夏玲玲， 鄧 斌

（合肥工業(yè)大學 數(shù)學學院，安徽 合肥 230009）

設(shè)Cn×n是n×n階復(fù)矩陣的集合。矩陣A的Drazin逆［1］是存在并且唯一的，表示為AD，滿足以下3個方程：

其中，k是滿足rank（Ak）＝rank（Ak＋1）的最小非負整數(shù)，稱為A的指數(shù)，記為ind（A）。若ind（A）＝1，稱A是群逆的，記為A＃。另外記Aπ＝I－AA＃，A0＝I。

對于分塊矩陣群逆的研究一直是矩陣研究中一個重要的課題。文獻［2］給出了2×2分塊矩陣Drazin逆的表達式，其中A、D是方陣。但是，這一問題到目前為止還沒有得到具體解決。當D＝0時，

對于M的Drazin逆（群逆）的研究也激起了很多人的興趣，卻沒有一個明確的結(jié)果。文獻［3］給出了體上某些分塊矩陣的群逆的存在性定理及其表達式；在文獻［4－8］中分別給出了反三角分塊矩陣在一些條件下的群逆的存在性和表達式及塊k－循環(huán)矩陣帶W權(quán)的Drazin逆表達式；在文獻［9］中得到了2個冪等矩陣的一般組合可逆的充要條件，在文獻［10］中對之前的結(jié)論進行了推廣，研究了2個冪等矩陣的組合群逆問題。

本文給出了在條件P2Q＝0，PQ＋QP＝0和P2Q＝0，QPπ＝0下（P＋Q）＃的表達式，并應(yīng)用得到的結(jié)論給出了的表達式。然后，主要探究復(fù)數(shù)域上反三角分塊矩陣在不同情況下群逆存在性和表達式。

1 主要引理

引理2 令A(yù)，B∈Cn×n滿足AB＝BA＝0，若（A＋B）＃、A＃、B＃存在，則（A＋B）＃＝A＃＋B＃。

引理3 令A(yù)，B∈Cn×n，A＃、B＃存在，則有：

（1）若R是非奇異矩陣，B＝RAR－1，則B＃＝RA＃R－1。

（2）存在一個非奇異矩陣R，使得A1∈Cr×r是非奇異矩陣，A2∈C（n－r）×（n－r）是冪零矩陣，且

引理4 令M∈Cn×n，滿足B∈Cp×（n－p），C∈C（n－p）×p，則M＃存在的充要條件是r（B）＝r（C）＝r（BC）＝r（CB），且M＃＝

引理5 令A(yù)、B、C、D是m×n，m×k，l×n，l×k矩陣，則有［11］：

（1）r（A，B） ＝r（A）＋r（EAB）＝r（EBA）＋r（B）。

其中，SA＝D－CA?B，EA＝I－AA?，F(xiàn)A＝IA?A。

引理6 令N＝，B＝EB，C＝1A1CFA，JD＝EC1SAFB1，SA＝D－CA（1）B，則有［12］：

（1）r（N）＝成立的充要條件是成立。

（2）r（N）＝r（A，B） ＋r（C，D）成立的充要條件是成立。

2 定理與證明

定理1 已知P，Q∈Cn×n滿足P2Q＝0，PQ＋QP＝0，則（P＋Q）＃存在的充要條件是P＃、Q＃存在，r（P＋Q）＝r（P2＋Q2）＝r（P4＋Q4），此時有：

（P＋Q）＃＝P＃＋ （P＋Q）（Q2）＃ （2）

證明 由條件可知，（P＋Q）＃存在，且P2Q＝－PQP＝QP2＝0。

令P＝R－1，R是非奇異矩陣，P1可逆，P2是冪零矩陣，由P＃存在，可知和存在，且＝0。

Q＝RR－1，由條件知Q1＝0，Q12＝

因為（P＋Q）＃存在，根據(jù)秩的關(guān)系可知（P2＋Q2）＃存在。根據(jù)引理1，可知：

下面只須求出（P2＋Q2）＃即可。

將（4）式代入（3）式中，可得出（P＋Q）＃＝P＃＋（P＋Q）（Q2）＃，得出結(jié)論。

性質(zhì)1 已知P，Q∈Cn×n且P＃、Q＃存在，滿足P2Q＝0，QPπ＝0，則有：

定理2 令N＝，滿足：A2B＝0，D2C＝0，BDπ＝0，CAπ＝0。當A＃、D＃存在且r（B）＝r（C）＝r（CB）＝r（BC）時，則有：

證明 令N＝＝P＋Q，則由條件可知P、Q滿足P2Q＝0，QPπ＝0。則根據(jù)性質(zhì)1，N＃＝（P＋Q）＃＝P＃＋Q（P＃）2，可得出結(jié)論。

定理3 令N＝，滿足：BCA＝0，CBD＝0，A（BC）π＝0，D（CB）π＝0。當A＃、D＃存在且r（B）＝r（C）＝r（CB）＝r（BC）時，有

證明 令N＝＝P＋Q，則據(jù)性質(zhì)1和引理4可得出結(jié)論。

3 反三角分塊矩陣群逆存在的條件

定理4 令M如（1）式所示，如果AB＝0，CAπ＝0，A是冪等的，則有：

（1）M＃存在當且僅當r（B）＝r（BCB），其中Aπ＝I－A。

（2）如果M＃存在，有

證明 （1）由引理5可知，r（M）＝r（A）＋，而A是冪等的，A＃＝A，A∈A｛1｝，則有：

所以M＃存在當且僅當r（B）＝r（BCB）。

（2）令X是（8）式的右半部分，計算可知，

因此X＝M＃，結(jié)論得證。

定理5 令M如（1）式所示，其中AB＝0，CAπ＝0，A是冪等的，如果M滿足下面2個條件中的任何一個，則M＃存在。

（1）r（AFC，B） ＝r（A）＋r（BCB）－r（C）。

證明 由引理5可知：

當條件（1）成立時，易知r（M）＝r（M2），則M＃存在。同樣根據(jù)引理5，可知當條件（2）成立時，M＃存在，就不加詳細敘述。

定理6 令M如（1）所示，其中AB＝0，CAπ＝0，A是冪等的，若M滿足以下條件：

則M＃存在當且僅當以下4種情況的1個，即

（1）r（B）＝r（BCB）。

（2）r（C）＋r（B）＝r（A）＋r（BCB）。

（3）r（C）＝r（BCB）。

（4）r（A）＋r（BCB）＝r（B）＋r（C）。

證明 由R（B）?R（A）可知B1＝EAB＝0，而R（A）?R（B），可知EBA＝0。

同理，由R（C＊）?R（A＊）可知C1＝CFA＝0，而R（A＊）?R（C＊），可知AFC＝0。

所以JD＝EC1SAFB1＝SA。

因為R（B＊）?R），即N（SA）?N（B），所以由文獻［1］中投影原理可知BPL，M＝B，PL，M＝

則SAFB1FJD＝SAFSA＝0，BFB1FJD＝BFSA＝0，所以由引理6可知

另一方面，由R（C）?R（SA），可得出r（M）＝r（A，B） ＋r（C）。

接下來的過程結(jié)合引理5，即可得出結(jié)論。

4 結(jié)束語

矩陣的群逆問題是矩陣擾動理論中一個重要的組成部分，本文對于矩陣群逆存在性和表達式進行了研究，特別是分塊矩陣群逆的表達式和反三角分塊矩陣群逆存在的條件。

［1］ Ben－Israel A，Greville T N E.Generalized inverses：theory and applications［M］.2ed.New York：Springer，2003：152－172.

［2］ Campbell S L，Meyer C D.Generalized inverses of linear transformations［M］.New York：Dover Publications，Inc，1979：120－181.

［3］ 曹重光.體上分塊矩陣群逆的某些結(jié)果［J］.黑龍江大學學報：自然科學版，2001，18（3）：5－7.

［4］ Bu C.On group inverses of block matrices over skew fields［J］.J.Math，2002，35（4）：49－52.

［5］ Castro－Gonzelez N，Dopazo E.Representations of the Drazin inverse for a class of block matrices［J］.Linear Algebra and its Applications，2005，400：253－269.

［6］ Bu C，Zhao J，Zheng J.Group inverse for a class 2×2 block matrices over skew fields［J］.Applied Mathematics and Computation，2008，204（1）：45－49.

［7］ 周洪玲，王 成，范廣慧，等.特殊分塊矩陣的群逆的表示［J］.黑龍江工程學院學報：自然科學版，2013，27（1）：78－80.

［8］ 唐 松，吳華璋.塊k－循環(huán)矩陣的 Moore－Penrose逆和帶W權(quán)的Drazin逆［J］.合肥工業(yè)大學學報：自然科學版，2009，32（9）：1442－1444，1448.

［9］ 左可正，謝 濤.冪等矩陣的組合的可逆性［J］.數(shù)學雜志，2009，29（3）：285－288.

［10］ 左可正，謝 濤.兩個冪等矩陣的組合的群逆［J］.數(shù)學雜志，2014，34：3－5.

［11］ Marsaglia G，Styan G P H.Equalities and inequalities for Ranks of matrices［J］.Linear and Multilinker Algebra，1974，2（3）：269－292.

［12］ 陳永林.關(guān)于分塊矩陣的g逆的獨立性［J］.應(yīng)用

－數(shù)學，1993，6（3）：241－248.