王靖岳， 王浩天， 郭立新

（1.沈陽(yáng)理工大學(xué) 汽車與交通學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110159；2.沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110136；3.東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110819）

由于汽車懸架系統(tǒng)廣泛采用空氣彈簧、電流變阻尼、干摩擦阻尼和磁流變阻尼等元器件，所以系統(tǒng)具有明顯的非線性，可能導(dǎo)致懸架系統(tǒng)發(fā)生混沌振動(dòng)，這已成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)問(wèn)題［1－5］。文獻(xiàn)［6］對(duì)非線性汽車懸架系統(tǒng)進(jìn)行了近似線性處理，指出了發(fā)生Hopf分岔時(shí)線性系統(tǒng)失穩(wěn)，研究了周期擾動(dòng)下系統(tǒng)的擬周期、分諧波和混沌運(yùn)動(dòng)；文獻(xiàn)［7］采用非線性曲線擬合方法代替氣體狀態(tài)方程，得到了工作條件下空氣彈簧剛度的工作曲線方程；文獻(xiàn)［8］考慮了汽車運(yùn)行中重力項(xiàng)的影響，采用Melnikov函數(shù)研究了1／4汽車系統(tǒng)的全局同宿軌道分岔以及通往混沌的道路；文獻(xiàn)［9］在研究客車空氣懸架過(guò)程中提出了采用擬合的辦法確定空氣彈簧的變剛度；文獻(xiàn)［10］采用干摩擦理想模型模擬非線性彈簧力和阻尼力，并研究了汽車系統(tǒng)中出現(xiàn)的混沌運(yùn)動(dòng)；文獻(xiàn)［11］利用氣體狀態(tài)方程研究了空氣懸架的振動(dòng)模型和剛度特性；文獻(xiàn)［12］利用空氣彈簧有限元模型擬合出其受力曲線，分析了單頻正弦激勵(lì)下汽車空氣彈簧懸架的四自由度半車模型的非線性行為。

本文在以上研究的基礎(chǔ)上，考慮阻尼減振器的阻尼非線性和空氣彈簧的非線性，建立1／4汽車空氣懸架系統(tǒng)的單自由度非線性動(dòng)力系統(tǒng)模型。以某客車為例，揭示路面不平度激勵(lì)幅值、激勵(lì)頻率、減振器阻尼系數(shù)和非線性阻尼系數(shù)對(duì)系統(tǒng)中分岔和混沌運(yùn)動(dòng)的影響。

1 系統(tǒng)的模型和運(yùn)動(dòng)微分方程

當(dāng)僅考慮汽車懸架系統(tǒng)的平順性時(shí)，可將汽車簡(jiǎn)化成單自由度1／4汽車懸架模型，如圖1所示。該系統(tǒng)由簧載質(zhì)量、空氣彈簧和阻尼減振器組成。其中，m為車身質(zhì)量。

圖1 單自由度1／4汽車模型

在空氣懸架系統(tǒng)的下方施加一個(gè)隨機(jī)路面激勵(lì)作為輸入［13］，即

其中，a為路面不平度激勵(lì)幅值；σ為激勵(lì)頻率白噪聲強(qiáng)度；ξ（t）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)白噪聲；ω為激勵(lì)頻率；x（t）為車身質(zhì)量上的位移輸出。則有：

其中，F(xiàn)c為阻尼力，且，c為阻尼系數(shù)，c1為非線性阻尼系數(shù)；Fk為空氣彈簧對(duì)車身質(zhì)量m的作用力，且有［14－16］：

其中，n為氣體多變指數(shù)；α為空氣彈簧體積變化率；p0為大氣壓力；pe為空氣彈簧壓力；δ為空氣彈簧的變形位移；Ve為空氣彈簧的體積；Ae為空氣彈簧有效面積。δ＝x0－x，可得˙δ＝˙x0－˙x，¨δ＝¨x0－¨x，代入（1）式，并令n＝1，整理后得到非線性空氣懸架系統(tǒng)振動(dòng)的微分方程為：

其中，彈性力為：

當(dāng)δ＝0時(shí)，f（0）＝peAe－p0Ae－mg，由于在平衡狀態(tài)時(shí)滿足peAe－p0Ae＝mg，即f（0）＝0。而，則f′（0）＞0。

利用泰勒公式將（2）式簡(jiǎn)化，彈性力項(xiàng)f（δ）在δ＝0處進(jìn)行泰勒展開(kāi)，舍去高階無(wú)窮小項(xiàng)o（δ3），整理后得：

其中

平衡狀態(tài)時(shí)有peAe－p0Ae＝mg，所以k0－p0Ae－mg＝0，則（3）式可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：

令z1＝δ，z2＝˙δ，則（4）式的狀態(tài)方程為：

2 分岔與混沌分析

2.1 激勵(lì)幅值對(duì)系統(tǒng)分岔和混沌的影響

選 取 某 客 車 系 統(tǒng) 參 數(shù) 如 下［14，17］：m＝5 456kg，pe＝5×105Pa，Ae＝0.033 5m2，α＝1.8，Ve＝0.008 62m3，c＝7 400N／（m·s－1），c1＝650N／（m·s－3），ω＝12.56rad／s。初始條件為：z1（0）＝0，z2（0）＝0。用 4－5 階 Runge－Kutta法對(duì)（2）式進(jìn)行數(shù)值積分，得到系統(tǒng)在路面不平度激勵(lì)幅值a∈（0，0.10）時(shí)的分岔圖，如圖2所示。當(dāng)a∈（0，0.036）時(shí)，系統(tǒng)作周期1運(yùn)動(dòng)；取a＝0.02m時(shí)，如圖3所示，相圖為封閉曲線，Poincaré映射圖為1個(gè)點(diǎn)，時(shí)間歷程曲線規(guī)則有序，功率譜圖為離散譜，經(jīng)計(jì)算Lyapunov指數(shù)λ1＝ － 0.675 272、λ2＝ － 0.683 154。 當(dāng)a＝0.028 5m時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生跳躍現(xiàn)象，振幅和速度發(fā)生巨大的變化，汽車的平順性和舒適性變差。隨著路面不平度激勵(lì)幅值a的增大，當(dāng)a＝0.036 4m時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔，開(kāi)始作周期2運(yùn)動(dòng)；取a＝0.04m時(shí)，如圖4所示，相圖為封閉曲線，Poincaré映射圖為2個(gè)點(diǎn)，時(shí)間歷程曲線規(guī)則有序，功率譜圖為離散譜，經(jīng)計(jì)算Lyapunov指數(shù)λ1＝－0.674 621、λ2＝－0.685 011。當(dāng)a＝0.043 7m時(shí)，系統(tǒng)又作周期1運(yùn)動(dòng)；取a＝0.06m時(shí)，可得系統(tǒng)的相圖、Poincaré映射圖、時(shí)間歷程曲線和功率譜圖，如圖5所示，Lyapunov指數(shù)λ1＝－0.677 860、λ2＝－0.684 910。當(dāng)a＝0.069 3m時(shí)，系統(tǒng)再次發(fā)生跳躍現(xiàn)象。當(dāng)a＝0.078 9m時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔，從周期1運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷為周期2運(yùn)動(dòng)；取a＝0.083m時(shí)，如圖6所示，相圖為封閉曲線，Poincaré映射圖為2個(gè)點(diǎn)，時(shí)間歷程曲線規(guī)則有序，功率譜圖為離散譜，Lyapunov指數(shù)λ1＝－0.566 086、λ2＝－0.576 651。當(dāng)a＝0.084 4m時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)倍化分岔由周期2運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷為周期4運(yùn)動(dòng)。隨著路面不平度激勵(lì)幅值a的增大，當(dāng)a＝0.085 6m時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)倍化分岔由周期4運(yùn)動(dòng)變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(dòng)；取a＝0.086m時(shí)，如圖7所示，相圖曲線是不封閉的，Poincaré映射為自相似的點(diǎn)集，時(shí)間歷程曲線無(wú)規(guī)律，功率譜圖為離散譜，Lyapunov指數(shù)λ1＝0.565 287、λ2＝－0.577 094。當(dāng)a＝0.086 8m時(shí)，系統(tǒng)由混沌運(yùn)動(dòng)退化為周期3運(yùn)動(dòng)；取a＝0.09m時(shí)，如圖8所示，相圖為封閉曲線，Poincaré映射圖為3個(gè)點(diǎn)，時(shí)間歷程曲線規(guī)則有序，功率譜圖為離散譜，Lyapunov指數(shù)λ1＝－0.666 329、λ2＝－0.695 184。當(dāng)a＝0.091 2m時(shí)，系統(tǒng)由周期3運(yùn)動(dòng)變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(dòng)。取a＝0.098m時(shí)，如圖9所示，相圖曲線是不封閉的，Poincaré映射為自相似的點(diǎn)集，時(shí)間歷程曲線無(wú)規(guī)律，功率譜圖為離散譜，λ1＝0.599 936、λ2＝－1.962 349。

以上分析表明，汽車在平坦的路面行駛不會(huì)發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)，當(dāng)遇到凸凹不平的路面時(shí)會(huì)發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)，這與文獻(xiàn)［12］分析結(jié)果一致。

圖2 路面不平度激勵(lì)幅值a∈（0，0.10）時(shí)系統(tǒng)分岔圖

圖3 a＝0.02m時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

圖4 a＝0.04m時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

圖5 a＝0.06m時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

圖6 a＝0.083m時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

圖7 a＝0.086m時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

2.2 激勵(lì)頻率對(duì)系統(tǒng)分岔和混沌的影響

圖8 a＝0.09m時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

圖9 a＝0.098m時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

其他參數(shù)不變，路面不平度激勵(lì)幅值a取0.02m，以激勵(lì)頻率f為分岔參數(shù)，可得系統(tǒng)在f∈（0，5）時(shí)的分岔圖，如圖10所示。取f＝4.0Hz時(shí)，如圖11所示，相圖為封閉曲線、Poincaré映射圖為1個(gè)點(diǎn)、時(shí)間歷程曲線規(guī)則有序，功率譜圖為離散譜，經(jīng)計(jì)算Lyapunov指數(shù)λ1＝－0.679 888、λ2＝－0.687 029；可見(jiàn)，系統(tǒng)作周期1運(yùn)動(dòng)；從圖10可以看出，隨著激勵(lì)頻率f的減小，當(dāng)f＝3.24Hz時(shí)系統(tǒng)經(jīng)過(guò)分岔作周期2運(yùn)動(dòng)；當(dāng)f＝3.0Hz時(shí)，相圖為封閉曲線，Poincaré映射圖為2個(gè)點(diǎn)，時(shí)間歷程曲線規(guī)則有序，功率譜圖為離散譜，Lyapunov指數(shù)λ1＝－0.674 696、λ2＝－0.684 574。當(dāng)f＝2.48時(shí)，系統(tǒng)又從周期2運(yùn)動(dòng)到周期1運(yùn)動(dòng)。取f＝1.0Hz時(shí)，系統(tǒng)相圖、Poincaré映射圖、時(shí)間歷程曲線和功率譜圖，如圖12所示；經(jīng)計(jì)算Lyapunov指數(shù)λ1＝ －0.673 944、λ2＝ －0.684 167。在（1.50，2.48）上，系統(tǒng)發(fā)生了跳躍現(xiàn)象，振幅突然變化。由于存在跳躍和分岔現(xiàn)象，因而參數(shù)的變化將引起系統(tǒng)不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，有必要對(duì)其他參數(shù)進(jìn)行分析［12］。

圖10 以激勵(lì)頻率f為分岔參數(shù)的分岔圖

圖11 當(dāng)f＝4.0Hz時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

圖12 f＝1.0Hz時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

2.3 阻尼系數(shù)對(duì)系統(tǒng)分岔和混沌的影響

其他參數(shù)不變，取a＝0.04m，以阻尼系數(shù)c為分岔參數(shù)得到系統(tǒng)分岔圖，如圖13所示。當(dāng)c∈（0，300）時(shí)，系統(tǒng)作混沌運(yùn)動(dòng)；取c＝100N／（m·s－1）時(shí)，如圖14所示，系統(tǒng)的相圖為不封閉曲線，Poincaré映射圖為自相似的點(diǎn)集，時(shí)間歷程曲線無(wú)規(guī)律，功率譜圖為連續(xù)譜，經(jīng)計(jì)算Lyapunov指數(shù)λ1＝0.604 113、λ2＝－0.627 275。

當(dāng)c∈（300，10 000）時(shí)，系統(tǒng)作周期2運(yùn)動(dòng)；取c＝6 000N／（m·s－1）時(shí)，如圖15所示，系統(tǒng)的相圖為封閉曲線，Poincaré映射圖為2個(gè)點(diǎn)，時(shí)間歷程曲線規(guī)則有序，功率譜圖為離散譜，經(jīng)計(jì)算Lyapunov 指 數(shù)λ1＝ － 0.551 344、λ2＝－0.552 031?？梢?jiàn)在小阻尼范圍內(nèi)，汽車容易出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)，這與文獻(xiàn)［12］分析結(jié)果一致。

圖13 阻尼系數(shù)c為分岔參數(shù)的分岔圖

圖14 c＝100N／（m·s－1）時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

圖15 c＝6 000N／（m·s－1）時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

2.4 非線性阻尼系數(shù)對(duì)系統(tǒng)分岔和混沌的影響

其他參數(shù)不變，取a＝0.04m，f＝2.0Hz，以阻尼系數(shù)c1為分岔參數(shù)得到系統(tǒng)的分岔圖，如圖16所示。取c1＝500N／（m·s－3）時(shí)，如圖17所示，系統(tǒng)的相圖為封閉曲線，Poincaré映射圖為2個(gè)點(diǎn)，時(shí)間歷程曲線規(guī)則有序，功率譜圖為離散譜，經(jīng)計(jì)算Lyapunov指數(shù)λ1＝－0.673 366、λ2＝－0.685 181，系統(tǒng)作周期2運(yùn)動(dòng)。可見(jiàn)在此汽車參數(shù)下，非線性阻尼對(duì)汽車的分岔和混沌運(yùn)動(dòng)影響較小。

圖16 以阻尼系數(shù)c1為分岔參數(shù)分岔圖

圖17 c1＝500N／（m·s－3）時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

3 結(jié)束語(yǔ)

基于阻尼減振器的阻尼非線性和空氣彈簧的非線性建立起來(lái)的1／4汽車空氣懸架系統(tǒng)在隨機(jī)路面激勵(lì)作用下確實(shí)存在混沌和分岔現(xiàn)象。路面不平度激勵(lì)幅值越大，汽車發(fā)生混沌的可能性越大；激勵(lì)頻率在某個(gè)特定區(qū)間容易發(fā)生跳躍現(xiàn)象和分岔；減振器阻尼系數(shù)越小，系統(tǒng)越容易發(fā)生混沌；非線性阻尼系數(shù)對(duì)系統(tǒng)影響較小。通過(guò)合理選擇汽車結(jié)構(gòu)參數(shù)，避開(kāi)汽車發(fā)生分岔和混沌的區(qū)域，可以提高汽車的平順性和舒適性。本文可為汽車懸架參數(shù)的匹配設(shè)計(jì)提供參考。

［1］ Murata A，Kume Y，Hashimoto F.Application of catastrophe theory to forced vibration of a diaphragm air spring［J］.Journal of Sound and Vibration，1987，112（1）：31－44.

［2］ Stammers C W，Sireteanu T.Vibration control of machines by use of semi－active dry friction damping［J］.Journal of Sound and Vibration，1998，209（4）：671－684.

［3］ Sut M S，Yeo M S.Development of semi－active suspension systems using ER fluids for the wheeled vehicle［J］.Journal of Intelligent Material Systems and Structures，1999，10（9）：743－747.

［4］ Ni Y Q，Cheny，Ko J M，et al.Neuro－control of cable vibration using semi－active magneto－rheological dampers［J］.Engineering Structures，2002，24（3）：295－307.

［5］ 盛 云，吳光強(qiáng).汽車非線性懸架的混沌研究［J］.汽車工程，2008，30（1）：57－60.

［6］ Liu Z，Payre G，Bourassa P.Stability and oscillations in a time－delayed vehicle system with driver control［J］.Nonlinear Dynamics，2004，35（2）：159－173.

［7］ Chen L，Zhou K H，Li Z X.Dynamic characteristics fitting of air springs and numerical analysis of air suspensions with variant stiffness［J］.Journal of Mechanical Engineering，2010，46（4）：93－98.

［8］ Litak G，Borowiec M，F(xiàn)riswell M I，et al.Chaotic vibration of a quarter－car model excited by the road surface profile［J］.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2008，13（7）：1373－1383.

［9］ 胡 芳.非線性空氣懸架模型的理論研究及實(shí)車試驗(yàn)［J］.合肥 工 業(yè) 大 學(xué) 學(xué) 報(bào)：自 然 科 學(xué) 版，2007，30（11）：1429－1432.

［10］ Zhu Q，Ishitobi M.Chaos and bifurcations in a nonlinear vehicle model［J］.Journal of Sound and Vibration，2004，275（3）：1136－1146.

［11］ 尹萬(wàn)建，楊紹普，申永軍，等.空氣彈簧懸架的振動(dòng)模型和剛度特性研究［J］.北京交通大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006，30（1）：71－74.

［12］ 黃巨成，屠德新，魏道高.汽車空氣懸架非線性垂向動(dòng)力學(xué)行為研究［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，36（6）：641－645.

［13］ 楊紹普，李韶華，郭文武.隨機(jī)激勵(lì)滯后非線性汽車懸架系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)［J］.振動(dòng)、測(cè)試與診斷，2005，25（1）：22－25，71.

［14］ 方瑞華.汽車空氣懸架非線性振動(dòng)理論和試驗(yàn)［J］.農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)，2007，38（7）：13－15，38.

［15］ Malin P.Derivation of air spring model parameters for train simulation［D］.Lulea：Lulea University of Technology，2002.

［16］ Toyofuku K，Yamada C，Kagawa T，et al.Study on dynamic characteristic analysis of air spring with auxiliary chamber［J］.JSAE Review，1999，20（3）：349－355.

［17］ 郭二生.空氣懸架大客車操縱穩(wěn)定性和行駛平順性仿真與試驗(yàn)研究［D］.長(zhǎng)春：吉林大學(xué)，2005.