張 昭，劉奉銀，張國平

（1. 西安理工大學 巖土工程研究所，陜西 西安 710048；2. 麻省大學阿姆斯特分校 土木及環(huán)境工程系，美國 阿姆斯特 01003）

1 引 言

Terzaghi于1936年的有效應力原理是飽和土力學的理論基礎(chǔ)之一，不僅將土骨架內(nèi)總應力與流體相壓力組合，而且描述了土骨架的力學變形特性。隨后學者們[1－8]致力于將其推廣至非飽和土，其中Bishop于1959年提出了非飽和土有效應力的單變量公式[1]。該公式的優(yōu)勢在于將多相介質(zhì)通過力學等效轉(zhuǎn)化為單相介質(zhì)，其中的有效應力參數(shù)χ描述了基質(zhì)吸力對有效應力的貢獻。學者們從理論和試驗方面對χ的變化規(guī)律進行了一系列定量研究。陳正漢等[2]用兩種孔隙率的非飽和土的體積模量來表征χ。Loret等[3]和Laloui等[4]認為χ應表示為土孔隙尺寸、孔隙氣壓力和孔隙水壓力的函數(shù)。Alonso等[5]從理論上證明了飽和度不能直接表示χ。Khalili等[6]在總結(jié)分析了大量控制基質(zhì)吸力的直剪和三軸剪切試驗結(jié)果后得出用基質(zhì)吸力ψ和進氣值ψaev表示的χ表達式，并對3種土進行了多階段減、增濕三軸剪切試驗[7]，結(jié)果發(fā)現(xiàn)干濕循環(huán)對χ影響顯著（尤其在掃描階段），并將他們在文獻[6]中提出的χ表達式推廣至干濕循環(huán)階段。然而，上述研究均未深入討論干濕循環(huán)對有效應力（或有效應力參數(shù)χ）的影響機制。實際上，土骨架中氣、液、固三相及其交界面（如氣-液交界面）的相互作用從微觀角度控制著其力學特性，Khalili等[7]也將干濕循環(huán)對χ的顯著影響歸結(jié)為氣-液交界面的影響，但未考慮這種相間交界面對有效應力的貢獻。氣-液交界面可將毛細作用力施加在土顆粒上以阻止其在外力作用時滑動[8]，而毛細作用力在非飽和土的有效應力中有顯著貢獻，因缺乏深入認識而在有效應力公式中常被忽略，而且氣-液交界面如何通過毛細作用影響有效應力尚未得到土力學界的證實。此外，要模擬非飽和土的力-水耦合特性，尚需完整認識土骨架內(nèi)部的應力狀態(tài)及其對氣-液交界面自由能的影響。近年來，Coussy[9]和Pereira等[10]通過在有效應力公式中考慮氣-液交界面的自由能以反映其影響，但未考慮相間交界面的守恒方程。值得注意的是，非飽和土可簡化為氣、液、固三相及其交界面組成的集合體，Houlsby[11]、Zhao等[12]、Fuentes等[13]雖利用熱力學原理和多孔介質(zhì)理論研究了非飽和土的變形功和有效應力的關(guān)系，但均未考慮氣-液交界面。Hassanizadeh等[14]較早地考慮了氣、液、固三相及其交界面，用以模擬非飽和土內(nèi)氣、液兩相的流動，但未考慮力-水耦合特性。

為此，遵照Hassanizadeh等[14]的方法，建立氣、液、固三相及其交界面的守恒方程和相應的限制條件，求解有效應力公式時采用的守恒方程屬普適性方程，力-水耦合特性的特殊性多反映在本構(gòu)假定中，筆者在Helmholtz自由能中考慮力-水耦合特性，試圖推導考慮氣-液交界面的非飽和土有效應力公式；根據(jù)該公式確定有效應力參數(shù)后，利用Khalili等[7]對3種土的多階段減、增濕三軸剪切試驗結(jié)果驗證有效應力參數(shù)表達式比較已有文獻表達式在描述干濕循環(huán)下有效應力參數(shù)與基質(zhì)吸力關(guān)系時的有效性。

2 有效應力公式的推導

2.1 各相及其交界面的守恒方程

對非飽和土中的流體相考慮為液、氣兩相，分別用l、a表示。固相為土骨架，用s表示。氣、液、固三相相互接觸且兩兩形成交界面，即氣-液交界面，用la表示；固-液交界面，用ls表示；固-氣交界面，用as表示；在3個交界面間存在一條公共線，用las表示，不僅聯(lián)系各相及其交界面，而且實現(xiàn)各交界面質(zhì)量、動量、能量和熵的轉(zhuǎn)換。

2.1.1 質(zhì)量守恒方程

此外，若假定公共線不存在熱力學性質(zhì)，則上述守恒方程中相應的交換項滿足如下限制條件：

2.2 在Helmholtz自由能中考慮力-水耦合特性

上述守恒方程不能完整表征各相及其交界面組成的集合體，需補充本構(gòu)假定。出于推導簡便，在本構(gòu)假定中可采用各相及其交界面的Helmholtz自由能函數(shù)替換相應的內(nèi)能：

如前所述，力-水耦合特性在本構(gòu)假定中的反映，筆者通過在各相及其交界面的Helmholtz自由能中考慮力-水耦合特性以實現(xiàn)。土力學中認為土顆粒呈剛性，則此時土顆粒運動引起的土材料孔隙變化會使氣-液交界面的曲率發(fā)生變化，致使其Helmholtz自由能也發(fā)生變化[16]，可忽略對固-液、固-氣交界面 Helmholtz自由能的影響。為表征力-水耦合特性，可以假定氣-液交界面的Helmholtz自由能與固相的拉格朗日應變張量有關(guān)，筆者從土力學角度假定它與土材料的孔隙率ε有關(guān)，則此時Helmholtz自由能可表示為關(guān)于如下獨立變量的函數(shù)：

2.3 考慮氣-液交界面的有效應力公式

3 有效應力參數(shù)的確定

章節(jié)2提出的有效應力公式（17）因包含表征氣-液交界面影響的lalak AI項而不同于傳統(tǒng)的單變量公式，但可將其整理為與類似的形式，以確定有效應力參數(shù)χ：

圖1 F-75 Ottawa砂內(nèi)氣-液交界面的面積密度 A la 與飽和度 sl的關(guān)系Fig.1 Areal density of air-liquid interface Alaversus degree of saturationslin F-75 Ottawa sand

4 有效應力公式的驗證

Khalili等[7]對布法羅大壩低塑性黏土（簡稱BC）、伯克低塑性粉土（簡稱BS）、悉尼砂（75%）和高嶺土（25%）的混和土（簡稱 SS-KL）3種壓實試樣（初始干密度ρd0=1.80、1.53、1.63 g/cm3）進行了多階段減、增濕三軸剪切試驗（試驗用土的物理力學性質(zhì)參數(shù)見文獻[7]）：先對飽和試樣進行常規(guī)固結(jié)排水試驗，進而減濕至預設(shè)的基質(zhì)吸力值，再進行控制基質(zhì)吸力的固結(jié)排水試驗，如此交替，最后進行控制凈應力和軸向應變的增濕試驗，在邊界減、增濕和掃描階段測定了不同基質(zhì)吸力對應的飽和度及有效應力參數(shù)。筆者利用該試驗結(jié)果驗證式（20）在表征干濕循環(huán)下有效應力參數(shù)χ與基質(zhì)吸力ψ關(guān)系時的有效性。

首先，采用 Fredlund等[20]和 Khalili等[21]提出的模型分別對邊界減、增濕和掃描階段的持水實測值（基質(zhì)吸力與飽和度）進行擬合：

式中：m、n、a、Z、U、Y均為擬合參數(shù)；patm為大氣壓力（101 kPa）。對邊界減、增濕階段的持水實測值擬合時，先確定控制持水曲線殘余段位置的參數(shù)m[20]，使擬合曲線通過邊界減、增濕階段的最后一個數(shù)據(jù)點，再利用約束型最小二乘法確定參數(shù)a、n，進而利用拉格朗日乘數(shù)法使擬合曲線逼近連接邊界減、增濕和掃描階段的基質(zhì)吸力反向點；對掃描階段的持水實測值擬合時，先確定參數(shù)U，再通過調(diào)整參數(shù)Y和Z使擬合曲線亦能通過兩個基質(zhì)吸力反向點，以實現(xiàn)該曲線在基質(zhì)吸力反向點處連續(xù)。3種土的持水實測值、式（21）確定的擬合曲線及相應的模型擬合參數(shù)如圖2所示。從圖中可以看出，式（21）適于表征3種土在干濕循環(huán)下的持水特性。其次，將邊界減、增濕階段持水模型的擬合曲線代入式（20），使之與相應階段中不同基質(zhì)吸力對應的有效應力參數(shù)實測值進行擬合確定其中的參數(shù)Cmn。最后，將掃描階段持水模型的擬合曲線代入?yún)?shù)Cmn已知的式（20）中，得到該階段不同基質(zhì)吸力對應的有效應力參數(shù)χ預測值。

此外， Khalili等[7]也提出了邊界和掃描階段的χ表達式：

圖2 3種土在邊界減、增濕和掃描階段的持水實測值[7]及其擬合曲線Fig.2 Curves of measured[7] and fitted boundary drying-wetting and scanning water retention for three soils

圖3 3種土在邊界減、增濕和掃描階段的有效應力參數(shù)擬合(預測值)值、實測值[7]與基質(zhì)吸力的關(guān)系Fig.3 Measured[7] and fitted (predicted) effective parametersvs. matric suction in boundary drying-wettingand scanning process for three soils

5 結(jié) 論

（1）將非飽和土簡化為各相及其交界面組成的集合體，假定氣-液交界面的Helmholtz自由能與土材料的孔隙率有關(guān)。將各相及其相間交界面的守恒方程及Helmholtz自由能函數(shù)的物質(zhì)導數(shù)聯(lián)立代入熵不等式，根據(jù)該不等式適用于所有熱力學狀態(tài)推得考慮氣-液交界面面積密度的非飽和土有效應力公式。

（2）將氣-液交界面的面積密度表示為基質(zhì)吸力與飽和度的函數(shù)，得到有效應力參數(shù)的表達式。最后，利用已有文獻中3種土的多階段減、增濕三軸剪切試驗結(jié)果，對比分析了有效應力參數(shù)表達式與已有文獻表達式在表征干濕循環(huán)下有效應力參數(shù)與基質(zhì)吸力關(guān)系時的有效性。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，該表達式對邊界減、增濕及掃描階段有效應參數(shù)的擬合（預測）效果優(yōu)于已有文獻表達式，故可證明飽和度變化很小時有效應力參數(shù)的顯著變化是由氣-液交界面變化產(chǎn)生的，有必要在有效應力公式中引入氣-液交界面。

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