開(kāi)角2Θ的關(guān)系.從圖9(a)可知，λsb2是確定臨界屈曲荷載的一個(gè)重要參數(shù)，當(dāng)λ<λsb2時(shí)，發(fā)生跳躍屈曲，臨界荷載由式(10),(11)求解；當(dāng)λ>λsb2時(shí)，發(fā)生分岔屈曲，臨界荷載由式(10)令β=π求得，且λ較大時(shí)不同αv±Θ對(duì)應(yīng)的臨界屈曲荷載相差較小；αv±Θ對(duì)λsb2的大小影響顯著，總的說(shuō)來(lái)剛度越大λsb2越小.在圖9(b)臨界屈曲荷載與展開(kāi)角2Θ的關(guān)系圖中，λsb2將展開(kāi)角2Θ分為跳躍屈曲和分岔屈曲兩個(gè)區(qū)間，αv±Θ同樣對(duì)λsb2的大小影響顯著，實(shí)際上這與其定義λ=RΘ2/rx是一致的.此外，在圖9中均可發(fā)現(xiàn)臨界屈曲荷載隨約束剛度的增大(或柔度參數(shù)αv±Θ的減小)而增大.

λ

2Θ

圖10給出了不同αw±Θ時(shí)臨界屈曲荷載與λ和2Θ的關(guān)系圖.由圖10可知，λsb2是界定屈曲模式及臨界屈曲荷載的重要參數(shù)，當(dāng)λ<λsb2時(shí)，跳躍屈曲對(duì)應(yīng)的臨界荷載由式(10), (11)求解；當(dāng)λ>λsb2時(shí)，分岔屈曲對(duì)應(yīng)的臨界荷載在式(10)中令β=π求得，且λ和2Θ較大時(shí)不同αw±Θ對(duì)應(yīng)的屈曲荷載差異較小.與αv±Θ的影響不同，各種αw±Θ對(duì)應(yīng)的λsb2差異較小；與αw±Θ的影響相同的是屈曲荷載均隨約束剛度的增大(或柔度參數(shù)αw±Θ的減小)而增大.

λ

2Θ

3 結(jié) 論

本文將圓弧拱的非理想邊界考慮為沿徑向和軸向的彈性約束，利用能量變分原理建立了結(jié)構(gòu)的非線性方程，得到了外荷載與結(jié)構(gòu)內(nèi)力、徑向位移的關(guān)系，分析了各種約束條件下的屈曲路徑和臨界荷載，并與有限元結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證，主要結(jié)論如下：

1) 所得屈曲路徑與臨界荷載與有限元結(jié)果吻合良好，證明本文方法可行.

2) 臨界豎向約束參數(shù)和深淺參數(shù)λsn,λsb1和λsb2對(duì)結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)模式起決定性的作用，它們將圓弧拱按基本參數(shù)劃分為不同的失穩(wěn)區(qū)間.

3) 各種徑向、軸向約束剛度下，λ<λsb2時(shí)結(jié)構(gòu)發(fā)生跳躍屈曲，λ>λsb2時(shí)發(fā)生分岔屈曲，且徑向、軸向約束剛度增大時(shí)屈曲臨界荷載均增大.

[1] 項(xiàng)海帆, 劉光棟. 拱結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定與振動(dòng)[M]. 北京: 人民交通出版社, 1991：1-332.

XIANGHai-fang,LIUGuang-dong.Stabilityandvibrationofarch[M].Beijing:ChinaCommunicationsPress, 1991:1-332.(InChinese)

[2] 趙躍宇, 易壯鵬, 王連華. 初始應(yīng)力對(duì)鋼管混凝土拱橋面內(nèi)極限承載能力的影響[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2007, 34(3): 1-5.

ZHAOYue-yu,YIZhuang-peng,WANGLian-hua.Effectsofinitialstressonthein-planeultimatebearingcapacityofCFSTarchbridges[J].JournalofHunanUniversity:NaturalSciences, 2007, 34(3): 1-5. (InChinese)

[3]KIMNI,KIMMY.Exactdynamicstiffnessmatrixofnon-symmetricthin-walledcurvedbeamssubjectedtoinitialaxialforce[J].JournalofSoundandVibration, 2005, 284(3/5): 851-878.

[4]MALHOTRAN,NAMACHCHIVAYANS.Chaoticmotionofshallowarchstructuresunder1∶1internalresonance[J].JournalEngineeringMechanics, 1997, 123(6): 620-627.

[5]MALHOTRAN,NAMACHCHIVAYANS.Chaoticdynamicofshallowarchstructuresunder1∶2resonance[J].JournalEngineeringMechanics, 1997, 123(6): 612-619.

[6] 易壯鵬,康厚軍,王連華.彈性支撐淺拱的非線性動(dòng)力行為分析[J].動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào),2013,11(2):142-148．

YIZhuang-peng,KANGHou-jun,WANGLian-hua.Researchonthenonlineardynamicbehaviorsofelasticsupportshallowarch[J].JournalofDynamicsandControl,2013,11(2):142-148. (InChinese)

[7] 韓強(qiáng)，黃懷緯，樊學(xué)軍．彈性淺拱的非線性動(dòng)力屈曲[J]．華南理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2010, 38(3): 1-7.

HANQiang,HUANGHuai-wei,FANXue-jun.Nonlineardynamicbucklingofshallowelasticarch[J].JournalofSouthChinaUniversityofTechnology:NaturalScienceEdition, 2010, 38 (3): 1-7. (InChinese)

[8]PIYL,BRADFORDMA,UYB.In-planestabilityofarches[J].InternationalJournalofSolidsandStructures, 2002, 39(1): 105-125.

[9]PIYL,BRADFORDMA,LOIFT.Nonlinearanalysisandbucklingofelasticallysupportedcircularshallowarches[J].InternationalJournalofSolidsandStructures, 2007, 44(7/8): 2401-2425.

[10]PIYL,BRADFORDMA.Nonlinearin-planeelasticbucklingofshallowcirculararchesunderuniformradialandthermalloading[J].InternationalJournalofMechanicalSciences, 2010, 52(1):75-88.

[11]衛(wèi)星，李俊，李小珍，等．考慮二階效應(yīng)的拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)彈性屈曲[J]．工程力學(xué), 2007, 24(1): 147-152．

WEIXing,LIJun,LIXiao-zhen,etal. In-plane secondary buckling behavior of elastic arches [J]. Engineering Mechanics, 2007, 24(1): 147-152.(In Chinese)

[12]程鵬，童根樹(shù)．圓弧拱平面內(nèi)彎曲失穩(wěn)一般理論[J]．工程力學(xué)，2005, 22(1): 93-101.

CHENG Peng, TONG Gen-shu. A general theory for in-plane nonlinear analysis of circular arches [J]. Engineering Mechanics, 2005, 22(1): 93-101. (In Chinese)

[13]郭彥林，林冰，郭宇飛．壓彎圓弧拱平面內(nèi)穩(wěn)定承載力設(shè)計(jì)方法的理論與試驗(yàn)研究[J]．土木工程學(xué)報(bào), 2011, 44(3):8-15.

GUO Yan-lin, LIN Bing, GUO Yu-fei. Theoretical and experimental studies of in-plane stability design of circular arches subjected to axial force and moment [J]. China Civil Engineering Journal, 2011, 44(3): 8-15. (In Chinese)

[14]鷲津久一郎．彈性和塑性力學(xué)中的變分法[M]．老亮，郝松林，譯．北京：科學(xué)出版社，1984:1-446.

WASHIZU Kyuichiro. Variational methods in elasticity and plasticity [M]. Translated by LAO Liang, HAO Song-lin. Beijing:Science Press, 1984:1-446. (In Chinese)

[15]易壯鵬．幾何缺陷對(duì)拱結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的影響[D]．長(zhǎng)沙：湖南大學(xué)土木工程學(xué)院, 2007:29-66.

YI Zhuang-peng. The effects of the geometrical imperfections on the mechanical properties of arch structures [D]. Changsha: College of Civil Engineering, Hunan University, 2007:29-66. (In Chinese)

Planar Buckling Mode and Critical Load for Arch Structure with Non-ideal Boundary

KANG Hou-jun1， YI Zhuang-peng2?， ZENG You-yi2

(1. College of Civil Engineering, Hunan Univ，Changsha,Hunan 410082, China;2.School of Civil Engineering and Architecture, Changsha Univ of Science and Technology,Changsha,Hunan 410114, China)

The non-ideal boundary conditions (neither fixed nor hinged) of arch structure were considered as an elastic constraint with certain stiffness in different directions, and the nonlinear equilibrium equation was determined by using deformation geometric relation and energy variation principle. A circular arch under radial uniform load was taken as an example to establish the relationships between the external load and the internal force, and the radial displacement. By defining the shallowness and critical constraint stiffness, the snap-through buckling and bifurcation buckling were studied and the occurrence condition and distribution range were investigated. The buckling path and critical buckling load in the proposed method were in good agreement with the results from the finite element method. And the numerical method was used to study the buckling path and critical buckling load for different stiffness of elastic constraint. The results show that the critical shallowness and the critical constraint stiffness play a fundamental role in the buckling mode and critical buckling load for circular arch.

buckling; circular arch; non-ideal boundary;bifurcation buckling; variation principle

1674-2974(2015)05-0058-07

2014-09-09

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11002030, 11102063),NationalNaturalScienceFoundationofChina(11002030, 11102063)

康厚軍(1977-)，男，四川安岳人，湖南大學(xué)副教授，博士

?通訊聯(lián)系人，E-mail:yizhuangpeng@163.com

O343.9

A