龔 健 ，盧奐采，2* ，陳振安 ，莊一舟 ，金江明

(1．浙江工業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院，浙江杭州310014;2．浙江省信號處理重點實驗室，浙江杭州310014;3．福州大學(xué)土木工程學(xué)院，福建福州350108)

0 引 言

板結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于土木、機械和航天等工程領(lǐng)域［1-2］，因此，板結(jié)構(gòu)開裂后的振動響應(yīng)及其特征一直是動力學(xué)領(lǐng)域研究的熱點［3-4］，其中矩形開裂薄板為重要的研究對象。

對于矩形薄板的模態(tài)響應(yīng)，國內(nèi)外學(xué)者做了深入的研究。眾所周知，對于四邊固支的無開裂的彈性薄板，根據(jù)薄板振動理論［5-6］，可求得板振動模態(tài)響應(yīng)的解析解，但通透開裂薄板結(jié)構(gòu)的振動模態(tài)響應(yīng)，則沒有解析解。L． Y． Shen 等［7-8］在1993年，從理論上分析了開裂板的兩類模態(tài)分裂(mode splitting)的情況，其研究結(jié)果解釋了模態(tài)分裂的現(xiàn)象，但缺乏開裂板的振型函數(shù)等理論解。Asif Israr 等［9］在2008年，較為詳盡地推導(dǎo)了裂縫板的振動方程及固有頻率公式，并對矩形鋁板的振動響應(yīng)進行了實驗驗證。樊久銘等［10］在2011年，用有限元軟件，分析了薄板裂縫的位置和深度等參數(shù)對矩形板模態(tài)振型和模態(tài)頻率的影響，并進行了實驗，結(jié)果表明裂縫的深度和位置對振型有較大的影響。郝曉克等［11］在2013年，研究了矩形薄板的開裂特征及其聲-振響應(yīng)，從聲學(xué)和振動的角度分析了開裂薄板的振型和固有頻率的變化規(guī)律和影響。但是，目前的研究基本上未對矩形開裂薄板的模態(tài)交叉現(xiàn)象進行分析和解釋。

因此，為了研究矩形通透開裂薄板的模態(tài)交叉問題，本研究首先給出矩形薄板在一定深度裂縫情況下的固有頻率的計算公式，然后建立通透開裂薄板的有限元模型，通過仿真算例，分析薄板在對稱開裂和不對稱開裂時，隨著開裂長度增大，板的固有頻率變化與振型變化的趨勢和規(guī)律，分析模態(tài)交叉現(xiàn)象發(fā)生的原因。

1 單條裂縫矩形薄板模態(tài)的基本理論

四邊固支的矩形薄板，在具有單條裂縫的情況下，其模型如圖1 所示。

圖1 四邊固支帶開裂縫的矩形薄板示意圖

設(shè)矩形薄板的撓度為w(x，y)，可表示為各階模態(tài)振型的疊加:

式中:Xm(x)，Yn(y)—x 和y 方向的振型函數(shù);m，n—x和y 方向的模態(tài)的階數(shù);Amn—各階模態(tài)的貢獻。

具有裂縫特征的薄板的近似解的理論如文獻［9］:當(dāng)開裂中心位置為薄板中心，裂縫長度較短時，廣義質(zhì)量Mmn和廣義剛度Kmn分別為:

式中:ρ—板的密度;h—板的厚度;a，b—矩形板的長和寬;D—抗彎剛度;lc—裂縫的縫長;μ—板的泊松系數(shù)。

因此，可以推導(dǎo)開裂板的固有角頻率ωmn和頻率fmn分別為:

需要注意的是，上述公式只適用于裂縫深度與板厚度的比值在70%以下的情況，而對于通透開裂(裂縫深度與板厚度的比值為100%)則不適用。因此，為了獲得通透開裂薄板的模態(tài)信息，本研究采用有限元方法計算。

2 矩形通透開裂薄板模態(tài)的有限元仿真與分析

2．1 矩形通透開裂薄板的有限元模型

本研究利用ANSYS 軟件，建立有限元模型如下:對稱開裂薄板的有限元模型如圖2(a)所示;不對稱開裂的有限元模型如圖2(b)所示。

圖2 薄板不同開裂位置的有限元模型

本研究采用彈性殼單元(shell 63)，選取鋼質(zhì)材料，密度ρ =7． 85 ×103kg/m3，彈性模量E =2． 1 ×105MPa，泊松比μ=0．3。

矩形薄板尺寸為820 mm ×520 mm ×1．5 mm，通透開裂是薄板和長方體(尺寸與開裂相同)通過差集(subtract)得到，尺寸為lcmm×0．2 mm×1．5 mm。

網(wǎng)格設(shè)置取三角形單元(能夠保證結(jié)果有非常高的精度)，單元邊長20 mm，自由劃分網(wǎng)格。

薄板邊界條件為四邊固支。

2．2 對稱開裂薄板的固有頻率變化與模態(tài)交叉

如圖2(a)中XOY 坐標(biāo)系所示，設(shè)對稱開裂薄板的裂縫中心位于(410 mm，260 mm)，且裂縫平行于薄板短邊，開裂長度比ζ=lc1/b 即開裂長度與短邊長度之比，以間隔Δζ=4%增加時，仿真獲得模態(tài)的固有頻率fmn，前11個模態(tài)固有頻率與開裂長度比的關(guān)系曲線如圖3 所示。

圖3 對稱開裂板的前11 個模態(tài)的固有頻率fmn與開裂長度比ζ 的關(guān)系

從圖3 中可知，隨著開裂長度比ζ 增大，各階模態(tài)的固有頻率都隨之下降，原因是板的剛度不斷減小，完全吻合式(4)所揭示的規(guī)律。另外，隨著ζ 增大，各模態(tài)的固有頻率fmn呈‘z’形規(guī)律，即:在0≤ζ≤20%和90%≤ζ≤96%時，各階模態(tài)的固有頻率幾乎不變;在某些開裂長度比的區(qū)間里，固有頻率值改變則很明顯，如2-1 模態(tài)的固有頻率f21在50%≤ζ≤80%時變化幅度較大;2-2 模態(tài)的固有頻率f22在70%≤ζ≤90%時變化幅度較大。所以，各階模態(tài)可根據(jù)固有頻率變化規(guī)律分為3 個級別:①頻變級，表示頻率變化特別顯著，并改變了固有頻率次序;②影響級，指頻率變化較大但沒有改變固有頻率次序;③微影響級，即頻率變化不大。具體劃分如表1 所示。

表1 各階模態(tài)的分類

頻變級中如4-1 模態(tài)，在圖3 的矩形框所示，當(dāng)40%≤ζ≤56%時，隨著ζ 增大，4-1 模態(tài)的固有頻率f41從f41＞f22變化到f41＜f22，像這種模態(tài)與對應(yīng)的固有頻率次序沒有始終一一對應(yīng)的現(xiàn)象，被稱為模態(tài)交叉，如圖4 所示。同理，當(dāng)56%≤ζ≤70%時，4-1 模態(tài)的固有頻率f41從f41＞f12變化到f41＜f12，也發(fā)生了模態(tài)交叉。

圖4 對稱開裂板的模態(tài)交叉圖

由圖3 可知，當(dāng)ζ =96%時，兩個相鄰的模態(tài)，諸如(2m，n)階模態(tài)與(2m－1，n)階模態(tài)的固有頻率幾乎相同。這是因為此時薄板幾乎分裂成兩塊，而這兩塊小板所有條件都相同，它們的固有頻率相同。薄板的固有頻率是由兩塊小板所決定的，因此，此類相鄰兩階模態(tài)對應(yīng)的固有頻率相同。只是對于薄板整體而言，裂縫兩側(cè)的板的振動有以下兩種組合:對稱和相反。1-1 模態(tài)振型，裂縫兩側(cè)的振動對稱如圖5(a)所示，2-1 模態(tài)，裂縫兩側(cè)的振動相反如圖5(b)所示。以及，3-1 模態(tài)振型和4-1 模態(tài)振型如圖5(c)，5(d)所示。更重要的是，薄板無開裂時，4-1 模態(tài)的固有頻率f41與3-1 模態(tài)的固有頻率f31間隔2 個頻率。因此，隨著ζ 增大并最終f41=f31，f41必然要跨越f22和f12，出現(xiàn)圖4 所示的模態(tài)交叉現(xiàn)象。這說明在對稱開裂薄板中，開裂的縫長是產(chǎn)生模態(tài)交叉非常重要的因素。

另外，本研究將對稱開裂板和無開裂板的固有頻率作對比發(fā)現(xiàn):對于(m，n)階模態(tài)，當(dāng)m 是奇數(shù)時，頻率變化不大;當(dāng)m 是偶數(shù)時，頻率變化很明顯。也就是說，當(dāng)開裂處于振型的波峰或者波谷位置時，開裂對板的固有頻率的影響較小，但在節(jié)線(位移為零)位置時對頻率的影響達到較大。這是因為開裂在節(jié)線位置時，有兩方面對振型產(chǎn)生影響:

圖5 ζ=96%時板的前4 個模態(tài)振型圖

一方面是對振型函數(shù)在此處的斜率最大，以x 方向為例，由于裂縫Δx 存在，所以振型函數(shù)變化量ΔXm(x)最大;

另一方面是當(dāng)板無開裂時，節(jié)線兩邊的振動在方向相反的內(nèi)應(yīng)力作用下使得節(jié)線處的位移為零，而當(dāng)幾乎完全開裂時裂縫的邊界處失去了另外一側(cè)應(yīng)力的約束，使得裂縫兩側(cè)的板產(chǎn)生背向振動，導(dǎo)致位移變化較大，如圖5(d)中4-1 模態(tài)振型，裂縫兩側(cè)為振動幅值最大值。

因此，對于同一個位置，不同振型函數(shù)的影響不同，說明開裂中心在節(jié)線上或者附近是產(chǎn)生模態(tài)交叉現(xiàn)象重要的因素之一。

2．3 不對稱開裂薄板的固有頻率變化與模態(tài)交叉

如圖2(b)中XOY 坐標(biāo)系所示，設(shè)薄板裂縫開裂中心的坐標(biāo)為(205 mm，260 mm)，開裂直縫平行于短邊，薄板的其他參數(shù)與2．2 節(jié)中算例的參數(shù)相同。前11 個固有頻率隨開裂長度比ζ 的變化曲線如圖6所示。

圖6 不對稱開裂薄板前11 個固有頻率fmn隨開裂長度比ζ 的變化

同樣由圖6 可知，各階模態(tài)的固有頻率都有所降低，符合公式(4)中的趨勢。根據(jù)固有頻率變化的規(guī)律可以分為3 個級別:

①頻變級。如4-1 模態(tài)、4-2 模態(tài)、5-1 模態(tài);

②影響級。如3-1 模態(tài)、1-3 模態(tài)、3-2 模態(tài)等;

③微影響級。如1-1 模態(tài)、2-1 模態(tài)、1-2 模態(tài)、2-2模態(tài)、2-3 模態(tài)等。

模態(tài)交叉圖如圖7(a)所示。數(shù)據(jù)來源于圖6 的模態(tài)交叉區(qū)2，選取當(dāng)44%≤ζ≤56%時，f22幾乎沒有發(fā)生變化，穩(wěn)定在106 Hz 左右，而f41卻從117 Hz 減小到99 Hz，發(fā)生了模態(tài)交叉。

模態(tài)交叉圖如圖7(b)所示。數(shù)據(jù)來源于圖6 中模態(tài)交叉區(qū)3，選取當(dāng)56%≤ζ≤68%時，f12變化不大，穩(wěn)定在90 Hz 左右，而f41從96 Hz降低至87 Hz，從而發(fā)生了模態(tài)交叉現(xiàn)象。

在上述兩種算例中，薄板的4-1 模態(tài)和6-1 模態(tài)，由于開裂中心都在節(jié)線上或者附近，隨著ζ 增大，振型函數(shù)改變較大，容易產(chǎn)生模態(tài)交叉現(xiàn)象。

同時與2．2 節(jié)算例相比表明，開裂位置不同時，隨著ζ 增大，都能產(chǎn)生類似的模態(tài)交叉。這表明模態(tài)交叉不是孤例，具有廣泛的存在，尤其在高階模態(tài)中，因此該研究結(jié)果對有通透開裂的板結(jié)構(gòu)的檢測和模態(tài)分析具有重要理論意義。

3 結(jié)束語

本研究通過對具有通透開裂矩形薄板的有限元仿真，計算和分析了不同開裂長度條件下，薄板固有頻率的變化規(guī)律和模態(tài)交叉現(xiàn)象，得到以下結(jié)論:

(1)隨著開裂長度的增大，由于板的剛度降低，矩形板的固有頻率呈現(xiàn)降低趨勢;另外，固有頻率fmn隨開裂長度比的變化ζ 呈‘z’字形規(guī)律。依據(jù)固有頻率的變化規(guī)律，固有頻率變化的幅度可分為3 個級別:頻變級、影響級和微影響級。處于頻變級階段中的模態(tài)，易發(fā)生模態(tài)交叉現(xiàn)象。

(2)通透開裂縫的長度和開裂中心位于模態(tài)節(jié)線上或者節(jié)線附近是產(chǎn)生模態(tài)交叉的重要因素。

(3)薄板的4-1 模態(tài)和6-1 模態(tài)，由于開裂中心都在模態(tài)節(jié)線上或者節(jié)線附近，隨著ζ 增大，產(chǎn)生了模態(tài)交叉現(xiàn)象。模態(tài)交叉現(xiàn)象的獲取，可成為薄板開裂的檢測和模態(tài)分析技術(shù)的重要理論依據(jù)。

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