趙繼超 陶海紅 高志奇
(西安電子科技大學(xué) 雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西 西安710071)
由同點(diǎn)配置的二維矢量天線組成的極化敏感傳感器陣列在對(duì)極化信號(hào)進(jìn)行波達(dá)角(Direction of Arrival,DOA)估計(jì)時(shí),傳統(tǒng)做法是將各個(gè)相互正交的天線分量的接收數(shù)據(jù)按照陣列空間維數(shù)排列展開(kāi),形成一個(gè)長(zhǎng)的數(shù)據(jù)矢量,即長(zhǎng)矢量(Long Vector,LV)數(shù)據(jù)模型.這種模型忽略了天線分量間的正交關(guān)系,針對(duì)長(zhǎng)矢量模型的不足,國(guó)內(nèi)外學(xué)者將極化敏感陣列接收數(shù)據(jù)模型從復(fù)數(shù)域拓展為超復(fù)數(shù)域,開(kāi)始研究四元數(shù)模型下極化敏感傳感器陣列的參數(shù)估計(jì).
四元數(shù)模型相較于復(fù)數(shù)模型多了兩個(gè)虛部,使得四元數(shù)模型能更好地表征極化敏感陣列接收數(shù)據(jù)的正交性.文獻(xiàn)[1]詳細(xì)闡述了四元數(shù)的基本運(yùn)算以及四元數(shù)矩陣奇異值分解(Singular Value Decomposition,SVD)的實(shí)現(xiàn),為四元數(shù)模型在極化敏感陣列信號(hào)處理中的應(yīng)用奠定了數(shù)學(xué)基礎(chǔ).由于多重信號(hào)分類(Multiple Signal Classification,MUSIC)算法是基于信號(hào)子空間和噪聲子空間正交性實(shí)現(xiàn)超分辨DOA估計(jì),而四元數(shù)模型相比復(fù)數(shù)模型包含了更多的數(shù)據(jù)正交信息,所以Sebastian Miron等學(xué)者于2006年在文獻(xiàn)[2]中首次提出了基于二分量極化敏感陣列,四元數(shù)模型下的MUSIC(Quaternion MUSIC,Q-MUSIC),仿真結(jié)果充分地說(shuō)明了四元數(shù)模型在極化敏感陣列信號(hào)處理中的優(yōu)勢(shì),文獻(xiàn)[3]又針對(duì)六分量全電磁矢量傳感器,將四元數(shù)擴(kuò)展到雙四元數(shù),提出了雙四元數(shù)模型下的MUSIC(Biquaternions MUSIC,BQ-MUSIC)算法,文獻(xiàn)[4]又在雙四元數(shù)的基礎(chǔ)上,將四四元數(shù)模型應(yīng)用在全電磁矢量陣列DOA估計(jì)中,提出了四四元數(shù)MUSIC(Quad-quaternion MUSIC,QQ-MUSIC)算法,但是上述三種算法均需要四維譜峰搜索,運(yùn)算量十分巨大,實(shí)時(shí)性差,不適用于實(shí)際場(chǎng)合應(yīng)用.陶建武等人[5-7]在極化敏感陣列參數(shù)估計(jì)方面做了很多的研究,針對(duì)四元數(shù)模型下四維譜峰搜索運(yùn)算量大的問(wèn)題,在文獻(xiàn)[6-7]中提出了降維Q-MUSIC算法,將四維譜峰搜索降低為兩次二維譜峰搜索,有效地降低了運(yùn)算量.文獻(xiàn)[8]提出了由二維矢量天線組成的均勻線陣(Uniform Linear Array,ULA)的長(zhǎng)矢量旋轉(zhuǎn)不變子空間算法(Long Vector Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques,LV-ESPRIT),文獻(xiàn)[9]在文獻(xiàn)[8]的研究基礎(chǔ)上加入了四元數(shù)模型,提出了四元數(shù)ESPRIT(Quaternion ESPRIT,Q-ESPRIT)算法,無(wú)需譜峰搜索就可以實(shí)現(xiàn)DOA和極化信息的估計(jì),但是該算法和文獻(xiàn)[7]所提算法存在同樣的問(wèn)題,需要提前已知入射信號(hào)的方位角或者俯仰角,否則無(wú)法構(gòu)造極化域的旋轉(zhuǎn)不變性估計(jì)信號(hào)極化信息.文獻(xiàn)[6-9]都是基于傳統(tǒng)同點(diǎn)配置的二維矢量天線組成的ULA,在四元數(shù)模型下,利用Q-MUSIC和QESPRIT在求解接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣時(shí),均會(huì)出現(xiàn)“四元數(shù)模型相干”問(wèn)題,該問(wèn)題在文章的第2部分會(huì)細(xì)述,這將導(dǎo)致四元數(shù)正交信息的丟失,以及信號(hào)極化信息的估計(jì)失敗,文獻(xiàn)[7]雖然發(fā)現(xiàn)了該問(wèn)題,但是卻沒(méi)有提出該問(wèn)題的有效解決方法,而是通過(guò)傳統(tǒng)長(zhǎng)矢量方法去估計(jì)信號(hào)的極化信息.
本文選取的極化敏感陣列是在由共點(diǎn)配置正交小磁環(huán)-短偶極子(Co-centered Orthogonal Loop and Dipole,COLD)天線組成的ULA的基礎(chǔ)上,添置一個(gè)嚴(yán)格指向z軸的短偶極子天線,采用新增天線接收數(shù)據(jù)與原始ULA接收數(shù)據(jù)的互相關(guān)矩陣代替?zhèn)鹘y(tǒng)的ULA接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣,有效地解決了“四元數(shù)模型相干”問(wèn)題,卻同時(shí)損失了信源數(shù)減一個(gè)陣列的孔徑信息,孔徑損失問(wèn)題在文章第3部分具體講述,由于新算法充分利用了四元數(shù)模型的正交信息和四元數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),不僅提高了估計(jì)精度,而且實(shí)現(xiàn)了無(wú)需已知信號(hào)的方位角或者俯仰角,僅通過(guò)一次特征值分解(Eigenvalue Decomposition,EVD)就能夠估計(jì)入射信號(hào)的DOA和極化信息,運(yùn)算量更低.
符號(hào)定義:Η,C和R分別表示四元數(shù)域,復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域;(·)?,(·)-1,(·)H和(·)*分別表示廣義逆,矩陣求逆,共軛轉(zhuǎn)置和共軛運(yùn)算;表示Α的估計(jì)值;arg(·)表示取角度運(yùn)算;Re(·),(·)i,(·)j和(·)k分別表示取四元數(shù)的實(shí)部,i部,j部和k部.
四元數(shù)是由Hamilton于1843年提出的一種四維超復(fù)數(shù),四元數(shù)h由一個(gè)實(shí)部和三個(gè)虛部組成:h=a+bi+cj+dk,其中a,b,c,d∈R,虛部i,j,k滿足:
簡(jiǎn)要介紹下本文用到的四元數(shù)基本運(yùn)算,定義四元數(shù)h的共軛h*為h*=a-bi-cj-dk.
設(shè)兩個(gè)四元數(shù)h1和h2分別為h1=a1+b1i+c1j+d1k和h2=a2+b2i+c2j+d2k,兩個(gè)四元數(shù)相乘取共軛可以表示為(h1h2)*=;特別注意的是四元數(shù)的乘法不滿足乘法交換律:h1·h2≠h2·h1;四元數(shù)的除法也不滿足交換律:h1h2/h2=h1,h1h2/h1≠h2.
假設(shè)有M個(gè)彼此獨(dú)立的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶完全極化信號(hào),極化敏感陣列是由N個(gè)COLD天線組成的ULA,短偶極子嚴(yán)格指向x軸,小磁環(huán)的法線嚴(yán)格指向z軸,如圖1所示.
圖1 傳統(tǒng)COLD組成的ULA
在四元數(shù)模型下,極化敏感陣列接收數(shù)據(jù)矩陣可以表示為
式 中:接 收 數(shù) 據(jù) 矩 陣x(t)=[x1(t),x2(t),…,xN(t)]T,x(t)∈H;陣元空間相移矩陣Q(θ,φ)=[q(θ1,φ1),…,q(θM,φM)],q(θm,φm)=[1,ejβm,ej2βm,…,ej(N-1)βm]T為第m個(gè)信號(hào)的陣元空間相移矢量,是入射信源的波長(zhǎng),陣元間距d=λ/2;極化-角度域?qū)蚓仃嚘祝絛iag{ψ1,…,ψM},ψm=hzm+i exm為第m個(gè)信號(hào)的極化-角度域?qū)蚴噶克脑獢?shù)表示,exm=cos φmcosθmsinγmejηm-sinφmcosγm,hzm=sinθmcos γm,其中,φm∈[0,2π)、θm∈[0,π]、γm∈[0,π/2]、ηm=[-π,π)分別是第m個(gè)信號(hào)的方位角、俯仰角、極化 輔 角 和 極 化 相 位 差[10];s(t)=[s1(t),…,sM(t)]T為信號(hào)矢量;n(t)=nz(t)+i nx(t)表示四元數(shù)模型下空間加性高斯白噪聲,假設(shè)矢量傳感器接收的每個(gè)噪聲分量彼此獨(dú)立且功率均為σ2.
在四元數(shù)模型下,極化敏感陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為
噪聲矢量協(xié)方差矩陣Rn=2σ2I,假設(shè)信號(hào)為彼此獨(dú)立的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶完全極化信號(hào),信號(hào)矢量協(xié)方差矩陣Rs是一個(gè)實(shí)對(duì)角矩陣,即Rs=diag{ps1,ps2,…,psM},對(duì)角線元素表征了入射信號(hào)的功率,則Z可以表示成
式中‖ψ‖2=diag{|ψ1|2,…,|ψM|2}.Z為一個(gè)實(shí)對(duì)角矩陣,即接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣R∈C,在四元數(shù)模型下,第m個(gè)信號(hào)的極化-角度域?qū)蚴噶喀譵=hzm+i exm,實(shí)部和虛部i表征了空間彼此正交的小磁環(huán)和偶極子天線接收數(shù)據(jù)的方向信息,但是經(jīng)過(guò)自相關(guān)運(yùn)算后只剩下模值信息,用四元數(shù)的實(shí)部和虛部表征的方向信息已經(jīng)丟失,本文將這種接收數(shù)據(jù)x(t)∈H的協(xié)方差矩陣R∈C,丟失了四元數(shù)模型正交信息的情況稱為“四元數(shù)模型相干”問(wèn)題.
對(duì)式(1)進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析,便可以清楚地得知同點(diǎn)配置正交小磁環(huán)-短偶極子二維矢量天線組成的均勻線陣出現(xiàn)“四元數(shù)模型相干”的原因:由于正交小磁環(huán)-短偶極子二維矢量天線是空間共幾何中心分布的,使得信號(hào)的極化-角度域?qū)蚴噶款愃朴谑强臻g相位因子的公共系數(shù),使得在求解接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣時(shí)只能得到極化-角度域?qū)蚴噶康哪V担瑳](méi)有充分利用四元數(shù)的正交方向信息;另一方面,極化-角度域?qū)蚴噶康哪V翟诮邮諗?shù)據(jù)協(xié)方差矩陣中可以當(dāng)作是入射信號(hào)的幅度信息,這將直接導(dǎo)致對(duì)接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣做特征分解時(shí),極化信息被包含在特征值中,特征向量不包含極化信息,因此目前基于共點(diǎn)配置的二分量極化敏感陣列的Q-MUSIC算法都是降維MUSIC算法,而Q-ESPRIT算法也只能估計(jì)出信號(hào)的波達(dá)角,而信號(hào)的極化信息需要借助傳統(tǒng)的“長(zhǎng)矢量”方法重新估計(jì),李京書(shū),陶建武在文獻(xiàn)[7]的仿真實(shí)驗(yàn)也指出了該問(wèn)題,但是卻沒(méi)有提出解決的辦法.
為了解決“四元數(shù)模型相干”問(wèn)題,本文在原來(lái)的極化敏感陣列的基礎(chǔ)上添置一個(gè)嚴(yán)格指向z軸的短偶極子天線,如圖2所示.
圖2 本文所提陣列
將新增嚴(yán)格指向z軸的短偶極子天線當(dāng)作參考原點(diǎn),在四元數(shù)模型下,新極化敏感陣列的接收數(shù)據(jù)為:
式中:x0(t)表示作為參考點(diǎn)處嚴(yán)格指向z軸的短偶極子天線接收的數(shù)據(jù);第m個(gè)信號(hào)的極化-角度域?qū)蚴噶縠xm(θm,γm,ηm)=-sinθmsinγmejηm,m=1,2,…,M;n0(t)為參考原點(diǎn)處短偶極子接收的噪聲分量;COLD陣列接收數(shù)據(jù)矩陣x1(t)的表達(dá)形式與式(1)基本一致,唯獨(dú)由于參考點(diǎn)的不同,陣元空間相移矩陣稍微有所不同,Q1(θ,φ)=[q1(θ1,φ1),…,q1(θM,φM)],其 中q1(θm)= [ejβm,ej2βm,…,ejNβm]T為第m個(gè)信號(hào)的陣元空間相移矢量,同樣假設(shè)矢量傳感器接收的每個(gè)噪聲分量彼此獨(dú)立且功率均為σ2.
采用求解x0(t)和x1(t)的互相關(guān)矩陣來(lái)避免“四元數(shù)模型相干”問(wèn)題,互相關(guān)矩陣的另外一個(gè)優(yōu)勢(shì)是因?yàn)榧僭O(shè)矢量傳感器接收的每個(gè)噪聲分量彼此獨(dú)立,互相關(guān)運(yùn)算能有效降低噪聲對(duì)角度估計(jì)精度的影響.x0(t)和x1(t)互相關(guān)矩陣可以表示為
從式(7)可以看出,N×1維的互相關(guān)矩陣R包含了入射信號(hào)的波達(dá)角和極化角信息,類似于參考文獻(xiàn)[11]的平滑思想,構(gòu)造(N+1-M)×M維矩陣Rα
式中,矩陣Rα的第m列rm=R(m:N-M+m),m=1,2,…,M,R(p:q)表示由互相關(guān)矩陣R的第p行到第q行組成的列矢量,假設(shè)信源數(shù)已知或者已經(jīng)由信源數(shù)估計(jì)算法估計(jì)得出.
結(jié)合式(7)和式(8),Rα可以表示成
式中,Υm=psm(hzm+i exm,m=1,2,…,M.為了表述方便,記
其中,Uα和Vα是兩個(gè)具有范德蒙結(jié)構(gòu)的矩陣,由于假設(shè)入射信號(hào)是彼此獨(dú)立的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶完全極化信號(hào),因此,Uα和Rα張成的空間一樣,且Uα和Rα的秩均為信源數(shù)目M.
定 義 選 擇 矩 陣J1=[IN-M,01],J2=[01,IN-M],其中,IN-M是(N-M)×(N-M)維單位矩陣,01是(N-M)×1的全零列向量,則有:
式中:Rα1是由Rα的第1行至N-M行組成的矩陣;Rα2為Rα的第2行至N-M+1行組成的矩陣.由式(9)可以得出Rα1和Rα2存在旋轉(zhuǎn)不變結(jié)構(gòu):
式 中,旋 轉(zhuǎn) 矩 陣Ωα=diag{ejβ1,ejβ2,…,ejβM}.由ESPRIT算法可知:旋轉(zhuǎn)矩陣Ωα可以通過(guò)特征分解矩陣得到的特征值進(jìn)行估計(jì),Vα由特征值對(duì)應(yīng)的特征向量組成的矩陣進(jìn)行估計(jì),即
入射信號(hào)的俯仰角、方位角和極化相位差已經(jīng)分別由式(16)、式(20)和式(21)估計(jì)出,則入射信號(hào)的極化輔角可以由下式估計(jì)
假設(shè)兩個(gè)實(shí)數(shù)相加計(jì)一次加法,相乘計(jì)一次乘法,則兩個(gè)復(fù)數(shù)相加算2次加法,相乘算2次加法和4次乘法;復(fù)數(shù)和四元數(shù)相加算2次加法,相乘算4次加法和8次乘法;兩個(gè)四元數(shù)相加算4次加法,相乘算12次加法和16次乘法.由于乘法運(yùn)算的資源耗費(fèi)是加法的4~6倍,所以本文只分析數(shù)乘運(yùn)算量.假設(shè)信源數(shù)為M,COLD組成的ULA陣元數(shù)為N,快拍數(shù)為L(zhǎng),下面給出本文所提算法的步驟,及其每步的運(yùn)算量:1)求解互相關(guān)矩陣R=E[x1(t)(t)],運(yùn)算量為16 NL;2)構(gòu)造Rα1和Rα2,并求解矩陣,運(yùn)算量為ο((4 M)3);3)EVD分解,運(yùn)算量為ο((4 M)3);4)估計(jì)俯仰角,運(yùn)算量為4 M;5)估計(jì)矩陣,運(yùn)算量為NM+MM2;6)估計(jì)矩陣,運(yùn)算量為ο((4 M)3);7)估計(jì)方位角,運(yùn)算量為2 M;8)估計(jì)極化相位差,運(yùn)算量為M;9)估計(jì)極化輔角,運(yùn)算量為4 M.
文獻(xiàn)[9]的傳統(tǒng)Q-ESPRIT需要通過(guò)兩次EVD分解,即基于四元數(shù)EVD分解估計(jì)信號(hào)的波達(dá)角,基于長(zhǎng)矢量模型EVD分解估計(jì)信號(hào)的極化信息,而本文只需一次四元數(shù)EVD分解,降低了運(yùn)算量,實(shí)時(shí)性得到了提高,且本文算法充分利用了四元數(shù)模型的正交信息和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)特征,可以直接估計(jì)出信號(hào)的DOA和極化信息,無(wú)需像文獻(xiàn)[8-9]需要提前已知入射信號(hào)的方位角或者俯仰角.
在仿真實(shí)驗(yàn)部分,給出了一些仿真結(jié)果來(lái)說(shuō)明所提算法的性能,并與文獻(xiàn)[8]的LV-ESPRIT和文獻(xiàn)[9]的Q-ESPRIT進(jìn)行了對(duì)比.
實(shí)驗(yàn)1 假設(shè)COLD天線數(shù)目為5,入射信源數(shù)為2,信號(hào)的俯仰角、方位角、極化輔角和極化相位差分別為:θ1=50°,φ1=40°,γ1=60°,η1=45°;θ2=40°,φ2=30°,γ2=70°,η2=55°,陣間距理想的認(rèn)為等于半波長(zhǎng),由于LV-ESPRIT和Q-ESPRIT算法需要入射信號(hào)方位角或者俯仰角先驗(yàn)信息,所以對(duì)該兩種傳統(tǒng)算法進(jìn)行仿真時(shí)假設(shè)方位角已知,而本文算法無(wú)需任何入射角的先驗(yàn)信息就可以估計(jì)出入射信號(hào)的DOA和極化信息.圖3為在小快拍和大快拍兩種條件下,本文算法、LV-ESPRIT和QESPRIT算法估計(jì)的俯仰角和極化信息標(biāo)準(zhǔn)誤差隨信噪比的變化曲線;圖4為在低信噪比和高信噪比兩種條件下,本文算法、LV-ESPRIT和Q-ESPRIT算法估計(jì)的俯仰角和極化信息標(biāo)準(zhǔn)誤差隨快拍數(shù)的變化曲線;方位角因?yàn)闆](méi)有對(duì)比參照,所以圖5給出了本文算法估計(jì)得到的方位角和俯仰角散布圖,執(zhí)行500次獨(dú)立的蒙特卡洛實(shí)驗(yàn).
圖3 估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)偏差隨信噪比的變化曲線
由圖3和圖4可以得出:1)基于四元數(shù)模型的兩種算法,估計(jì)精度明顯高于基于復(fù)數(shù)模型的算法,這是由于四元數(shù)模型比復(fù)數(shù)模型包含了更多的數(shù)據(jù)正交信息,說(shuō)明了四元數(shù)模型優(yōu)于復(fù)數(shù)模型;2)本文算法的估計(jì)精度略遜色于傳統(tǒng)Q-ESPRIT算法,主要有兩個(gè)原因,其一是仿真?zhèn)鹘y(tǒng)Q-ESPRIT時(shí),假設(shè)方位角已知,模型簡(jiǎn)化引起使傳統(tǒng)算法誤差的降低,其二是由于本文算法損失了部分孔徑信息.由圖5可以得出:1)本文算法可以估計(jì)出入射信號(hào)的方位角,無(wú)需任何先驗(yàn)信息;2)在低信噪比、小快拍條件下,方位角的估計(jì)誤差明顯高于俯仰角的估計(jì)誤差,這是由于本文算法是基于式(22)和式(23),通過(guò)俯仰角的估計(jì)值實(shí)現(xiàn)方位角的估計(jì),這會(huì)造成俯仰角估計(jì)誤差積累,導(dǎo)致方位角的估計(jì)精度低于俯仰角.
實(shí)驗(yàn)2 由文章的第4部分可知,實(shí)驗(yàn)1中本文算法的有效孔徑數(shù)目?jī)H為4個(gè)COLD天線,所以實(shí)驗(yàn)2假設(shè)LV-ESPRIT和Q-ESPRIT算法的陣元數(shù)為4個(gè)COLD天線,本文算法的陣元數(shù)依然為5個(gè)COLD陣,對(duì)比在有效孔徑相同的條件下,本文算法與LV-ESPRIT和Q-ESPRIT的性能.圖6為在小快拍和大快拍兩種條件下,本文算法、LV-ESPRIT和Q-ESPRIT估計(jì)的俯仰角和極化信息標(biāo)準(zhǔn)誤差隨信噪比的變化曲線;圖7為在低信噪比和高信噪比兩種條件下,本文算法、LV-ESPRIT和QESPRIT算法估計(jì)的俯仰角和極化信息標(biāo)準(zhǔn)誤差隨快拍數(shù)的變化曲線.
圖4 估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)偏差隨快拍數(shù)的變化曲線
圖5 方位角和俯仰角估計(jì)散布圖
仿真結(jié)果分析:1)在等效孔徑相同的條件下,基于四元數(shù)模型的兩種算法估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)偏差都低于基于復(fù)數(shù)模型的算法,同樣說(shuō)明了四元數(shù)模型優(yōu)于復(fù)數(shù)模型;2)當(dāng)?shù)刃Э讖揭粯訒r(shí),本文算法的估計(jì)精度高于傳統(tǒng)Q-ESPRIT算法,這是由于本文算法解決了傳統(tǒng)Q-ESPRIT存在的“四元數(shù)模型相干”問(wèn)題,本文算法比傳統(tǒng)算法更加充分地利用了四元數(shù)模型的正交性.
圖6 估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)偏差隨信噪比的變化曲線
圖7 估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)偏差隨快拍數(shù)的變化曲線
在四元數(shù)模型下,基于COLD天線組成的ULA利用傳統(tǒng)Q-ESPRIT估計(jì)信號(hào)角度時(shí),不僅需要入射信號(hào)方位角或者俯仰角的先驗(yàn)信息,并且存在“四元數(shù)模型”相干問(wèn)題,導(dǎo)致極化信息需要通過(guò)長(zhǎng)矢量模型進(jìn)行估計(jì).本文提出了基于互相關(guān)矩陣的降維Q-ESPRIT算法克服了該問(wèn)題,無(wú)需任何入射信號(hào)方位角或者俯仰角的先驗(yàn)信息,充分利用四元數(shù)模型的正交性,僅通過(guò)一次四元數(shù)特征分解就可以準(zhǔn)確地估計(jì)DOA和極化信息,運(yùn)算量更低.
[1]LE BIHAN N,MARS J.Singular value decomposition of matrices of quaternions:a new tool for vectorsensor signal processing[J].Signal Process,2004,84(7):1177-1199.
[2]MIRON S,LE BIHAN N,MARS J I.Quaternion-MUSIC for vector-sensor array processing[J].Transactions on Signal Processing,2006,54(4):1218-1229.
[3]LE BIHAN N,MIRON S,MARS J I.MUSIC algorithm for vector-sensors array using biquaternions[J].Transactions on signal processing,2007,55(9):4523-4533.
[4]龔曉峰,徐友根,劉志文.四四元數(shù)域低秩逼近及其在矢量陣列波達(dá)方向估計(jì)中的應(yīng)用[J].北京理工大學(xué)學(xué)報(bào),2008,28(11):1013-1017.GONG Xiaofeng,XU Yougen,LIU Zhiwen.Quadquaternion low rank approximation with applications to vector-sensor array direction of arrival estimation[J].Transactions of Beijing Institute of Technology,2008,28(11):1013-1017.(in Chinese)
[5]黃家才,陶建武,溫秀蘭.原位誤差情況下DOA和極化參數(shù)盲估計(jì)[J].電波科學(xué)學(xué)報(bào),2009,30(1):179-184.HUANG Jiacai,TAO Jianwu,WEN Xiulan.Blind DOA and polarization estimation against orientation errors of vestor sensor[J].Chinese Journal of Radio Science,2009,30(1):179-184.(in Chinese)
[6]崔 偉,陶建武,徐惠斌.基于四元數(shù)模型的極化信號(hào)DOA估計(jì)算法[J].電波科學(xué)學(xué)報(bào),2007,22(增刊):502-505.CUI Wei,TAO Jianwu,XU Huibin.The DOA estimation algorithm for polarized signals based on quaternion model[J].Chinese Journal of Radio Science,2007,22(Sup.):502-505.(in Chinese)
[7]李京書(shū),陶建武.信號(hào)DOA和極化信息聯(lián)合估計(jì)的降維四元數(shù)MUSIC方法[J].電子與信息學(xué)報(bào),2011,33(1):106-111.LI Jingshu,TAO Jianwu.The dimension reduction quaternion MUSIC algorithm for jointly estimating DOA and polarization[J].Journal of Electronics &Information Technology,2011,33(1):106-111.(in Chinese)
[8]LI J,COMPTON R T.Angle and polarization estimation using ESPRIT with a polarization sensitive array[J].IEEE Transaction on Antennas and Propagation,1991,39(9):1376-1383.
[9]GONG Xiaofeng,XU Yougen,LIU Zhiwen.Quaternion ESPRIT for direction finding with a polarization sentive array[C]//ICSP 2008Proceedings,2008:378-381.
[10]PALDI N E.Vector-sensor array processing for electromagnetic source localization[J].IEEE Trans Signal Process,1994,42(2):376-398.
[11]NIE Xi,LI Liping.A computationally efficient subspace algorithm for 2-D DOA estimation with Lshaped array[J].IEEE Signal Processing Letters,2014,21(8):971-974.